Esercizi sui limiti

[noipo]

Ciao! Non mi vengono questi limiti..

$\lim_{n \to \+infty}((n+2)/(3+2n))^n$
L'ho svolto in questo modo:
$\lim_{n \to \+infty}((n)/(3+2n) + 2/(3+2n))^n $ Poi ho raccolto i due denominatori per $n$ e per $2$, ho semplificato e poi mi sono bloccata..



$\lim_{n \to \+infty}1+1/n^2cosn^4$
Ho fatto in questo modo ma non so se è corretto:
$\lim_{n \to \+infty}1+1/n^2cosn^4$ $=$ $1 + 0 = 1$



$\lim_{n \to \+infty}(sqrt(n^2+2n)/(n+1))(sqrt(n^4+n^2+1)-n^2)$
Ho razionalizzato $\lim_{n \to \+infty}(sqrt(n^2+2n)/(n+1))((sqrt(n^4+n^2+1)-n^2)(sqrt(n^4+n^2+1)+n^2))/(sqrt(n^4+n^2+1)+n^2)$ Ho continuato coi calcoli e alla fine mi viene $1*1/0$ impossibile..Il risultato è invece $1/2$



$\lim_{n \to \+infty}2^(-n)(n^3 +3n^2+1)$
Il $2^(-n)$ mi blocca..



$\lim_{n \to \+infty}(5log_10(2n-5)-3log_10(n+2)-2log_10(n+1))$
Ho fatto $\lim_{n \to \+infty}(log_10(2n-5)^5-log_10(n+2)^3-log_10(n+1)^2)$ ma poi non so come continuare...



Qualcuno mi aiuta coi singoli passaggi?
Grazie

[lordb]

$\lim_{n \to \+infty}((n+2)/(3+2n))^n=lim_(n->+oo) (n/(2n))^n=lim_(n->+oo)(1/2)^n=0$

[Kashaman]

"vfldj":
$\lim_{n \to \+infty}2^(-n)(n^3 +3n^2+1)$
Il $2^(-n)$ mi blocca..
Grazie

$\lim_{n \to \+infty}(n^3 +3n^2+1)/2^(n) = \lim_{n \to \+infty}(n^3)/2^(n)=......$

[chiaraotta1]

"vfldj":
..
$\lim_{n \to \+infty}(sqrt(n^2+2n)/(n+1))(sqrt(n^4+n^2+1)-n^2)$
...

$sqrt(n^2+2n)/(n+1)*(sqrt(n^4+n^2+1)-n^2)=$
$sqrt(n^2+2n)/(n+1)*((sqrt(n^4+n^2+1)-n^2)(sqrt(n^4+n^2+1)+n^2))/(sqrt(n^4+n^2+1)+n^2)=$
$sqrt(n^2+2n)/(n+1)*(n^4+n^2+1-n^4)/(sqrt(n^4+n^2+1)+n^2)=$
$(nsqrt(1+2/n))/(n(1+1/n))*(n^2+1)/(sqrt(n^4+n^2+1)+n^2)=$
$sqrt(1+2/n)/(1+1/n)*(n^2(1+1/n^2))/(n^2(sqrt(1+1/n^2+1/n^4)+1))=$
$sqrt(1+2/n)/(1+1/n)*(1+1/n^2)/(sqrt(1+1/n^2+1/n^4)+1)$.
Per cui
$lim_(n->+oo)[sqrt(n^2+2n)/(n+1)*(sqrt(n^4+n^2+1)-n^2)]=$
$lim_(n->+oo)[sqrt(1+2/n)/(1+1/n)(1+1/n^2)/(sqrt(1+1/n^2+1/n^4)+1)]=$
$sqrt(1+0)/(1+0)*(1+0)/(sqrt(1+0+0)+1)=sqrt(1)/(1)*(1)/(sqrt(1)+1)=1/2$

[lordb]

$\lim_{n \to \+infty}(5log_10(2n-5)-3log_10(n+2)-2log_10(n+1)) =$
$= lim_(n->+oo) ( log_10((2n-5)^5))-log_10((n+2)^3)-log_10((n+1)^2)=$
$=lim_(n->+oo) log_10 ((2n-5)^5/((n+2)^3*(n+1)^2))=lim_(n->+oo) log_10 ((32n^5)/(n^3*n^2))=$
$=lim_(n->+oo) log_10 (32)=log_10 (32)$

[noipo]

"lordb":$\lim_{n \to \+infty}((n+2)/(3+2n))^n=lim_(n->+oo) (n/(2n))^n=lim_(n->+oo)(1/2)^n=0$

Quindi basta trascurare i termini in cui non compare la $n$, o meglio, quelli in cui la $n$ è di grado minimo, giusto? Posso applicare questo metodo per ogni limite?

"Kashaman":$\lim_{n \to \+infty}(n^3 +3n^2+1)/2^(n) = \lim_{n \to \+infty}(n^3)/2^(n)=......$

Viene $0$ Per il confronto di crescita, è corretto?

Grazie!!

[Kashaman]

esattamente, $2^n$ è un infinito infinitamente più grande rispetto a $n^3$

[noipo]

Ma c'è un modo per sapere quale dei due è più grande oppure devo impararli a memoria?
Per esempio so che $n^a > logn$, $p^n > n^a$, $n! > p^n$ e $n^n > n!$ ma perchè? Attraverso il grafico?

