Esercizi sugli integrali
Salve a tutti, qualcuno può darmi una dritta su come risolvere questi due esercizi?
1) Qual'è l'insieme dei valori di $alpha$ per cui l'integrale $ int_(1)^(oo) dx/(sqrt(x+1)(x-1)^(2alpha)) $ converge?
2) Quanto vale il seguente limite? (senza calcolare esplicitamente l'integrale)
$ lim_(x -> 2) 1/(x-2)int_(16)^(x^4) 1/logtdt $
1) Qual'è l'insieme dei valori di $alpha$ per cui l'integrale $ int_(1)^(oo) dx/(sqrt(x+1)(x-1)^(2alpha)) $ converge?
2) Quanto vale il seguente limite? (senza calcolare esplicitamente l'integrale)
$ lim_(x -> 2) 1/(x-2)int_(16)^(x^4) 1/logtdt $
Risposte
1) Separa i due estremi, 1 e $+\infty$ e usa un po' di confronti asintotici.
2) Usa de l'Hopital.
2) Usa de l'Hopital.
io farei così: studiare l' integrale $int_(1)^(infty)dx/(sqrt(x+1)(x-1)^(2alpha))$ è asintoticamente equivalente a $int_(1)^( infty)dx/(sqrt(x)x^(2alpha))$, da cui $int_(1)^(infty)dx/x^(2alpha+1/2)$ e quindi $2alpha +1/2>1$,$alpha>1/4$.
Il limite invece lo vedrei così:$lim_(x->2)(1/(x-2))int_(16)^(x^4)(dt/logt)=lim_(x->2)(int_(16)^(x^4)(dt/logt))/(x-2)$, da cui, applicando De L'Hopital derivando ottengo:$lim_(x->2) 4x^3/log(x^4)=32/(log(16))$.
Il limite invece lo vedrei così:$lim_(x->2)(1/(x-2))int_(16)^(x^4)(dt/logt)=lim_(x->2)(int_(16)^(x^4)(dt/logt))/(x-2)$, da cui, applicando De L'Hopital derivando ottengo:$lim_(x->2) 4x^3/log(x^4)=32/(log(16))$.
Complimenti per aver infranto una delle nostre regole più importanti. Non si sbatte la soluzione per intero; non dobbiamo mostrare i muscoli, ma insegnare ad usarli.
"Luca.Lussardi":
Complimenti per aver infranto una delle nostre regole più importanti. Non si sbatte la soluzione per intero; non dobbiamo mostrare i muscoli, ma insegnare ad usarli.
scusate, non era sicuramente mia intenzione, se l' ho fatto è perchè non sono sicuro al 100 per 100 di quello che ho scritto, mi interessavano conferme.
Ti ringrazio per la risposta, ma mi ritrovo ancora bloccato:
1) se separo l'integrale nel seguente modo:
$ int_(1)^(2) dx/(sqrt(x+1)(x-1)^(2alpha)) + int_(2)^(oo) dx/(sqrt(x+1)(x-1)^(2alpha)) $
il secondo converge per i valori indicati, ma il primo non so proprio con cosa confrontarlo
2) nel secondo esercizio invece, come si fa a derivare $ int_(16)^(x^4) dt/logt $ ?
il risultato (guardando il teorema fondamentale del calcolo integrale) non dovrebbe essere solamente $1/logx^4$ ?
1) se separo l'integrale nel seguente modo:
$ int_(1)^(2) dx/(sqrt(x+1)(x-1)^(2alpha)) + int_(2)^(oo) dx/(sqrt(x+1)(x-1)^(2alpha)) $
il secondo converge per i valori indicati, ma il primo non so proprio con cosa confrontarlo
2) nel secondo esercizio invece, come si fa a derivare $ int_(16)^(x^4) dt/logt $ ?
il risultato (guardando il teorema fondamentale del calcolo integrale) non dovrebbe essere solamente $1/logx^4$ ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo