Esercizi su massimi e minimi locali
Buonasera a tutti!
Sto svolgendo alcuni esercizi su massimi e minimi locali e mi sono imbattuto in un paio di esercizi che mi hanno lasciato perplesso.
Forse è un dubbio stupido, però non ne riesco a venire a capo.
L'esercizio chiede: data $f(x)$, dire se il punto $x_0$ indicato è di massimo o minimo locale, o nessuno dei due.
In particolare, sono due le funzioni su cui mi sono impantanato: la prima è $f(x)=(cos^4x)/(2x-pi), x_0=pi/2$.
La seconda: $f(x)=(log^3x)/(x^5-1), x_0=1$.
Ora il mio dubbio è: visto che nei punti indicati le due funzioni non sono definite, posso concludere che in quei punti non ammettono né massimo né minimo?
Sto svolgendo alcuni esercizi su massimi e minimi locali e mi sono imbattuto in un paio di esercizi che mi hanno lasciato perplesso.
Forse è un dubbio stupido, però non ne riesco a venire a capo.
L'esercizio chiede: data $f(x)$, dire se il punto $x_0$ indicato è di massimo o minimo locale, o nessuno dei due.
In particolare, sono due le funzioni su cui mi sono impantanato: la prima è $f(x)=(cos^4x)/(2x-pi), x_0=pi/2$.
La seconda: $f(x)=(log^3x)/(x^5-1), x_0=1$.
Ora il mio dubbio è: visto che nei punti indicati le due funzioni non sono definite, posso concludere che in quei punti non ammettono né massimo né minimo?
Risposte
Il massimo e il minimo sono valori assunti dalla funzione.
"regim":
Il massimo e il minimo sono valori assunti dalla funzione.
Quindi, visto che nei punti indicati le due funzioni non assumono valori, farei bene a dire che non ammettono né massimo né minimo in quei punti?
Lo chiedo perché sulle soluzioni c'è scritto che la seconda, nel punto dato, ammette minimo...
Non è vero che la funzione ha dei massimi/minimi in [tex]x_0[/tex] se e solo se essa esiste in tale punto. Ad esempio, la funzione [tex]\frac{\sin x}{x}[/tex] non esiste in [tex]x=0[/tex] ma esiste il suo limite (discontinuità di terza specie) ed ha massimo assoluto proprio in tale punto.
La funzione in effetti può essere prolungabile per continuità in un particolare punto,pur non essendovi definita.
Devi applicare la definizione.
Devi applicare la definizione.
Lomax di specie di discontinuità ne conoscevo due ma va beh, la seconda conteneva tutte le altre non contenute nella prima, ma posso immaginare che qualcuno decida di crearne una seconda una terza and so on, ma che una funzione assuma un massimo in un punto in cui non è definita, questa mi giunge nuova.
Dovrei risolverlo con il criterio per lo studio di punti di massimo, minimo e di flesso, il quale ha, tra le ipotesi, che la funzione da studiare sia di classe $C^n$ in un intorno di $x_0$, ma se è discontinua non può essere derivabile. O no?
Se una funzione è discontinua(che non è la stessa cosa che dire che non è definita, anzi..) in un punto, non può essere ivi derivabile.
PS
La discontinuità di terza specie parla di punto in cui non è definita la funzione, che a mio parere è una forzatura uno stupro linguistico, perchè il termine discontinuo si riferisce almeno nei classici dell'analisi, a quei punti del dominio di una funzione in cui appunto la funzione non è continua, la continuità è infatti una proprietà importante di una funzione che riguarda solo i punti in cui essa è definita, negarla dovrebbe sempre avere lo stesso insieme come riferimento.
PS
La discontinuità di terza specie parla di punto in cui non è definita la funzione, che a mio parere è una forzatura uno stupro linguistico, perchè il termine discontinuo si riferisce almeno nei classici dell'analisi, a quei punti del dominio di una funzione in cui appunto la funzione non è continua, la continuità è infatti una proprietà importante di una funzione che riguarda solo i punti in cui essa è definita, negarla dovrebbe sempre avere lo stesso insieme come riferimento.
"regim":
Se una funzione è discontinua(che non è la stessa cosa che dire che non è definita, anzi..) in un punto, non può essere ivi derivabile.
Quindi a maggior ragione, se non è definita in un punto, non è derivabile in un intorno del punto in questione. Giusto?
Però il testo mi dice che la seconda funzione che ho riportato ($f(x)=(log^3x)/(x^5-1)$) in $x_0=1$ ha un punto di minimo...
No emmeffe90, non è giusto. Solo nel punto in cui non è continua puoi dire che è non è derivabile, negli altri può tranquillamente esserlo.
Ma non può avere un punto di minimo lì, non è definita in $1$. Se il testo parla di minimo, la funzione allora è stata definita diversamente, e non può essere solo quella che hai scritto.
Ma non può avere un punto di minimo lì, non è definita in $1$. Se il testo parla di minimo, la funzione allora è stata definita diversamente, e non può essere solo quella che hai scritto.
Ho controllato, la funzione è definita così come ho scritto. Forse bisogna estenderla per continuità come suggerito da Mathcrazy.
