Esercizi sui limiti.
Salve, sto cercando di risolvere alcuni semplici esercizi sui limiti riportati sul libro di divulgazione "che cos'è la matematica" di Courant, essendo alle prime armi sull'argomento, e dato che sul libro non sono riportate le soluzioni, volevo un parere sui tentativi di soluzioni da me , qui postati:
Trovare i limiti delle seguenti espressioni per $n$ tendente ad infinito.
1) $sqrt(n+1)-sqrt(n)=$
$sqrt(n(1+1/n))-sqrt(n)=sqrt(n)*sqrt(1+1/n)-sqrt(n)=sqrt(n)*(sqrt(1+1/n)-1)$, facendo tendere $n$ ad infinito chiaramente si ha che $1/n$ tende a $0$, quindi si ha $sqrt(n)-sqrt(n)=0$, cioè il limite per $n$ tendente ad infinito dell'espressione é $0$.
2) $sqrt(n^2+a)-sqrt(n^2+b)=$
$sqrt(n^2(1+a/n^2))$ $-$ $sqrt(n^2(1+b/n^2))$, facendo tendere $n$ ad infinito si ha che le quantità $a/n^2$ ed $b/n^2$ tendono a zero, petanto si ha $sqrt(n^2)-sqrt(n^2)=0$, cioè il limite dell 'espressione é $0$.
3)$sqrt(n^2+an+b)-n=$
$sqrt(n^2(1+a/n+b/n^2))$ $=nsqrt(1+a/n+b/n^2)$, facendo tendere $n$ ad Infinito le quantità $a/n$ ed $b/n^2$ tendono a $0$, pertanto si ha $nsqrt(1)-n=0$, cioè il limite dellespressione é $0$.
4) $1/(sqrt(n+1)+sqrt(n))$, che il limite di questa espressione sia $0$ mi sembra ovvio, in quanto la quantità a denominatore per $n$ tendente ad infinito tende ad infinito, per cui ogni trasformazione é superflua.
Trovare i limiti delle seguenti espressioni per $n$ tendente ad infinito.
1) $sqrt(n+1)-sqrt(n)=$
$sqrt(n(1+1/n))-sqrt(n)=sqrt(n)*sqrt(1+1/n)-sqrt(n)=sqrt(n)*(sqrt(1+1/n)-1)$, facendo tendere $n$ ad infinito chiaramente si ha che $1/n$ tende a $0$, quindi si ha $sqrt(n)-sqrt(n)=0$, cioè il limite per $n$ tendente ad infinito dell'espressione é $0$.
2) $sqrt(n^2+a)-sqrt(n^2+b)=$
$sqrt(n^2(1+a/n^2))$ $-$ $sqrt(n^2(1+b/n^2))$, facendo tendere $n$ ad infinito si ha che le quantità $a/n^2$ ed $b/n^2$ tendono a zero, petanto si ha $sqrt(n^2)-sqrt(n^2)=0$, cioè il limite dell 'espressione é $0$.
3)$sqrt(n^2+an+b)-n=$
$sqrt(n^2(1+a/n+b/n^2))$ $=nsqrt(1+a/n+b/n^2)$, facendo tendere $n$ ad Infinito le quantità $a/n$ ed $b/n^2$ tendono a $0$, pertanto si ha $nsqrt(1)-n=0$, cioè il limite dellespressione é $0$.
4) $1/(sqrt(n+1)+sqrt(n))$, che il limite di questa espressione sia $0$ mi sembra ovvio, in quanto la quantità a denominatore per $n$ tendente ad infinito tende ad infinito, per cui ogni trasformazione é superflua.
Risposte
"francicko":
1) $sqrt(n+1)-sqrt(n)=$
$sqrt(n(1+1/n))-sqrt(n)=sqrt(n)*sqrt(1+1/n)-sqrt(n)=sqrt(n)*(sqrt(1+1/n)-1)$, facendo tendere $n$ ad infinito chiaramente si ha che $1/n$ tende a $0$, quindi si ha $sqrt(n)-sqrt(n)=0$, cioè il limite per $n$ tendente ad infinito dell'espressione é $0$.
