Esercizi sulle serie
Buongiorno,
sono uno studente di ingegneria e sto preparando l' esame di analisi 1 e ho svariati problemi per quanto riguarda gli esercizi...non sono mai sicuro di quello che faccio e non sono mai sicuro che ho trovato la soluzione!!!!
Anche perche il nostro prof da degli esercizi senza dare la soluzione...
Quindi vorrei cominciare a usufruire di un vostro aiuto per lo meno per sapere se i miei ragionementi sono giusti...
Cominciamo con un primo esercizio...devo studiare il comportamento della seguente serie:
$\sum_{k=1}^oo (rootkk-1)^k$ essendo una serie a termini positivi applico il criterio della radice per cui:
$\lim_{k \to \infty}rootk((rootkk-1)^k)$ applicando il limite notevole $rootkk=1$ ottengo che il limite è $1-1=0$ per cui per il criterio della radice la serie converge.
è giusto?
Ora il secondo esercizio, in questo sono insicuro perchè non riesco a capire se per una successione $\lim_{n \to \infty}1^n=1$ ,dato che trovo pareri discordanti.
$\sum_{k=1}^oo 2^k(k/(k+2))^(k^2+2)$ anche qui applico il crierio della radice ottenendo $\lim_{n \to \infty}2(k/(k+2))^((k^2+2)/k)$=$\lim_{n \to \infty}2(1/(1+2/k))^(k+2/k)$=$\lim_{n \to \infty}2(1^k)=2$ per cui per il criterio della radice la serie diverge.
Cosa mi potete dire su questo esercizio?
Grazie!!
sono uno studente di ingegneria e sto preparando l' esame di analisi 1 e ho svariati problemi per quanto riguarda gli esercizi...non sono mai sicuro di quello che faccio e non sono mai sicuro che ho trovato la soluzione!!!!
Anche perche il nostro prof da degli esercizi senza dare la soluzione...
Quindi vorrei cominciare a usufruire di un vostro aiuto per lo meno per sapere se i miei ragionementi sono giusti...
Cominciamo con un primo esercizio...devo studiare il comportamento della seguente serie:
$\sum_{k=1}^oo (rootkk-1)^k$ essendo una serie a termini positivi applico il criterio della radice per cui:
$\lim_{k \to \infty}rootk((rootkk-1)^k)$ applicando il limite notevole $rootkk=1$ ottengo che il limite è $1-1=0$ per cui per il criterio della radice la serie converge.
è giusto?
Ora il secondo esercizio, in questo sono insicuro perchè non riesco a capire se per una successione $\lim_{n \to \infty}1^n=1$ ,dato che trovo pareri discordanti.
$\sum_{k=1}^oo 2^k(k/(k+2))^(k^2+2)$ anche qui applico il crierio della radice ottenendo $\lim_{n \to \infty}2(k/(k+2))^((k^2+2)/k)$=$\lim_{n \to \infty}2(1/(1+2/k))^(k+2/k)$=$\lim_{n \to \infty}2(1^k)=2$ per cui per il criterio della radice la serie diverge.
Cosa mi potete dire su questo esercizio?
Grazie!!
Risposte
grazie TeM....ti ho capito! 
in pratica $\lim_{n \to \infty}2(k/(k+2))^((k+2/k))$=$\lim_{n \to \infty}2(1/(1+2/k))^k*(1/(1+2/k))^(2/k)$
il primo termine è riconducibile al limite notevole $\lim_{n \to \infty}(1+a/k)^k=e^a$ per cui vale $1/e^2$, mentre il secondo termine, quello elevato a $2/k$ vale $1$ dato che $2/k$ tende a zero, per cui il limite è, come hai detto tu, uguale a $(2/e^2)<1$ per cui la serie converge.
ma è giusta la mia supposizione che $\lim_{n \to \infty}1^oo=1$??
ora vi volevo sottoporre un limite che mi è indispensabile per studiare un altra serie: $\lim_{n \to \infty}rootkk!$. allora...io pensavo di studiare ogni termine del fattoriale, dicendo che $rootkk>rootk(k-1)>....>rootk3>rootk2>rootk1$, sapendo che $\lim_{n \to \infty}rootkk=1$, per il criterio del confronto tra i limiti delle successioni posso dire che tutti gli altri limiti del fattoriale sono minori di 1, e inoltre, essendo tutti termini positivi posso anche dire che saranno maggiori di zero, quiindi $\lim_{n \to \infty}rootkk!$ esiste ed è finito!