A quel punto dovrei procedere come dice il teorema, cioè calcolare le derivate successive nel punto 1, verificando che si annullano fino ad un qualche ordine $n-1$, mentre la derivata $n$-sima non si annulla, verificare se n è pari o dispari e se $f^((n))>0$ o $f^((n))<0$?
A quel punto dovrei procedere come dice il teorema, cioè calcolare le derivate successive nel punto 1, verificando che si annullano fino ad un qualche ordine $n-1$, mentre la derivata $n$-sima non si annulla, verificare se n è pari o dispari e se $f^((n))>0$ o $f^((n))<0$?
"regim":
Lomax di specie di discontinuità ne conoscevo due ma va beh, la seconda conteneva tutte le altre non contenute nella prima, ma posso immaginare che qualcuno decida di crearne una seconda una terza and so on,
??? scusa, ma cosa significa la frase in grassetto?
Discontinuità di terza specie, anche nota come discontinuità eliminabile.. non è un'invenzione di Lomax.
@emmeffe90 La funzione è quella? allora controlla che non parli di prolungamento della funzione per quanto riguarda il minimo, dovrebbe menzionarlo esplicitamente, se nemmeno questo è il caso, allora potresti dirmi chi ha scritto il testo? 
Dovresti proseguire come dice, quale teorema?
@Math ho spiegato sopra cosa penso della discontinuita' di terza specie, la frase significa che il fatto di dare un nome alle discontinuità al di là di quelle ben note, non lo ritengo un gran valore aggiunto, e non voleva essere una critica per lomax assolutamente. Quella della terza specie è sicuramente una definizione recente, perchè se prendi un classico come il Rudin, ad esempio, di cui la terza edizione del 1976, non ve n'è traccia.
Dovresti proseguire come dice, quale teorema?
@Math ho spiegato sopra cosa penso della discontinuita' di terza specie, la frase significa che il fatto di dare un nome alle discontinuità al di là di quelle ben note, non lo ritengo un gran valore aggiunto, e non voleva essere una critica per lomax assolutamente. Quella della terza specie è sicuramente una definizione recente, perchè se prendi un classico come il Rudin, ad esempio, di cui la terza edizione del 1976, non ve n'è traccia.
"regim":
@emmeffe90 La funzione è quella? allora controlla che non parli di prolungamento della funzione per quanto riguarda il minimo, dovrebbe menzionarlo esplicitamente, se nemmeno questo è il caso, allora potresti dirmi chi ha scritto il testo?
Non menziona il prolungamento, chiede solo se nel punto dato la f ammette massimo o minimo o nessuno dei due. L'esercizio l'ho preso dal sito web del mio prof di analisi.
"regim":
Dovresti proseguire come dice, quale teorema?
Mi riferisco al criterio sullo studio di punti di massimo, minimo e flesso attraverso lo studio delle derivate successive.
Allora si spiega l'arcano, infatti parla di massimo, minimo, o nessuno dei due, la risposta è, nessuno dei due.
Il massimo è sempre un valore che è assunto, e che, per l'appunto, è il più grande di tutti, il massimo cioè. Se questo valore non esiste perchè mai assunto dalla funzione, allora è al più l'estremo superiore, ma non il massimo.
Ma puoi sempre guardare su wikipedia per trovare la definizione di massimo e di minimo, mica devi fidarti di quello che dico io ciao.
Il massimo è sempre un valore che è assunto, e che, per l'appunto, è il più grande di tutti, il massimo cioè. Se questo valore non esiste perchè mai assunto dalla funzione, allora è al più l'estremo superiore, ma non il massimo.
Ma puoi sempre guardare su wikipedia per trovare la definizione di massimo e di minimo, mica devi fidarti di quello che dico io ciao.
"regim":
la risposta è, nessuno dei due.
È quello che avevo pensato anche io, invece sulle soluzioni c'è scritto che $x_0=1$ è un punto di minimo (per la seconda funzione).
Fallo notare al professore, vedrai che ti dirà che si è sbagliato, capita a volte! mica è una cosa grave.
Cioè, è un conto scriverlo nella teoria di un testo che è controllato e ricontrollato, già commettere quell'errore tra gli esercizi, non è un delitto, figuriamoci in quelli riportati su un sito web.
Cioè, è un conto scriverlo nella teoria di un testo che è controllato e ricontrollato, già commettere quell'errore tra gli esercizi, non è un delitto, figuriamoci in quelli riportati su un sito web.
Provvederò...
E sulla prima che mi dici ($f(x)=(cos^4x)/(2x-pi), x_0=pi/2$)? In questo caso non ammette né massimo né minimo. Basta dire che in $pi/2$ non è definita?
E sulla prima che mi dici ($f(x)=(cos^4x)/(2x-pi), x_0=pi/2$)? In questo caso non ammette né massimo né minimo. Basta dire che in $pi/2$ non è definita?
Esatto, non è definita lì la funzione, quindi non può essere un punto in cui la funzione assume il più grande dei valori o il più piccolo. Semplicemente perchè la funzione lì non è calcolabile. Altro discorso è che tu definisca anche lì la funzione, facendogli assumere il valore che vuoi, che generalmente è quello assunto come limite.
Ti ringrazio! Farò notare la cosa al professore, allora, poi magari ti faccio sapere
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo