Esercizi sulle serie

[indovina]

Ciao.
Posto qui alcuni esercizi sulle serie che ho svolto, mi piacerebbe avere vostri consigli e correzioni a riguardo.

devo vedere quale è il carattere della serie:

1)$sin(log(n))/(n^2*log(n))$ $simlog(n)/(n^2*log(n))$ $sim1/n^2$ converge

2) $(-1)^n*(1/sqrt(n))$ $lim 1/sqrt(n) ->0$ convergente per il criterio di Leibniz

3) $(n*2^n)/e^(n/2)$ $sim n(2/sqrt(e))^n$ diverge

4)$(cos((pi/2)*n))/n$ $simpi/2/n$ $simpi/2$ converge

Ho applcato il criterio del confronto asintotico in 1), 3), 4)
nella 3) dato che c'è $(-1)^n$ ho applicato Leibniz, infatti è decrescente e poi il limite è $0$.

[Lorin1]

Partiamo dalla prima serie: non capisco per quale criterio dici $sin(logn) ∼ logn$

[indovina]

Per il primo ho fatto una stima asintotica dell'argomento del seno
$sin(x)simx$

$sin(log(x))simlog(x)$

[dissonance]

See, buonasera! E' vero che $sin x \sim x$, ma per $x \to 0$! Ma ti pare possibile che $sin (logn)$, che è una successione limitata, sia equivalente ad una successione infinita come $log n$?

[Lorin1]

No aspetta...

Dare una stima asintotica delle funzione non è una cosa così semplici come può sembrare. Dietro questo procedimento c'è tutta una teoria che si deve conoscere (e qui mi ripermetto di consigliarti l'uso del libro di teoria), in quanto per fare ciò, si devono conoscere alcune caratteristiche delle funzioni e si devono rispettare alcune condizioni importantissime. Iniziamo col dire che non ha senso una scrittura del genere:

$sin(x)∼x $

Infatti tale scrittura ha senso solo se noi precisiamo il punto di accumulazione a cui la $x$ tende. Per dire che $sin(x)∼x $ dobbiamo precisare che $x->0$ altrimenti non vale la stima asintotica, e questo fatto lo capirai quando studierai la costruzione e la formula di Taylor e di MacLaurin. Quindi prima di dare delle stime del genere rifletti e riguardati la teoria che c'è alle spalle, solo così potrai capire il perchè di tante cose.

In sostanza la stima che tu hai fatto nella serie, va bene solo se l'argomento della funzione di cui stai trovando la stima tende a zero, altrimenti non puoi dire nulla.

[indovina]

Arrivato a questo punto, sulla prima serie non so come muovermi...

[Lorin1]

Beh potresti sfruttare il fatto che la successione seno è limitata

[indovina]

$-1
ma non so davvero come procedere, dovrei fare qualche maggiorazione?

[Lorin1]

Si...riflettici un pò su...

[indovina]

$-1

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[Lorin1]

No non ci siamo capiti...

l'aiuto che noi ti forniamo qui sul forum è un aiuto costruttivo, cioè tu proponi una tua idea, uno svolgimento, qualche passaggio ecc...e noi ti aiutiamo a capire dove sbagli, dimmi tu cosa vedi di costruttivo nel porre domande all'infinito dove noi ti diciamo SI, NO...fin quando tu non finisci l'esericizio. Scusami se te lo dico, ma secondo me tu sbagli proprio l'approccio allo studio.

[indovina]

Ma io i passaggi li ho scritti inizialmente, ma se non mi viene, vuol dire che non ho capito come si fa non perchè non sto studiando, ma perchè non ho mai visto un esercizio simile a questo.
Ci rifletto su questo, vedo un pò se ci riesco