Esercizi su non derivabilità e punti stazionari
Ciao ragazzi,
ho svolto due esercizi riguardo i punti di non derivabilità e i massimi e minimi.
Mi potreste dire se è svolto tutto correttamente e se i passaggi fatti sono corretti?
Grazie
1)Studiare i punti di non derivabilità.
$(|x^2-4|)/(x+1)$
Dominio $RR-{-1}$
La funzione si può scrivere anche come definita a tratti
$(x^2-4)/(x+1)$ $ x<-2 vv x>=2$
$(4-x^2)/(x+1)$ $ -2<=x<-1 vv -1
La funzione iniziale si presenta come un rapporto tra due funzioni polinomiali con al numeratore un valore assoluto.
Tali funzioni sono continue in tutto $RR$ eccetto in cui si annulla il denominatore.
In questo caso $x=-1$
In questo punto infatti
$ lim_(x->-1^-) {((x^2-4)/(x+1)), ((4-x^2)/(x+1)):}=-infty$
$ lim_(x->-1^+) {((x^2-4)/(x+1)), ((4-x^2)/(x+1)):}=+infty$
Dal risultato dei limiti si evince che è presente una discontinuità di seconda specie.
Procedo allo studio nei punti $x=+2$ e $x=-2$ che sono i punti in cui si annulla il modulo del valore assoluto al numeratore e quindi i punti di raccordo nella funzione definita a tratti.
Per procedere a tale studio, essendo la funzione continua in tale punto, sfrutto il teorema di Lagrange e calcolo il limite destro e sinistro della derivata prima.
Derivata prima di $(x^2-4)/(x+1)= (x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)$
Derivata prima di $(4-x^2)/(x+1)= -(x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)$
Studio dei limiti destro e sinistro nei punti di raccordo
$lim_(x->+2^+) (x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)= 4/3$
$lim_(x->+2^-) -(x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)= -4/3$
Nel punto di raccordo $x=2$ è presente un punto angoloso quindi la funzione non è derivabile in tale punto.
$lim_(x->-2^+) -(x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)= -4$
$lim_(x->-2^-) (x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)= 4$
Anche in questo punto è presente un punto angoloso, la funzione non è derivabile in tale punto.
2)Calcolo dei punti stazioni della seguente funzione $x+1-2sin^2(x)$ il cui studio deve essere limitato all’intervallo $[0,2pi]$.
Il dominio naturale della funzione è $RR$ ma è limitato al suddetto intervallo.
È una funzione continua e derivabile in tutto l’intervallo considerato essendo continua e derivabile in tutto $RR$.
La funzione presenta delle periodicità essendoci il $2sin^2(x)$.
Può essere riscritta come $x+cos(2x)$
Per calcolare i punti di minimo e massimi procedo al calcolo della derivata prima, e se non ho commesso errori, è $1-2sin(2x)$ il cui dominio è $RR$
Studio il segno della derivata prima
$1-2sin(2x)>=0$
$sin2x<=1/2$
$-pi/12<=x<=+pi/12 + pik $ con $k$ numero intero (essendo limitata in un dato intervallo, si può anche omettere, giusto?).
$(-pi/12)$ e $(pi/12)$ sono rispettivamente le ascisse dei punti stazionari di minimo e massimo relativi della funzione data, e nell’intervallo considerato sono i punti di minimo e massimo assoluti. È corretto?
La derivata seconda è invece uguale a $-4cos(2x)$ ed ottengo come risultato dello studio del segno
$-pi/4<=x<+pi/4$.
Entrambi ascisse di punti di flesso in cui la funzione passa da concava a convessa.
ho svolto due esercizi riguardo i punti di non derivabilità e i massimi e minimi.
Mi potreste dire se è svolto tutto correttamente e se i passaggi fatti sono corretti?
Grazie
1)Studiare i punti di non derivabilità.
$(|x^2-4|)/(x+1)$
Dominio $RR-{-1}$
La funzione si può scrivere anche come definita a tratti
$(x^2-4)/(x+1)$ $ x<-2 vv x>=2$
$(4-x^2)/(x+1)$ $ -2<=x<-1 vv -1
La funzione iniziale si presenta come un rapporto tra due funzioni polinomiali con al numeratore un valore assoluto.
Tali funzioni sono continue in tutto $RR$ eccetto in cui si annulla il denominatore.
In questo caso $x=-1$
In questo punto infatti
$ lim_(x->-1^-) {((x^2-4)/(x+1)), ((4-x^2)/(x+1)):}=-infty$
$ lim_(x->-1^+) {((x^2-4)/(x+1)), ((4-x^2)/(x+1)):}=+infty$
Dal risultato dei limiti si evince che è presente una discontinuità di seconda specie.
Procedo allo studio nei punti $x=+2$ e $x=-2$ che sono i punti in cui si annulla il modulo del valore assoluto al numeratore e quindi i punti di raccordo nella funzione definita a tratti.
Per procedere a tale studio, essendo la funzione continua in tale punto, sfrutto il teorema di Lagrange e calcolo il limite destro e sinistro della derivata prima.
