Esercizi sulla completezza.
Ciao a tutti, ho altri esercizi da controllare:
(i) Siano \(\displaystyle a,b\in\mathbb{R} \), \(\displaystyle a
La completezza di \(\displaystyle [a,b] \) segue dalla sua chiusura in \(\displaystyle \mathbb{R} \); d'altro canto, la successione \(\displaystyle a_n=a+1/n \) è di Cauchy ma non converge nello spazio \(\displaystyle (a,b) \), mostrandone l'incompletezza.
(ii) Sia \(\displaystyle X \) lo spazio delle \(\displaystyle N \)-uple ordinate di numeri reali e \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)=\begin{matrix}\max_j\end{matrix}|\xi_j-\eta_j| \). Mostrare che tale spazio è completo.
Per \(\displaystyle n,m \) sufficientemente grandi si ha \(\displaystyle \mathrm{d}(x_n,x_m)=\begin{matrix}\max_j\end{matrix}|\xi_{n_j}-\xi_{m_j}|\le\epsilon \); fissato un indice \(\displaystyle 0\le k\le N \) si ha quindi \(\displaystyle |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|\le\epsilon \), che mostra che \(\displaystyle (\xi_{1_k},\xi_{2_k}...) \) è una successione di Cauchy di numeri reali e quindi convergente a un \(\displaystyle \xi_k \) per \(\displaystyle m\to\infty \).
Quindi per ogni scelta di \(\displaystyle k\) possiamo associare alla sottosuccessione corrispondente un unico numero reale \(\displaystyle \xi_k \). Questo definisce una \(\displaystyle N \)-upla di numeri reali $x$ e quindi appartenente allo spazio metrico $X$. Se ora \(\displaystyle n\to\infty \), la condizione \(\displaystyle \begin{matrix}\max_j\end{matrix} |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|\le\epsilon \) implica \(\displaystyle |\xi_{k}-\xi_{m_k}|\le\epsilon \) (\(\displaystyle * \)) per ogni \(\displaystyle k \), e quindi la convergenza della successione a \(\displaystyle x=(\xi_k)\in X \).
(\(\displaystyle * \)): in questo passaggio al limite ho imitato qualcosa di simile fatto dal mio libro in un'altra dimostrazione, tuttavia non mi convince molto: è corretto?
(iii) Mostrare che il sottospazio \(\displaystyle M\subset l^{\infty} \) delle successioni con un numero finito di zeri non è completo, e trovare una successione di Cauchy non convergente.
$M$ è completo se e solo se risulta chiuso in \(\displaystyle l^{\infty} \); tuttavia, non ho davvero idee su come fare a mostrare questa cosa. Qualche suggerimento?
(i) Siano \(\displaystyle a,b\in\mathbb{R} \), \(\displaystyle a
La completezza di \(\displaystyle [a,b] \) segue dalla sua chiusura in \(\displaystyle \mathbb{R} \); d'altro canto, la successione \(\displaystyle a_n=a+1/n \) è di Cauchy ma non converge nello spazio \(\displaystyle (a,b) \), mostrandone l'incompletezza.
(ii) Sia \(\displaystyle X \) lo spazio delle \(\displaystyle N \)-uple ordinate di numeri reali e \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)=\begin{matrix}\max_j\end{matrix}|\xi_j-\eta_j| \). Mostrare che tale spazio è completo.
Per \(\displaystyle n,m \) sufficientemente grandi si ha \(\displaystyle \mathrm{d}(x_n,x_m)=\begin{matrix}\max_j\end{matrix}|\xi_{n_j}-\xi_{m_j}|\le\epsilon \); fissato un indice \(\displaystyle 0\le k\le N \) si ha quindi \(\displaystyle |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|\le\epsilon \), che mostra che \(\displaystyle (\xi_{1_k},\xi_{2_k}...) \) è una successione di Cauchy di numeri reali e quindi convergente a un \(\displaystyle \xi_k \) per \(\displaystyle m\to\infty \).
Quindi per ogni scelta di \(\displaystyle k\) possiamo associare alla sottosuccessione corrispondente un unico numero reale \(\displaystyle \xi_k \). Questo definisce una \(\displaystyle N \)-upla di numeri reali $x$ e quindi appartenente allo spazio metrico $X$. Se ora \(\displaystyle n\to\infty \), la condizione \(\displaystyle \begin{matrix}\max_j\end{matrix} |\xi_{n_k}-\xi_{m_k}|\le\epsilon \) implica \(\displaystyle |\xi_{k}-\xi_{m_k}|\le\epsilon \) (\(\displaystyle * \)) per ogni \(\displaystyle k \), e quindi la convergenza della successione a \(\displaystyle x=(\xi_k)\in X \).
(\(\displaystyle * \)): in questo passaggio al limite ho imitato qualcosa di simile fatto dal mio libro in un'altra dimostrazione, tuttavia non mi convince molto: è corretto?
(iii) Mostrare che il sottospazio \(\displaystyle M\subset l^{\infty} \) delle successioni con un numero finito di zeri non è completo, e trovare una successione di Cauchy non convergente.
$M$ è completo se e solo se risulta chiuso in \(\displaystyle l^{\infty} \); tuttavia, non ho davvero idee su come fare a mostrare questa cosa. Qualche suggerimento?
Risposte
Il primo va bene, il passaggio $(*)$ è dovuto al fatto che una successione $x_n$ in un prodotto converge a un elemento sse lo fa componente per componente, il resto va bene, per il tre quale distanza usi? Comunque prova a considerare la successione (di successioni costanti) $x_n=1/n$, dovrebbe funzionare.
Per \(\displaystyle l^{\infty} \) intendo la distanza \(\displaystyle d(x,y)=\begin{matrix}\sup_j\end{matrix}|\xi_j-\eta_j| \). Effettivamente \(\displaystyle 1/n \) va bene perché converge alla successione costante \(\displaystyle x_0=0 \), con un numero di zeri infinito e quindi tale che \(\displaystyle x_0\notin M \), corretto? Per il passaggio in (ii) ora ci sono, era una stupidaggine...
Me lo immaginavo che fosse quella, per questo ho proposto quella successione 
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