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ti dico già che il primo è sbagliato! facendo così hai un $+\infty \cdot 0$ per $n\rightarrow+\infty$ che è un caso di indecisione!..
quando sei qui $sqrt(n)*(sqrt(1+1/n)-1)=sqrt(n)((1+1/n)^{1/2}-1)$ per $n\rightarrow+\infty$
devi usare lo sviluppo di Taylor-McLaurin, basta il primo ordine!..
cioè questo $(1+\varepsilon(n))^{\alpha}$ con $\varepsilon(n)\rightarrow0$
$(1+\varepsilon(n))^{\alpha}=1+\alpha \varepsilon(n) +o(\varepsilon(n))$
Prova così per il primo limite:
$sqrt(n(1+1/n))-sqrt(n)=sqrt(n)sqrt(1+1/n)-sqrt(n)=sqrt(n)(sqrt(1+1/n)-1)(sqrt(1+1/n)+1)/(sqrt(1+1/n)+1)$
$sqrt(n(1+1/n))-sqrt(n)=sqrt(n)sqrt(1+1/n)-sqrt(n)=sqrt(n)(sqrt(1+1/n)-1)(sqrt(1+1/n)+1)/(sqrt(1+1/n)+1)$
Si può razionalizzare, moltiplicando a numeratore e a denominatore per la quantità $sqrt(n+1)+sqrt(n)$, ottenendo così l'espressione equivalente $(sqrt(n+1)-sqrt(n))*(sqrt(n+1)+sqrt(n))*1/(sqrt(n+1)+sqrt(n))$, ed avendosi a numeratore un prodotto notevole avremo l'espressione equivalente $((n+1)-n)*1/(sqrt(n+1)+sqrt(n))=1/(sqrt(n+1)+sqrt(n))$ a questo punto a denominatore ho una quantità che per $n$ tendente ad infinito, tende ad infinito, pertanto il limite dell'espressione è $1$ su una quantità infinita, cioè $0$.
E' giusto?
Quindi anche per gli altri esercizi debbo razionalizzare?
Intanto ragionando come avevo fatto all'inizio giungevo allo stesso corretto risultato, come mai?
E' giusto?
Quindi anche per gli altri esercizi debbo razionalizzare?
Intanto ragionando come avevo fatto all'inizio giungevo allo stesso corretto risultato, come mai?
@francicko.
Ma noo...
nel primo esercizio puoi usare un limite notevole, cosi eviti razionalizzazioni e noie varie:
\[\lim\ \sqrt{n}\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} -1\right)=(\ast)=\lim\ \sqrt{n}\cdot \dfrac{1}{2n}=0\]
dove in (*) ho sfruttato il fatto che
\[\lim_{n\to \infty}\dfrac{(1+a_n)^\alpha-1}{a_n}=\alpha \qquad\text{ovvero}\qquad (1+a_n)^\alpha -1 \sim \alpha\cdot a_n\]
con $a_n$ successione infinitesima (si tratta di succesioni, vero? ) e $\alpha\in RR$ (**).
Questo modo di ragionare non dovrebbe darti problemi, mentre ragionando come hai fatto tu si hanno delle brutte "sorprese" di tanto in tanto
Il secondo e il terzo non li ho guardati bene (è tardi!!!
), ma il ragionamento è sicuramente lo stesso. L'ultimo, come puoi intuire dal primo risultato, non vale $0$, bensì $+\infty$ (nota che il primo limite vale $0^+$).
EDIT: chiedo scusa. Mi correggo sul quarto limite: avevo letto male la traccia. Hai ragione
Ciao!
Giseppe
_____________________________________
(**) Nel tuo caso $a_n=1/n$ e $\alpha=1/2$.
