Esercizi su una funzione a due variabili
Ciao a tutti 
Ho la funzione
\(\displaystyle f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2-y^2}{|x|+|y|} & (x,y)\ne (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{cases} \)
Devo studiarne continuità e differenziabilità.
*Continuità: sicuramente all'infuori dell'origine la funzione è continua perché composta da funzioni continue. Nell'origine controllo il limite:
$lim_((x,y) to (0,0)) (x^2-y^2)/(|x|+|y|)=lim_(rho to 0^+) (rho^2 (cos^2 theta - sin^2 theta))/(rho(|cos theta|+|sin theta|)) le rho/(|cos theta|+|sin theta|) =0 forall theta in mathbb(R)$
quindi la funzione è continua in tutto $mathbb(R)^2$.
*Differenziabilità: la funzione ha derivate parziali continue nel loro dominio, quindi fuori dell'origine è differenziabile. Nell'origine potrei controllare tramite la definizione, ma già calcolando la derivata parziale rispetto a $x$ nell''origine:
$lim_(h to 0) (f(h,0)-f(0,0))/h= h^2/(h|h|)$
vedo che non esiste: questo mi basta per affermare che la funzione non è differenziabile nell'origine.
E' corretto?
Ho la funzione
\(\displaystyle f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2-y^2}{|x|+|y|} & (x,y)\ne (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{cases} \)
Devo studiarne continuità e differenziabilità.
*Continuità: sicuramente all'infuori dell'origine la funzione è continua perché composta da funzioni continue. Nell'origine controllo il limite:
$lim_((x,y) to (0,0)) (x^2-y^2)/(|x|+|y|)=lim_(rho to 0^+) (rho^2 (cos^2 theta - sin^2 theta))/(rho(|cos theta|+|sin theta|)) le rho/(|cos theta|+|sin theta|) =0 forall theta in mathbb(R)$
quindi la funzione è continua in tutto $mathbb(R)^2$.
*Differenziabilità: la funzione ha derivate parziali continue nel loro dominio, quindi fuori dell'origine è differenziabile. Nell'origine potrei controllare tramite la definizione, ma già calcolando la derivata parziale rispetto a $x$ nell''origine:
$lim_(h to 0) (f(h,0)-f(0,0))/h= h^2/(h|h|)$
vedo che non esiste: questo mi basta per affermare che la funzione non è differenziabile nell'origine.
E' corretto?
Risposte
Ciao Branca,
la prima parte mi convince, ma aspetta opinioni diverse.
Ho provato a immaginare il grafico della nostra funzione (se vuoi ti dico cosa ho pensato) e tagliando il grafico con il piano $zy$ mi sembra che vengano due semirette consecutive con vertice nell'origine e quindi concludo come te che la funzione non è differenziabile nell'origine.
la prima parte mi convince, ma aspetta opinioni diverse.
Ho provato a immaginare il grafico della nostra funzione (se vuoi ti dico cosa ho pensato) e tagliando il grafico con il piano $zy$ mi sembra che vengano due semirette consecutive con vertice nell'origine e quindi concludo come te che la funzione non è differenziabile nell'origine.
Grazie gio
Certo che può interessarmi cosa hai pensato.
La soluzione alla quale sono pervenuto non mi convinceva perché subito dopo l'esercizio mi chiede di calcolare, specificando comunque se esiste, la derivata direzionale in $(0,0)$ lungo direzione e verso del vettore $v=(3/5, 4/5)$.
EDIT: però ora che ci penso: teoricamente, il fatto che la funzione non sia differenziabile nell'origine... di certo non ho garanzia che le derivate direzionali esistano, ma non ho nemmeno garanzia del contrario, no?
Certo che può interessarmi cosa hai pensato.
La soluzione alla quale sono pervenuto non mi convinceva perché subito dopo l'esercizio mi chiede di calcolare, specificando comunque se esiste, la derivata direzionale in $(0,0)$ lungo direzione e verso del vettore $v=(3/5, 4/5)$.
EDIT: però ora che ci penso: teoricamente, il fatto che la funzione non sia differenziabile nell'origine... di certo non ho garanzia che le derivate direzionali esistano, ma non ho nemmeno garanzia del contrario, no?
Ciao Branca, grazie della considerazione!
Tieni sempre a mente che non sono affatto esperta, provo solo a ragionare.
All'inizio mi sono chiesta dove la funzione fosse positiva e dove negativa: mi sono usciti quattro angoli retti, con il vertice nell'origine e come lati le bisettrici dei quadranti. In corrispondenza dei due angoli opposti al vertice che contengono l'asse x, la funzione assume valori positivi, negli altri due angoli negativi. La funzione vale 0 lungo le bisettrici (l'origine è compresa perchè lo dice la traccia). Ti torna?
Riguardo il mio ragionamento circa la differenziabilità non credo sia sostanzialmente diverso dal tuo:
tu dici: faccio la derivata di $z=|x|$ e non esiste
io dico: la derivata di $z=|x|$ non esiste perchè è un punto angoloso
Tieni sempre a mente che non sono affatto esperta, provo solo a ragionare.