Derivata prima di $(x^2-4)/(x+1)= (x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)$
Derivata prima di $(4-x^2)/(x+1)= -(x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)$
Studio dei limiti destro e sinistro nei punti di raccordo
$lim_(x->+2^+) (x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)= 4/3$
$lim_(x->+2^-) -(x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)= -4/3$
Nel punto di raccordo $x=2$ è presente un punto angoloso quindi la funzione non è derivabile in tale punto.
$lim_(x->-2^+) -(x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)= -4$
$lim_(x->-2^-) (x^2+2x+4)/(x^2+2x+1)= 4$
Anche in questo punto è presente un punto angoloso, la funzione non è derivabile in tale punto.
2)Calcolo dei punti stazioni della seguente funzione $x+1-2sin^2(x)$ il cui studio deve essere limitato all’intervallo $[0,2pi]$.
Il dominio naturale della funzione è $RR$ ma è limitato al suddetto intervallo.
È una funzione continua e derivabile in tutto l’intervallo considerato essendo continua e derivabile in tutto $RR$.
La funzione presenta delle periodicità essendoci il $2sin^2(x)$.
Può essere riscritta come $x+cos(2x)$
Per calcolare i punti di minimo e massimi procedo al calcolo della derivata prima, e se non ho commesso errori, è $1-2sin(2x)$ il cui dominio è $RR$
Studio il segno della derivata prima
$1-2sin(2x)>=0$
$sin2x<=1/2$
$-pi/12<=x<=+pi/12 + pik $ con $k$ numero intero (essendo limitata in un dato intervallo, si può anche omettere, giusto?).
$(-pi/12)$ e $(pi/12)$ sono rispettivamente le ascisse dei punti stazionari di minimo e massimo relativi della funzione data, e nell’intervallo considerato sono i punti di minimo e massimo assoluti. È corretto?
La derivata seconda è invece uguale a $-4cos(2x)$ ed ottengo come risultato dello studio del segno
$-pi/4<=x<+pi/4$.
Entrambi ascisse di punti di flesso in cui la funzione passa da concava a convessa.
Risposte
Ciao Quasar3.14,
1) mi pare corretto, anche se quella notazione con la parentesi graffa sui limiti l'avrei evitata...
Nel 2) c'è qualche imprecisione:
Si chiamano punti stazionari.
No, la funzione non è periodica: si può verificare facilmente con la definizione.
All'interno dell'intervallo $[0, 2\pi] $ mi risultano due massimi per $x = \pi/12 $ e per $x = (13\pi)/12 $ e due minimi, per $x = (5\pi)/12 $ e per $x = (17\pi)/12 $
La derivata seconda in effetti è $- 4 cos(2x) $, ma la scriverei nella forma $ 4 - 8 cos^2 x = - 4 + 8 sin^2 x $, più comoda per risolvere la disequazione:
$4 - 8cos^2 x \ge 0 $
$1 - 2cos^2 x \ge 0 $
che ha soluzioni $\pi/4 + k\pi \le x \le (3\pi)/4 + k\pi $, $k \in \ZZ $
Visto che siamo nell'intervallo $[0, 2\pi]$, basta considerare i valori $k = 0 $ e $k = 1$:
per $k = 0 $ si ha $\pi/4 \le x \le (3\pi)/4 $;
per $k = 1 $ si ha $(5\pi)/4 \le x \le (7\pi)/4 $
1) mi pare corretto, anche se quella notazione con la parentesi graffa sui limiti l'avrei evitata...
Nel 2) c'è qualche imprecisione:
"Quasar3.14":
Calcolo dei punti stazioni
Si chiamano punti stazionari.
"Quasar3.14":
La funzione presenta delle periodicità essendoci il $2sin2(x)$.
No, la funzione non è periodica: si può verificare facilmente con la definizione.
All'interno dell'intervallo $[0, 2\pi] $ mi risultano due massimi per $x = \pi/12 $ e per $x = (13\pi)/12 $ e due minimi, per $x = (5\pi)/12 $ e per $x = (17\pi)/12 $
La derivata seconda in effetti è $- 4 cos(2x) $, ma la scriverei nella forma $ 4 - 8 cos^2 x = - 4 + 8 sin^2 x $, più comoda per risolvere la disequazione:
$4 - 8cos^2 x \ge 0 $
$1 - 2cos^2 x \ge 0 $
che ha soluzioni $\pi/4 + k\pi \le x \le (3\pi)/4 + k\pi $, $k \in \ZZ $
Visto che siamo nell'intervallo $[0, 2\pi]$, basta considerare i valori $k = 0 $ e $k = 1$:
per $k = 0 $ si ha $\pi/4 \le x \le (3\pi)/4 $;
per $k = 1 $ si ha $(5\pi)/4 \le x \le (7\pi)/4 $
"pilloeffe":
No, la funzione non è periodica: si può verificare facilmente con la definizione.
Grazie pilloeffe! Per quanto riguarda questo punto, non è periodica, però vedendo il grafico, noto che tende a "ripetere" il suo andamento
Sì, ho capito cosa intendevi: potendosi scrivere nella forma $x + cos(2x) $, la funzione proposta "si arrampica" sulla retta $y = x$ (bisettrice del primo e del terzo quadrante) mantenendo lo stesso andamento. Stai attento però perché se scrivi "periodica" in una prova scritta o lo dici in una prova orale sicuramente il docente non te la fa passare liscia...
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