Ma noo...
nel primo esercizio puoi usare un limite notevole, cosi eviti razionalizzazioni e noie varie:\[\lim\ \sqrt{n}\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} -1\right)=(\ast)=\lim\ \sqrt{n}\cdot \dfrac{1}{2n}=0\]
dove in (*) ho sfruttato il fatto che
\[\lim_{n\to \infty}\dfrac{(1+a_n)^\alpha-1}{a_n}=\alpha \qquad\text{ovvero}\qquad (1+a_n)^\alpha -1 \sim \alpha\cdot a_n\]
con $a_n$ successione infinitesima (si tratta di succesioni, vero? ) e $\alpha\in RR$ (**).
Questo modo di ragionare non dovrebbe darti problemi, mentre ragionando come hai fatto tu si hanno delle brutte "sorprese" di tanto in tanto
Il secondo e il terzo non li ho guardati bene (è tardi!!!
), ma il ragionamento è sicuramente lo stesso. L'ultimo, come puoi intuire dal primo risultato, non vale $0$, bensì $+\infty$ (nota che il primo limite vale $0^+$).EDIT: chiedo scusa. Mi correggo sul quarto limite: avevo letto male la traccia. Hai ragione
Ciao!
Giseppe
_____________________________________
(**) Nel tuo caso $a_n=1/n$ e $\alpha=1/2$.
Grazie a tutti intanto per le risposte, visto anche la tarda ora!
@Plepp. Per quanto riguarda la razionalizzazione, comunque il procedimento per il calcolo del limite penso sia esatto!
Quel limite notevole non lo conoscevo, in ogni caso il calcolo del limite risulta $0$.
Riporto qui atri esercizi sui limiti tratti sempre dallo stesso testo, sempre per $n$ tendente ad infinito ed $ninN$.
5) $limroot(n)(n+1)=$
$limroot(n)(n)*limroot(n)(1+1/n)$ per $n$ tendente ad infinito $1/n$ tende a $0$,cioé $limroot(n)(n)*root(n)(1)$, per cui ci troviamo con il limite notevole $limroot(n)(n)=1$, pertanto il calcolo del limite dell'espressione dà $1$.
6) $limroot(n)(a^n+b^n)$ con $a>b>0$.
$lim$$root(n)((a^n)(1+b^n/a^n))$ $=limroot(n)((a^n)(1+(b/a)^n))$, ed osservando che essendo $b/a<1$ si ha che la quantità
$(b/n)^n$ tende a $0$, pertanto si ha $limroot(n)(a^n)*1$ $=limroot(n)(a^n)=a$, cioè il limite dell'espressione é il numero $a$.
7) $limroot(n)(a^n+b^n+c^n)$, con $a>b>c>0$, omettendo calcoli tediosi e ripetitivi, direi che similmente, si ha:
$limroot(n)(a^n+b^n+c^n)=limroot(n)(a^n)=a$, cioè il limite dell'espressione è il numero $a$, anche in questo caso.
8) $limroot(n)(a^nb^n+a^nc^n+b^nc^n)$ con $a>b>c>0$.
essendo che risulta $a^nb^n>a^nc^n>b^nc^n$ omettendo calcoli tediosi, essendo $a^nb^n$ la quantità predominante,
concluderei subito che essendo $limroot(n)(a^nb^n)=ab$ , che il limite dell'espressione è il numero $ab$.
9) Essendo il $lim(1+1/n)^n=e$, qual'è allora $lim(1+1/n^2)^n$ ?
Avendo osservato un pò velocemente lo sviluppo del binomio mi verrebbe da dire sempre $e$, ma in questo caso a differenza dei precedenti, penso che mi sbagli.
Resto in attesa di un vostro intervento , al fine di verificare la veridicità o meno dello soluzione degli esrcizi.
Saluti!
@Plepp. Per quanto riguarda la razionalizzazione, comunque il procedimento per il calcolo del limite penso sia esatto!
Quel limite notevole non lo conoscevo, in ogni caso il calcolo del limite risulta $0$.
Riporto qui atri esercizi sui limiti tratti sempre dallo stesso testo, sempre per $n$ tendente ad infinito ed $ninN$.
