Esercizi su integrali indefiniti
Salve, sto provando a risolvere il seguente integrale indefinito, la procedura sembra giusta ma il risultato non so se è giusto (i vari tool online danno un risultato diverso). Ecco l'integrale con il mio procedimento:
$\int x/(2+sqrt(x+4))dx$
Integrando per sostituzione considero:
$y = sqrt(x+4)$
$x+4 = y^2 -> x = y^2-4$
$dx = 2ydy$
Pertanto l'integrale diventa:
$\int (y^2-4)/(2+y)2ydy = \int ((y+2)(y-2))/(y+2)2ydy = \int 2y^2dy-\int4ydy = $
$=2/3y^3-2y^2+c = 2/3(sqrt(x+4))^3-2(x+4)+c$
E' corretto? Grazie.
$\int x/(2+sqrt(x+4))dx$
Integrando per sostituzione considero:
$y = sqrt(x+4)$
$x+4 = y^2 -> x = y^2-4$
$dx = 2ydy$
Pertanto l'integrale diventa:
$\int (y^2-4)/(2+y)2ydy = \int ((y+2)(y-2))/(y+2)2ydy = \int 2y^2dy-\int4ydy = $
$=2/3y^3-2y^2+c = 2/3(sqrt(x+4))^3-2(x+4)+c$
E' corretto? Grazie.
Risposte
si è corretto. se posti il risultato del calcolatore magari posso dirti come mai vi escono diversi. probabilmente avrà messo qualcosa come $2/3(x+4)^(3/2)-2x+c$ dove ha inglobato il -8 nella costante $c$
Il tool online dà come risultato:
$2/3(x+4)(sqrt(x+4)-3)+c$
$2/3(x+4)(sqrt(x+4)-3)+c$
è identica alla tua. ha semplicemente raccolto $2/3y^2$ e poi ha fatto la sostituzione.
per vedere che le due sono uguali svolgi il prodotto della soluzione del calcolatore e ritrovi esattamente quello che hai scritto tu.
per vedere che le due sono uguali svolgi il prodotto della soluzione del calcolatore e ritrovi esattamente quello che hai scritto tu.
Ottimo. Mi stavo preoccupando per niente. Ti ringrazio!
Ciao ragazzi, mi trovo di fronte a quest'esercizio, non riesco proprio a capire da dove partire per risolvere questo integrale indefinito, mi date gentilmente una mano?
$\int tanx/(4-cosx) dx$
Mi verrebbe in mente di riscrivere $tanx$ come rapporto $sinx/cosx$ e riscrivere quindi l'integrale ottenendo:
$\int 1/(4-cosx) dx*\int sinx/cosx dx$
Non so se è la strada giusta...
$\int tanx/(4-cosx) dx$
Mi verrebbe in mente di riscrivere $tanx$ come rapporto $sinx/cosx$ e riscrivere quindi l'integrale ottenendo:
$\int 1/(4-cosx) dx*\int sinx/cosx dx$
Non so se è la strada giusta...
Ciao GlassPrisoner91,
Porrei $t := cos x$. Piuttosto, avrei aperto un altro post...
Porrei $t := cos x$. Piuttosto, avrei aperto un altro post...
Conviene porre $t=cosx$ nell'esercizio originale o al punto dove sono arrivato io? E' risolvibile per sostituzione immagino.
Nell'esercizio originale...
Ho posto:
$t=cosx$
$dt=-sinx dx$
$\int tanx/(4-t)dx$
Ora mi sono bloccato di nuovo. L'unica cosa che mi viene in mente è di riscrivere $tanx$ come rapporto $sinx/cosx$ ottenendo quindi:
$\int 1/(4-t) * sinx/cosx dx = \int sinx/(4t -t^2) dx$
$t=cosx$
$dt=-sinx dx$
$\int tanx/(4-t)dx$
Ora mi sono bloccato di nuovo.
L'unica cosa che mi viene in mente è di riscrivere $tanx$ come rapporto $sinx/cosx$ ottenendo quindi:$\int 1/(4-t) * sinx/cosx dx = \int sinx/(4t -t^2) dx$
Hai lasciato $dx$ anziché sostituirlo, hai che $dx = -dt/sinx$ quindi $sinx$ si semplifica.
Allora...
Con la posizione già menzionata si trova $dx = -dt/sin x $ e quindi l'integrale proposto diventa il seguente:
$\int frac{dt}{t(t - 4)} = frac{1}{4}[\int frac{1}{t - 4} dt - \int dt/t ] = frac{1}{4}[\ln(4 - t) - ln|t|] + c$
Ricordando la posizione fatta, in definitiva si ha:
$\int tan x/(4 - cos x) dx = frac{1}{4}[\ln(4 - cos x) - ln|cosx|] + c$
Con la posizione già menzionata si trova $dx = -dt/sin x $ e quindi l'integrale proposto diventa il seguente:
$\int frac{dt}{t(t - 4)} = frac{1}{4}[\int frac{1}{t - 4} dt - \int dt/t ] = frac{1}{4}[\ln(4 - t) - ln|t|] + c$
Ricordando la posizione fatta, in definitiva si ha:
$\int tan x/(4 - cos x) dx = frac{1}{4}[\ln(4 - cos x) - ln|cosx|] + c$
Perdonate l'ignoranza, perchè $dx = -dt/sinx$?
Beh, se $t = cos x \implies dt = - sin x dx \implies dx = -dt/sinx $...
Già, è vero, me ne sono accorto solo ora. 
Tutto è più chiaro ora, grazie.
Tutto è più chiaro ora, grazie.
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