All'inizio mi sono chiesta dove la funzione fosse positiva e dove negativa: mi sono usciti quattro angoli retti, con il vertice nell'origine e come lati le bisettrici dei quadranti. In corrispondenza dei due angoli opposti al vertice che contengono l'asse x, la funzione assume valori positivi, negli altri due angoli negativi. La funzione vale 0 lungo le bisettrici (l'origine è compresa perchè lo dice la traccia). Ti torna?
Riguardo il mio ragionamento circa la differenziabilità non credo sia sostanzialmente diverso dal tuo:
tu dici: faccio la derivata di $z=|x|$ e non esiste
io dico: la derivata di $z=|x|$ non esiste perchè è un punto angoloso
Si, il ragionamento mi torna.
Sulla differenziabilità semplicemente io ho fatto 'sto passaggio mentale:
Tenendo conto che:
*la definizione di differenziabilità contiene al suo interno le derivate parziali calcolate (qui) nell'origine;
*la derivata parziale rispetto a x in (0,0) equivale al limite del rapporto incrementale ecc...;
*qualunque limite, se esiste, è unico;
ma poiché:
*il limite mi viene $pm 1 Rightarrow $ non esiste $Rightarrow$ la derivata parziale rispetto a x non esiste
allora
$Rightarrow$ non può essere differenziabile perché la derivata parziale rispetto a x non esiste affatto, e mi è perciò impossibile calcolare tramite definizione la differenziabilità.
Invece sulla derivata direzionale? Sono autorizzato a calcolare
$partial/(partial v)f(0,0)=lim_(t to 0) (f(0+3/5t,0+4/5t)-f(0,0))/t$?
Sulla differenziabilità semplicemente io ho fatto 'sto passaggio mentale:
Tenendo conto che:
*la definizione di differenziabilità contiene al suo interno le derivate parziali calcolate (qui) nell'origine;
*la derivata parziale rispetto a x in (0,0) equivale al limite del rapporto incrementale ecc...;
*qualunque limite, se esiste, è unico;
ma poiché:
*il limite mi viene $pm 1 Rightarrow $ non esiste $Rightarrow$ la derivata parziale rispetto a x non esiste
allora
$Rightarrow$ non può essere differenziabile perché la derivata parziale rispetto a x non esiste affatto, e mi è perciò impossibile calcolare tramite definizione la differenziabilità.
Invece sulla derivata direzionale? Sono autorizzato a calcolare
$partial/(partial v)f(0,0)=lim_(t to 0) (f(0+3/5t,0+4/5t)-f(0,0))/t$?
Ciao Branca,
sono tornata rientrata solo ora.
Sono d'accordo con te.
sono tornata rientrata solo ora.
"Brancaleone":
Si, il ragionamento mi torna.
Sulla differenziabilità semplicemente io ho fatto 'sto passaggio mentale:
Tenendo conto che:
*la definizione di differenziabilità contiene al suo interno le derivate parziali calcolate (qui) nell'origine;
*la derivata parziale rispetto a x in (0,0) equivale al limite del rapporto incrementale ecc...;
*qualunque limite, se esiste, è unico;
ma poiché:
*il limite mi viene $pm 1 Rightarrow $ non esiste $Rightarrow$ la derivata parziale rispetto a x non esiste
allora
$Rightarrow$ non può essere differenziabile perché la derivata parziale rispetto a x non esiste affatto, e mi è perciò impossibile calcolare tramite definizione la differenziabilità.
Sono d'accordo con te.
Tranquilla. Grazie per aver risposto
Ciao Branca,
ho riflettuto ancora sulla tua funzione e ho pensato di studiarla quadrante per quadrante:
I quadrante $x>0$ e $y>0$ di conseguenza $f(x,y)=(x^2-y^2)/(x+y)=(x+y)(x-y)/(x+y)=x-y$
la nostra funzione diventa semplicemente un piano le cui curve di livello sono rette del tipo $y=x+q$ dove $q$ dipende dalla quota.
Procedendo per ciascun quadrante mi sembra venga fuori una specie di "origami" (fogli piegati) e le piegature si hanno in corrispondenza degli assi cartesiani, dove la nostra funzione è continua ma non differenziabile, corretto secondo te?
ho riflettuto ancora sulla tua funzione e ho pensato di studiarla quadrante per quadrante:
I quadrante $x>0$ e $y>0$ di conseguenza $f(x,y)=(x^2-y^2)/(x+y)=(x+y)(x-y)/(x+y)=x-y$
la nostra funzione diventa semplicemente un piano le cui curve di livello sono rette del tipo $y=x+q$ dove $q$ dipende dalla quota.
Procedendo per ciascun quadrante mi sembra venga fuori una specie di "origami" (fogli piegati) e le piegature si hanno in corrispondenza degli assi cartesiani, dove la nostra funzione è continua ma non differenziabile, corretto secondo te?
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