5) $limroot(n)(n+1)=$
$limroot(n)(n)*limroot(n)(1+1/n)$ per $n$ tendente ad infinito $1/n$ tende a $0$,cioé $limroot(n)(n)*root(n)(1)$, per cui ci troviamo con il limite notevole $limroot(n)(n)=1$, pertanto il calcolo del limite dell'espressione dà $1$.
6) $limroot(n)(a^n+b^n)$ con $a>b>0$.
$lim$$root(n)((a^n)(1+b^n/a^n))$ $=limroot(n)((a^n)(1+(b/a)^n))$, ed osservando che essendo $b/a<1$ si ha che la quantità
$(b/n)^n$ tende a $0$, pertanto si ha $limroot(n)(a^n)*1$ $=limroot(n)(a^n)=a$, cioè il limite dell'espressione é il numero $a$.
7) $limroot(n)(a^n+b^n+c^n)$, con $a>b>c>0$, omettendo calcoli tediosi e ripetitivi, direi che similmente, si ha:
$limroot(n)(a^n+b^n+c^n)=limroot(n)(a^n)=a$, cioè il limite dell'espressione è il numero $a$, anche in questo caso.
8) $limroot(n)(a^nb^n+a^nc^n+b^nc^n)$ con $a>b>c>0$.
essendo che risulta $a^nb^n>a^nc^n>b^nc^n$ omettendo calcoli tediosi, essendo $a^nb^n$ la quantità predominante,
concluderei subito che essendo $limroot(n)(a^nb^n)=ab$ , che il limite dell'espressione è il numero $ab$.
9) Essendo il $lim(1+1/n)^n=e$, qual'è allora $lim(1+1/n^2)^n$ ?
Avendo osservato un pò velocemente lo sviluppo del binomio mi verrebbe da dire sempre $e$, ma in questo caso a differenza dei precedenti, penso che mi sbagli.
Resto in attesa di un vostro intervento , al fine di verificare la veridicità o meno dello soluzione degli esrcizi.
Saluti!
$lim_(n->+oo)(1+1/n^2)^n$
Sull'ultimo limite potresti fare un cambio di variabile cioè $1/n^2=1/z$ ottenendo $lim_(z->+oo)(1+1/z)^sqrt(z)$ quindi $lim_(z->+oo)(1+1/z)^((zsqrt(z))/z)$. Adesso è più semplice ricondurti al limite notevole.
Oppure $lim_(n->+oo)(1+1/n^2)^n=lim_(n->+oo)(1+1/n^2)^(n^2/n)$. Anche da questo ci si riconduce al limite notevole.
Sull'ultimo limite potresti fare un cambio di variabile cioè $1/n^2=1/z$ ottenendo $lim_(z->+oo)(1+1/z)^sqrt(z)$ quindi $lim_(z->+oo)(1+1/z)^((zsqrt(z))/z)$. Adesso è più semplice ricondurti al limite notevole.
Oppure $lim_(n->+oo)(1+1/n^2)^n=lim_(n->+oo)(1+1/n^2)^(n^2/n)$. Anche da questo ci si riconduce al limite notevole.
@anonymous_c5d2a1.
Osservando ancora più attentamente lo sviluppo del binomio credo si veda che $lim(1+1/n^2)^n=1$, in quanto nello sviluppo a parte $1$, le altre quantità verrebbero azzerate dal tendere di $n$ ad infinito;
quindi sarebbe anche $lim(1+1/n^3)^n=1$, $lim(1+1/n^4)^n=1$,...ecc.ecc.
Potresti darmi un tuo parere anche sugli altri esercizi che avevo postato?
Ti ringrazio!
Saluti!
Osservando ancora più attentamente lo sviluppo del binomio credo si veda che $lim(1+1/n^2)^n=1$, in quanto nello sviluppo a parte $1$, le altre quantità verrebbero azzerate dal tendere di $n$ ad infinito;
quindi sarebbe anche $lim(1+1/n^3)^n=1$, $lim(1+1/n^4)^n=1$,...ecc.ecc.
Potresti darmi un tuo parere anche sugli altri esercizi che avevo postato?
Ti ringrazio!
Saluti!
