Esercizi sugli estremi di un insieme

[Fire_fly]

Ciao a tutti, vi espongo il mio problema.
Sto facendo dei semplici esercizi relativi al calcolo dell'estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo. Ho notato che se, dopo aver trovato il maggiorante e minorante, verifico direttamente se quell'elemento appartiene all'insieme considerato, si trova direttamente massimo/minimo (in caso di appartenenza all'insieme) e di conseguenza gli estremi. In alcuni casi ho voluto provare a calcolare comunque l'estremo superiore/inferiore "manualmente", senza sfruttare il fatto che ci fosse il max/min. Il risultato e' che mi vengono disequazioni un pochino strane... mi permetto di postare un esercizio che ho svolto.

Considerato l'insieme B = { (3n + 2) / n tale che n € N } calcolare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo.
Questo è ciò che ho fatto:
1) Ho dimostrato inizialmente che Xn > X(n+1) . Quindi la seguente disequazione: (3n+2) / n > (3(n+1) + 2 ) / (n + 1) , per ogni n € N.
Svolgendo i calcoli si avrà 2 / n(n + 1) > 0 . Quindi 2 > 0 che è sempre vero e n(n + 1) che è sempre vero.
2) Ipotizzo che 5 sia un maggiorante. Quindi 5 >= (3n + 2) / n e dopo alcuni passaggi (2n - 2 ) / n >= 0 ovvero n >= 1 e n >= 0. Sempre verificate, quindi si ha un maggiorante M = 5.
3) Adesso si vede subito che per n = 1 si ha (3n + 2) / n = 5, quindi 5 appartiene ad A e quindi è un massimo. Quindi max A = 5 e l'estremo superiore sup A = 5.
4) Se io volessi comunque verificare che l'estremo superiore corrisponde a 5 potrei applicare la definizione di estremo superiore, ma è proprio qui che succedono cose strane.
a) 5 deve essere maggiorante, ed è già dimostrato.
b) per ogni ε > 0, esiste almeno un n € N tale che (3n + 2) / n > 5 - ε. Svolgendo i calcoli viene fuori: (εn - 2n + 2 ) / n > 0 quindi (2n - εn - 2 ) / n < 0 . Quindi 2n - εn - 2 < 0 ovvero 2n - εn < 2 e quindi n < 2 / (2 - ε) . Quanto senso ha quest'ultima soluzione? Se ε è un valore a scelta allora la condizione avrebbe senso solo se ε fosse minore di 2. Esempio: ε = 1,5 ===> 2 / 1,5 = 1,33 e quindi quel valore n che si sta cercando sarebbe proprio 1. Ma se consideriamo ε = 1000 ? Si avrebbe 2 / (-998), ovvero un numero negativo. Ma visto che n è un numero reale ciò non ha senso ... e di conseguenza non sarebbe verificata la condizione... ma in realtà sappiamo che 5 è l'estremo superiore perché abbiamo visto che appartiene all'insieme B...

E al denominatore invece n < 0, che ha ancora meno senso.


Ho provato anche con altri esercizi simili, e le disequazioni di questo tipo mi capitano sempre quando ho un massimo o un minimo e provo a trovare comunque l'estremo "manualmente"... logicamente sbaglio qualcosa.
ps: so che in queste situazione il denominatore si potrebbe togliere perché tanto non si hanno problemi di segno visto che i numeri naturali sono sempre positivi.. ma lasciandolo non dovrebbero esserci problemi perché tanto si ottengono comunque soluzioni coerenti... giusto? Cioè mi succede sempre, tranne in queste situazioni in cui trovo il max/min e provo comunque a verificare l'estremo applicando la definizione.
Ringrazio in anticipo chiunque leggerà questo post .