sarei grato se mi dite se c'è qualche metodo più facile per calcolare questo limite...
in pratica $\lim_{n \to \infty}2(k/(k+2))^((k+2/k))$=$\lim_{n \to \infty}2(1/(1+2/k))^k*(1/(1+2/k))^(2/k)$
il primo termine è riconducibile al limite notevole $\lim_{n \to \infty}(1+a/k)^k=e^a$ per cui vale $1/e^2$, mentre il secondo termine, quello elevato a $2/k$ vale $1$ dato che $2/k$ tende a zero, per cui il limite è, come hai detto tu, uguale a $(2/e^2)<1$ per cui la serie converge.
ma è giusta la mia supposizione che $\lim_{n \to \infty}1^oo=1$??
ora vi volevo sottoporre un limite che mi è indispensabile per studiare un altra serie: $\lim_{n \to \infty}rootkk!$. allora...io pensavo di studiare ogni termine del fattoriale, dicendo che $rootkk>rootk(k-1)>....>rootk3>rootk2>rootk1$, sapendo che $\lim_{n \to \infty}rootkk=1$, per il criterio del confronto tra i limiti delle successioni posso dire che tutti gli altri limiti del fattoriale sono minori di 1, e inoltre, essendo tutti termini positivi posso anche dire che saranno maggiori di zero, quiindi $\lim_{n \to \infty}rootkk!$ esiste ed è finito!
sarei grato se mi dite se c'è qualche metodo più facile per calcolare questo limite...
si capito!
però mi fa sorgere un problema con una serie, dato che su questa serie $\sum_{k=1}^oo (2^kk!)/(k^k)$ avevo applicato il criterio della radice $\lim_{n \to \infty}2/krootkk!$ e con la supposizione di $\lim_{n \to \infty}rootkk!$ finito il limite sarebbe venuto zero e perciò la serie convergeva...quindi se $\lim_{n \to \infty}rootkk! =+oo$ non so come procedere...
però mi fa sorgere un problema con una serie, dato che su questa serie $\sum_{k=1}^oo (2^kk!)/(k^k)$ avevo applicato il criterio della radice $\lim_{n \to \infty}2/krootkk!$ e con la supposizione di $\lim_{n \to \infty}rootkk!$ finito il limite sarebbe venuto zero e perciò la serie convergeva...quindi se $\lim_{n \to \infty}rootkk! =+oo$ non so come procedere...
si sono riuscito a verificare anche questa serie!
ora questa serie...$\sum_{k=1}^oo ((2n)!)/n^(2n)$ la prima cosa che mi viene in mente è il criterio del rapporto, per cui:
$\lim_{n \to \infty}(((2(n+1))!)/(n+1)^(2(n+1)))*(n^(2n)/((2n)!))$ = $\lim_{n \to \infty}(n^(2n)/(n+1)^(2n))*(((2n+2)!)/((2n)!(n+1)^2))*$ il primo termine dovrebbe valere $(1/e)*(1/e)$, mentre il secondo $4$ quindi tutto il limite vale $(4/e^2)<1$ per cui la serie converge...anche se potrei aver sbagliato qualcosa...
ora questa serie...$\sum_{k=1}^oo ((2n)!)/n^(2n)$ la prima cosa che mi viene in mente è il criterio del rapporto, per cui:
$\lim_{n \to \infty}(((2(n+1))!)/(n+1)^(2(n+1)))*(n^(2n)/((2n)!))$ = $\lim_{n \to \infty}(n^(2n)/(n+1)^(2n))*(((2n+2)!)/((2n)!(n+1)^2))*$ il primo termine dovrebbe valere $(1/e)*(1/e)$, mentre il secondo $4$ quindi tutto il limite vale $(4/e^2)<1$ per cui la serie converge...anche se potrei aver sbagliato qualcosa...
ora ho dei problemi riguardanti l'asintoticità con i logaritmi... cioè se ho $ ln(1+1/x)$ oppure $ ln(1-1/x)$ come faccio a calcolare l'asintoticità con $1/x$ e $-1/x$ ? non riesco a risolvere il limite...
chiaro...ancora non arrivo ai limiti di funzione, ecco perchè non ci arrivavo...
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