Esercizi sui limiti
Ciao a tutti 
Ho due esercizi sui limiti di cui non riesco a venirne a capo: il primo devo calcolare un asintoto obliquo della funzione $(x^2+2x^-1)/(3x-2)$, dopo aver impostato il limite ed aver fatto un paio di passaggi utilizzando il teorema di Hopital mi sono trovato $lim_(x->+oo) (-2x^2-6)/(3x^2-2x)^2$ solo che non so risolverlo.
L'altro invece è $lim_(xto0) (sin^2(3x))/(1-cos(2x))$ che ho provato a portarmi nella forma $lim_(xto0) (1-cos^2(3x))/(1-(cos^2(x)-sin^2(x))$ ma non so che farmene..
Ho due esercizi sui limiti di cui non riesco a venirne a capo: il primo devo calcolare un asintoto obliquo della funzione $(x^2+2x^-1)/(3x-2)$, dopo aver impostato il limite ed aver fatto un paio di passaggi utilizzando il teorema di Hopital mi sono trovato $lim_(x->+oo) (-2x^2-6)/(3x^2-2x)^2$ solo che non so risolverlo.
L'altro invece è $lim_(xto0) (sin^2(3x))/(1-cos(2x))$ che ho provato a portarmi nella forma $lim_(xto0) (1-cos^2(3x))/(1-(cos^2(x)-sin^2(x))$ ma non so che farmene..
Risposte
1) Usa il confronto tra infiniti (oppure, raccogli numeratore e denominatore per la potenza di grado massimo).
2) Usa un po' di limiti notevoli:
\[ \lim_{t \to 0} {\frac{\sin^2 t}{t^2}} = \left (\lim_{t \to 0}{ \frac{\sin t}{t}} \right )\left (\lim_{t \to 0}{ \frac{\sin t}{t}} \right ) = 1 \]
\[ \lim_{t \to 0}{ \frac{1 - \cos t}{t^2}} =\lim_{t \to 0}{\left [ \frac{\overbrace{1 - \cos^2 t}^{{} = \sin^2 t}}{t^2} \frac{1}{1 + \cos t} \right]} = \frac{1}{2} \]
2) Usa un po' di limiti notevoli:
\[ \lim_{t \to 0} {\frac{\sin^2 t}{t^2}} = \left (\lim_{t \to 0}{ \frac{\sin t}{t}} \right )\left (\lim_{t \to 0}{ \frac{\sin t}{t}} \right ) = 1 \]
\[ \lim_{t \to 0}{ \frac{1 - \cos t}{t^2}} =\lim_{t \to 0}{\left [ \frac{\overbrace{1 - \cos^2 t}^{{} = \sin^2 t}}{t^2} \frac{1}{1 + \cos t} \right]} = \frac{1}{2} \]
$ (x^2+2x^-1)/(3x-2) $
Questo limite è uguale ad $+infty$
Semplicemente raccogliendo i fattori che tendono ad infinito più velocemente..
Dividendo per x avrai che la m= $1/3$ e la q=$2/9$ quindi l'asintoto obliquo è dato dalla retta: $y=x/3+2/9$
Questo limite è uguale ad $+infty$
Semplicemente raccogliendo i fattori che tendono ad infinito più velocemente..
Dividendo per x avrai che la m= $1/3$ e la q=$2/9$ quindi l'asintoto obliquo è dato dalla retta: $y=x/3+2/9$
Ciao foxxcuv, perché per il secondo non provi a utilizzare gli sviluppi di Taylor? ftp://ftp.dii.unisi.it/pub/users/pnistr ... tavole.pdf. Prima utilizza la formula di duplicazione del coseno $cos(2x)=1-sin^2(x)$
$sin^2(3x) =(3x-27/6x^3+o(x^4))(3x-27/6x^3+o(x^4))$,
$sin^2(x) =(x-x^3/6+o(x^4))(x-1/6x^3+o(x^4))$,
$[(3x-27/6x^3+o(x^4))(3x-27/6x^3+o(x^4))]/[(x-x^3/6+o(x^4))(x-1/6x^3+o(x^4))]=9/2$
$sin^2(x) =(x-x^3/6+o(x^4))(x-1/6x^3+o(x^4))$,
$[(3x-27/6x^3+o(x^4))(3x-27/6x^3+o(x^4))]/[(x-x^3/6+o(x^4))(x-1/6x^3+o(x^4))]=9/2$
"HaldoSax":
Ciao foxxcuv, perché per il secondo non provi a utilizzare gli sviluppi di Taylor? ftp://ftp.dii.unisi.it/pub/users/pnistr ... tavole.pdf. Prima utilizza la formula di duplicazione del coseno $cos(2x)=1-sin^2(x)$