[noipo]

"lordb":$\lim_{n \to \+infty}((n+2)/(3+2n))^n=lim_(n->+oo) (n/(2n))^n=lim_(n->+oo)(1/2)^n=0$

Domanda stupida: $\lim_(n->+oo)(1/2)^n=\lim_(n->+oo)1^n/2^n=0$ perchè essendo $2>1$ ho che $2^n>1^n$ oppure c'è un motivo diverso per cui fa $0$?

[lordb]

Hai presente la funzione esponenziale:

$f:NN->RR,n->a^n$ con $a in RR , 0
Oppure guarda la seguente tabella ($a=1/2$):

$ n | f(n)$
$ 0|1$
$ 1|1/2=0.5$
$ 2|1/4=0.25$
$ 10|1/1024=0.0009765625$
$ ...|...$
$+oo|0$

[noipo]

"lordb":Hai presente la funzione esponenziale:

$f:NN->RR,n->a^n$ con $a in RR , 0
Oppure guarda la seguente tabella ($a=1/2$):

$ n | f(n)$
$ 0|1$
$ 1|1/2=0.5$
$ 2|1/4=0.25$
$ 10|1/1024=0.0009765625$
$ ...|...$
$+oo|0$

Ah giusto, che stupida.. Grazie

[lordb]

Di niente

[noipo]

Ci sono altri limiti che non mi vengono e spero sempre nel vostro aiuto..

1) $\lim_{x \to \0^+}(log(sqrt(2x)))/(log3x)$

2) $\lim_{x \to \0}(1-cos2x)/(sen^2x)$

3) $\lim_{x \to \0}(tg^2x)/(1-cos2x)$

4) $\lim_{x \to \0^(\pm)}(sqrt(1-cosx))/(senx)$

5) $\lim_{x \to \-infty}(sqrt(x^2-1))/(x+1)$

6) $\lim_{x \to \pi/2}(1-senx)/(x-\pi/2)$

7) $\lim_{x \to \-infty}sqrt(x^2-x) - sqrt(x^2+1)$

8) $\lim_{x \to \0}(arctg((sqrt(3)ln(x+1))/(x+x^2)))$

9) $\lim_{x \to \+infty}(ln(sqrt(x) + 2)/(x))$

10) $\lim_{x \to \-infty}x^10*3^x*2^(-(x+1))$

11) $\lim_{x \to \-infty}cos(\pi*x^3 - 1)/sqrt(x^6+2)$

Non voglio che mi facciate i "compiti" è che realmente non mi vengono.. Non so come iniziare..
Grazie in anticipo..

[Kashaman]

"vfldj":Ci sono altri limiti che non mi vengono e spero sempre nel vostro aiuto..

1) $\lim_{x \to \0^+}(log(sqrt(2x)))/(log3x)$

2) $\lim_{x \to \0}(1-cos2x)/(sen^2x)$
.

Beh per il primo ti do l'input.
$log(sqrt(2x))=1/2log(2x)$ quindi...
per il secondo, devi ricordarti un limite notevole, quale? (per la precisione due)

[lordb]

1) $lim_(x->0^+) log (sqrt(2x))/(log (3x))= lim_(x->0^+) 1/2log (2x)/(log (3x))$

Hint:

Siano $a,b in RR^+$
$lim_(x->0^+) log (ax)/(log (bx))=lim_(x->0^+)(d/dxlog(ax))/(d/dx log (bx))=lim_(x->0^+) (a/(ax))/(b/(bx))=1$

EDIT: inserito quando già aveva scritto Kashaman

[noipo]

"lordb":
Siano $a,b in RR^+$
$lim_(x->0^+) log (ax)/(log (bx))=lim_(x->0^+)(d/dxlog(ax))/(d/dx log (bx))=lim_(x->0^+) (a/(ax))/(b/(bx))=1$

Grazie ad entrambi, questa cosa non la sapevo, utile!

[Kashaman]

"vfldj":
10) $\lim_{x \to \-infty}x^10*3^x*2^(-(x+1))$

mmh,
vedi se ti è d'aiuto vedere la funzione così
$x^10*3^x*2^(-(x+1))=(x^10*3^x)/2^(x+1)$

[noipo]

"Kashaman":
per il secondo, devi ricordarti un limite notevole, quale? (per la precisione due)

Io direi $\lim_{x \to \0}(1-cosx)/x^2=1/2$ ma pur sviluppando il numeratore $\lim_{x \to \0}((1-cos^2x+sen^2x)/(sen^2x))$ non arrivo a quella forma..

[noipo]

"Kashaman":[quote="vfldj"]
10) $\lim_{x \to \-infty}x^10*3^x*2^(-(x+1))$

mmh,
vedi se ti è d'aiuto vedere la funzione così
$x^10*3^x*2^(-(x+1))=(x^10*3^x)/2^(x+1)$[/quote]
Fino a qui c'ero. $x^10*3^x*2^(-(x+1))=(x^10*3^x)/2^(x+1) = x^10*3^x*2^(-(x+1))=(x^10*3^x)/(2^x*2)$

[lordb]

9)

$ln(sqrt(x) + 2) <<<<_(x->+oo) x$ , quindi...