Esercizi sugli estremi relativi ad un insieme!
Stavo facendo un esercizio sugli estremi vincolati di una funzioni in due variabili e mi son venuti diversi dubbi. Il testo è questo: Sia $\f(x, y) = e^(xy^2+x^2y+xy)$ e sia $\ D={(x,y)in R^2 : xy<=1} $
(52) Trovare eventuali punti stazionari liberi di f interni a D e studiarne la
natura.
(53) Trovare i punti stazionari vincolati di f sul bordo di D.
(54) Trovare (se ci sono) massimo e minimo assoluto di f su D.
(55) Studiare la natura dei punti trovati in (53) considerando solo il bordo di D.
(56) Dei punti che sono di estremo relativo per f considerando solo il bordo di
D, dire quali rimangono di estremo relativo anche quando si considera la
parte interna di D.
Io ho fatto l' esercizio così:
52)Ho trovato gli estremi libiri in cui si annulla il gradiente di $\f(x,y)$ e trovo i punti $(-1/3,-1/3) (0,0) (0,-1) (-1,0)$ e tutti i punti in questione si trovano nell' insieme $xy<1$. Quindi con l' utilizzo della matrice Hessiana si trova la natura dei punti $(-1/3,-1/3)(0,-1) (-1,0)$, mentre per il punto $ (0,0)$ la matrice ha determinante nullo. La prima domanda che vi faccio è: come posso determinare la natura del punto $(0,0)$?
53)Poi ho applicato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per trovare il punti sul bordo dell' insieme $xy=1$ e trovo i punti $(1,1) , (-1,-1)$.
55)Quindi trovo che $f(1,1)=e^3$ e $f(-1,-1)=1/e$ quindi il primo punto è un massimo assoluto sul bordo di $D$ e e il secodo punto è un minimo assoluto (max e min esistono per Weierstrass in quanto $xy=1$ è un compatto).
A questo punto non capisco la domanda 54: trovare se ci sono massimo o minimo assoluto di $f(x,y)$ in $D$ significa vedere quali tra i punti che ho trovato, compresi quelli trovati con i moltiplicatori di Lagrange, sono massimi o minimi relativi (escludendo i punti di sella quindi), calcolare il valore della funzione in quei punti e vedere quali tra essi hanno il valore più grande ed il valore più piccolo?
Infine non riesco a capire cosa significhi "dei punti che sono di estremo relativo per $f$ considerando solo il bordo di $D$, dire quali rimangono di estremo relativo anche quando si considera la parte interna di $D$"! Quali punti dovrebbero rimanere di estremo relativo?
Per favore, vi chiedo di togliermi questi dubbi, visto che l' esame si avvicina, grazie in anticipo!
(52) Trovare eventuali punti stazionari liberi di f interni a D e studiarne la
natura.
(53) Trovare i punti stazionari vincolati di f sul bordo di D.
(54) Trovare (se ci sono) massimo e minimo assoluto di f su D.
(55) Studiare la natura dei punti trovati in (53) considerando solo il bordo di D.
(56) Dei punti che sono di estremo relativo per f considerando solo il bordo di
D, dire quali rimangono di estremo relativo anche quando si considera la
parte interna di D.
Io ho fatto l' esercizio così:
52)Ho trovato gli estremi libiri in cui si annulla il gradiente di $\f(x,y)$ e trovo i punti $(-1/3,-1/3) (0,0) (0,-1) (-1,0)$ e tutti i punti in questione si trovano nell' insieme $xy<1$. Quindi con l' utilizzo della matrice Hessiana si trova la natura dei punti $(-1/3,-1/3)(0,-1) (-1,0)$, mentre per il punto $ (0,0)$ la matrice ha determinante nullo. La prima domanda che vi faccio è: come posso determinare la natura del punto $(0,0)$?
53)Poi ho applicato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per trovare il punti sul bordo dell' insieme $xy=1$ e trovo i punti $(1,1) , (-1,-1)$.
55)Quindi trovo che $f(1,1)=e^3$ e $f(-1,-1)=1/e$ quindi il primo punto è un massimo assoluto sul bordo di $D$ e e il secodo punto è un minimo assoluto (max e min esistono per Weierstrass in quanto $xy=1$ è un compatto).
A questo punto non capisco la domanda 54: trovare se ci sono massimo o minimo assoluto di $f(x,y)$ in $D$ significa vedere quali tra i punti che ho trovato, compresi quelli trovati con i moltiplicatori di Lagrange, sono massimi o minimi relativi (escludendo i punti di sella quindi), calcolare il valore della funzione in quei punti e vedere quali tra essi hanno il valore più grande ed il valore più piccolo?
Infine non riesco a capire cosa significhi "dei punti che sono di estremo relativo per $f$ considerando solo il bordo di $D$, dire quali rimangono di estremo relativo anche quando si considera la parte interna di $D$"! Quali punti dovrebbero rimanere di estremo relativo?
Per favore, vi chiedo di togliermi questi dubbi, visto che l' esame si avvicina, grazie in anticipo!
Risposte
Up! Nessuno è in grado di darmi una mano?
Caspita non c'è proprio nessuno? 
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