Sbagliato. Una simile relazione implicherebbe \( \cos(2x) = \cos^2(x) \); basta porre \( x = \dfrac{\pi}{2} \) per rendersi conto di quanto è sbagliata. Quella giusta è
\[ \cos (2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2 \sin^2(x) \]
Hai ragion Berationalgetreal mi son dimenticato di scrivere il 2 
grazie per l'osservazione
altrimenti questa
non può risultare $9/2$
Correggendo diventa:
$sin^2(3x) =(3x-27/6x^3+o(x^4))(3x-27/6x^3+o(x^4))$,
$sin^2(x) =(x-x^3/6+o(x^4))(x-1/6x^3+o(x^4))$,
$[(3x-27/6x^3+o(x^4))(3x-27/6x^3+o(x^4))]/[2(x-x^3/6+o(x^4))(x-1/6x^3+o(x^4))]=9/2$
grazie per l'osservazionealtrimenti questa
"HaldoSax":
$sin^2(3x) =(3x-27/6x^3+o(x^4))(3x-27/6x^3+o(x^4))$,
$sin^2(x) =(x-x^3/6+o(x^4))(x-1/6x^3+o(x^4))$,
$[(3x-27/6x^3+o(x^4))(3x-27/6x^3+o(x^4))]/[(x-x^3/6+o(x^4))(x-1/6x^3+o(x^4))]=9/2$
non può risultare $9/2$
Correggendo diventa:
$sin^2(3x) =(3x-27/6x^3+o(x^4))(3x-27/6x^3+o(x^4))$,
$sin^2(x) =(x-x^3/6+o(x^4))(x-1/6x^3+o(x^4))$,
$[(3x-27/6x^3+o(x^4))(3x-27/6x^3+o(x^4))]/[2(x-x^3/6+o(x^4))(x-1/6x^3+o(x^4))]=9/2$
Innanzitutto grazie a tutti per aver risposto, gentilissimi! Il primo sono riuscito a risolverlo con il confronto tra infiniti.
Nel secondo ho capito i vari passaggi che hai fatto HaldoSax e fino agli sviluppi ci sono, mi manca solo l'ultimo passaggio in cui ti ricavi che il limite che tende a zero vale $9/2$, cioè sostituendo molto barbaricamente mi viene la forma indeterminata $0/0$ (credo).. Scusate il mio ritardo ma sui limiti ho un blocco -.-"
Nel secondo ho capito i vari passaggi che hai fatto HaldoSax e fino agli sviluppi ci sono, mi manca solo l'ultimo passaggio in cui ti ricavi che il limite che tende a zero vale $9/2$, cioè sostituendo molto barbaricamente mi viene la forma indeterminata $0/0$ (credo).. Scusate il mio ritardo ma sui limiti ho un blocco -.-"
Dunque vediamo un po, al numeratore si ha:
$9x^2-27/2x^4-27/2x^4+(27/6)^2x^6+o(x^5)=9x^2-27x^4+o(x^5)$,
Denominatore:
$2x^2-2/3x^4+o(x^5)$
Ho semplicemente moltiplicato tutti i termini e usato le proprietà dell'o-piccolo, es $x^6=o(x^5)$ perché $x^6/x^5->0$ per $x->0$.
La frazione diventa:
$[9x^2-27x^4+o(x^5)]/[2x^2-2/3x^4+o(x^5)]=[x^2(9-27x^2)]/[x^2(2-2/3x^2)]+o(x^5)=[9-27x^2]/[2-2/3x^2]=9/2$
Spero di essere stato chiaro
.
Ps o-piccolo-t42472.html
$9x^2-27/2x^4-27/2x^4+(27/6)^2x^6+o(x^5)=9x^2-27x^4+o(x^5)$,
Denominatore:
$2x^2-2/3x^4+o(x^5)$
Ho semplicemente moltiplicato tutti i termini e usato le proprietà dell'o-piccolo, es $x^6=o(x^5)$ perché $x^6/x^5->0$ per $x->0$.
La frazione diventa:
$[9x^2-27x^4+o(x^5)]/[2x^2-2/3x^4+o(x^5)]=[x^2(9-27x^2)]/[x^2(2-2/3x^2)]+o(x^5)=[9-27x^2]/[2-2/3x^2]=9/2$
Spero di essere stato chiaro
.Ps o-piccolo-t42472.html
Per l'utilizzo dell'o-piccolo puoi ragionare così, nell'equazione ci devono essere tutti i termini "PIÙ PICCOLI" di un determinato valore. Nel nostro caso $x^6$ è più grande di $x^5$ quindi non deve comparire nel limite.
Tutto chiarissimo, grazie mille
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