Esercizi sulle funzioni di due variabili

[dennyroses]

Trovo difficoltà a risolvere l'esercizio che riporto di seguito

1)Enunciare il teorema degli zeri per le funzioni di due variabili ed applicarlo per determinare il dominio ed il segno della funzione definita da g(x,y)= $ ln ((x-y)(x-3)) $
2)Disegnare le linee di livello di g
3) determinare eventuali estremi locali liberi per g.
4) Discutere l'esistenza di massimi e minimi di g vincolati al cerchio di centro C(3,3) e raggio 3. può risultare utile l'uso delle coordinate polari centrate in C.

Ho risolto il punto 1 trovando solo il dominio e ho determinato gli estremi locali liberi.
Non riesco a trovare il segno e ha risolvere i punti 2 e 4. Qualcuno può darmi un mano?

[gio73]

Mi piacciono le funzioni in due variabili, ora provo a ragionarci un po' su. Tu intanto mostra cosa hai trovato come campo di esistenza, così ci confrontiamo. A più tardi.

[dennyroses]

Il dominio che ho trovato è:

D= $ {(x,y) in R^2 : y>x, x<3 } $ U D= $ { (x,y) in R^2 : y3 } $

Per te vale lo stesso?

[gio73]

"pier5302748":Il dominio che ho trovato è:

D= $ {(x,y) in R^2 : y>x, x<3 } $ U D= $ { (x,y) in R^2 : y3 } $

Per te vale lo stesso?

No, ma magari sbaglio io.
$D= {(x,y) in R^2 : y>x, x>3 } cup D= { (x,y) in R^2 : y In sostanza ho pensato questo: l'argomento del logaritmo deve essere positivo di conseguenza i fattori devono essere concordi (tutti e due negativi o tutti e due positivi) dunque il primo è positivo nel semipiano sopra la bisettrice di I e III quadrante e il secondo positivo a destra della retta $x=3$ e mi viene un angolo di 45° con vertice in $V(3;3)$, l'altra regione è l'angolo opposto al vertice. Dimmi cosa ne pensi.

[dennyroses]

Io ho fatto il semplice studio dei segni.
Poichè il primo è positivo al di sotto della bisettrice, è il secondo è positivo a destra della retta x=3, facendo il prodotto dei segni viene fuori che la funzione è definita per x<3 e y>x U x<3 e y

Cita

Segnala

[gio73]

ops, sbagliato io, sul quaderno avevo scritto
$f(x;y)=ln((y-x)(x-3))$
scusa, mi trovo con te.

[dennyroses]

A questo proposito a cosa serviva il teorema degli zeri che viene citato nel testo del problema?

[gio73]

Ciao Pier,
la mia preparazione purtroppo è frammentaria:
a me piace immaginare l'andamento del grafico delle funzioni in 2 variabili, fatto ciò vedo se posso rispondere alle domande. La tua funzione mi piace molto e dopo aver riflettuto ho concluso qualcosa. Non so se ti può essere utile.
Ti dico quello che mi sembra di aver capiuto, tu controlla e dimmi cosa ne pensi.
La nostra funzione è definita in corrispondenza dei due angoli opposti al vertice $V(3;3)$ individuati dalle rette $x=3$ e$y=x$. Ora mi domando quando la funzione è positiva e quando negativa. Giacchè ho a che fare con un logaritmo se l'argomento è maggiore di 1 i valori sono positivi, se minore di 1 i valori sono negativi, se l'argomento è 1 il grafico interseca il piano $xy$ (quota 0). Mi sono dunque chiesta quando l'argomento del logaritmo vale 1, giusto per tracciare la curva di livello a quota 0.
Si tratta di risolvere la seguente equazione $(x-y)(x-3)=1$. L'ho fatto, vuoi che ti dica cosa mi è venuto e il metodo che ho seguito?

[dennyroses]

"gio73":
Si tratta di risolvere la seguente equazione $(x-y)(x-3)=1$. L'ho fatto, vuoi che ti dica cosa mi è venuto e il metodo che ho seguito?

Si grazie, mi sono persa in mille calcoli senza arrivare alla soluzione!

[gio73]

Eccomi, svolgendo i conti mi è venuta questa equazione
$x^2-xy-3x+3y-1=0$ e non mi è piaciuta per niente, prima di far conti ho pensato di scriverla diversamente
$y=(x^2-3x-1)/(x-3)$ ma ancora mi risultava antipatica e così
$y=(x(x-3)-1)/(x-3)=x-1/(x-3)=x+(-1/(x-3))$

ora mi piace di più perchè sono in grado di disegnare facilmente la bisettrice di I e III quadrante e i due rami di iperbole che hanno come asintoti l'asse x e la retta $x=3$ (visto che c'è il segno meno il ramo di destra è negativo e quello di sinistra positivo).
Poi devo fare la somma dei due grafici. Fino qui ti sembra che vada bene? Continuo?

[dennyroses]

"gio73":
Poi devo fare la somma dei due grafici. Fino qui ti sembra che vada bene? Continuo?

Sisi, ti seguo, continua pure. La somma dei grafici come si fa?

[gio73]

Hai disegnato i grafici? Se hai il disegno sottomano vedi che a sinistra della retta $x=3$, alla bisettrice devi sommare il ramo di iperbole positivo che andando verso $-oo$ diventa una quantità sempre più piccola, di conseguenza la nostra curva si avvicina (senza toccarla mai) alla bisettrice (da sopra), in corrispondenza di $x_0=0$ la nostra bisettrice vale 0 e dobbiamo sommare il valore dell'iperbole che lì vale $1/3$, ti torna? poi avvicinandoci all'asintoto verticale la curva va a $+oo$.
Ora ti faccio intervenire:
Come faresti a trovare le intersezioni con l'asse x?