Il $lim_(n->+oo)(1+1/n)^n=e$ è un limite notevole che si dimostra.
Il $lim_(n->+oo)(1+1/n^2)^n=1$ perchè si parte dal limite notevole, non perchè nello sviluppo a parte $1$, le altre quantità verrebbero azzerate dal tendere di $n$ a $+oo$. Infatti se sostituisci $+oo$ ad $n$ ottieni una forma indeterminata $1^(oo)$.
Il $lim_(n->+oo)(1+1/n^2)^n=1$ perchè si parte dal limite notevole, non perchè nello sviluppo a parte $1$, le altre quantità verrebbero azzerate dal tendere di $n$ a $+oo$. Infatti se sostituisci $+oo$ ad $n$ ottieni una forma indeterminata $1^(oo)$.
@anonymous_c5d2a1
Forse mi sono spiegato male!
Intendevo lo sviluppo per esteso cioé:
$(1+1/n^2)^n=1+n(1/n^2)+n(n-1)/(2!)(1/n^2)^2+n(n-1)(n-2)/(3!)(1/n^2)^3+.....+(1/n^2)^n$ adesso se faccio il passaggio
al limite per $n$ che tende ad infinito, si vede facilmente che a parte $1$, ogni singolo addendo della somma tende a $0$,
pertanto si ha $lim(1+1/n^2)^n=1$.
Nel caso $(1+1/n)^n$ invece ho $(1+1/n)^n=1+n(1/n)+n(n-1)/(2!)(1/n)^2+n(n-1)(n-2)/(3!)(1/n)^3+....+(1/n)^n$ in questo caso invece facendo il passaggio al limite per $n$ tendente ad infinito si vede facilmente che risulta
$lim(1+1/n)^n= 1+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+.....,$ cioè il numero $e$.
A questo punto mi chiedo quindi, come fai a dimostrare che $lim(1+1/n^2)^n=1$ sfruttando il fatto che $lim(1+1/n)^n=e$?
Ed qual'é il limite di $(1+1/n^2)^(n^2)$ ? ancora $e$, o mi sbaglio?
Se ad esempio avessi $lim(1+1/n)^(n^2)$, allora avrei potuto calcolare prima $lim(1+1/n)^n=e$, e poi sostituendo avere,
$lim(e)^n$ il quale essendo $e>1$ non darebbe origine a forme indeterminate, e divergerebbe ad infinito, o mi sbaglio?
Grazie!
Saluti!
Forse mi sono spiegato male!
Intendevo lo sviluppo per esteso cioé:
$(1+1/n^2)^n=1+n(1/n^2)+n(n-1)/(2!)(1/n^2)^2+n(n-1)(n-2)/(3!)(1/n^2)^3+.....+(1/n^2)^n$ adesso se faccio il passaggio
al limite per $n$ che tende ad infinito, si vede facilmente che a parte $1$, ogni singolo addendo della somma tende a $0$,
pertanto si ha $lim(1+1/n^2)^n=1$.
Nel caso $(1+1/n)^n$ invece ho $(1+1/n)^n=1+n(1/n)+n(n-1)/(2!)(1/n)^2+n(n-1)(n-2)/(3!)(1/n)^3+....+(1/n)^n$ in questo caso invece facendo il passaggio al limite per $n$ tendente ad infinito si vede facilmente che risulta
$lim(1+1/n)^n= 1+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+.....,$ cioè il numero $e$.
A questo punto mi chiedo quindi, come fai a dimostrare che $lim(1+1/n^2)^n=1$ sfruttando il fatto che $lim(1+1/n)^n=e$?
Ed qual'é il limite di $(1+1/n^2)^(n^2)$ ? ancora $e$, o mi sbaglio?
Se ad esempio avessi $lim(1+1/n)^(n^2)$, allora avrei potuto calcolare prima $lim(1+1/n)^n=e$, e poi sostituendo avere,
$lim(e)^n$ il quale essendo $e>1$ non darebbe origine a forme indeterminate, e divergerebbe ad infinito, o mi sbaglio?
Grazie!
Saluti!
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