Esercizi su derivate, pendenza e derivabilità in un punto
Ho provato a fare i seguenti esercizi sulle derivate.
Trovare la derivata di [tex]y=|{{x}^{2}-1}|-|{{x}^{2}-4}|[/tex]:
[tex]y\prime=\frac{(x^2-1)}{|{x^2-1}|}2x-\frac{(x^2-4)}{|{x^2-4}|}2x \Rightarrow y\prime={sgn}_{1}(x)2x-{sgn}_{2}(x)2x[/tex]
e
indi per cui ottengo che [tex]y\prime=[/tex][tex]0[/tex] se [tex]x<-2 \vee x>2[/tex][tex]\vee[/tex] $ -1
Verificare l'esistenza delle tangenti alle funzioni nel punto di valutazione dato:
- [tex]f(x)=\sqrt{|{x}|}[/tex] valutata in [tex]x=0[/tex]
quindi se [tex]x<0[/tex] la funzione non può esistere, essa esiste allora solo per [tex]x>0[/tex] ed è uguale a [tex]\frac{1}_{2\sqrt{x}}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] non esiste la tangente nel punto alla funzione 0;
- [tex]f(x)=\begin{cases}
\ &\sqrt{x} \text{ se } x\geq 0 \\
&-\sqrt{-x} \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]f^\prime(x)=\begin{cases}
\ &\frac{1}{2\sqrt{x}} \text{ se } x\geq 0 \\
&\frac{1}{2\sqrt{-x}} \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex] che valutate in zero mi danno entrambe [tex]+\infty[/tex] il che mi porta a dire che esiste una tangente orizzontale al grafico della funzione data nel punto 0.
Sono corrette le affermazioni fatte in precedenza?
Scusate il collage di pezzi di formule ed immagini ma ho avuto problemi con le graffe con LaTeX!
Grazie in anticipo e buona Domenica!
Trovare la derivata di [tex]y=|{{x}^{2}-1}|-|{{x}^{2}-4}|[/tex]:
[tex]y\prime=\frac{(x^2-1)}{|{x^2-1}|}2x-\frac{(x^2-4)}{|{x^2-4}|}2x \Rightarrow y\prime={sgn}_{1}(x)2x-{sgn}_{2}(x)2x[/tex]
e
indi per cui ottengo che [tex]y\prime=[/tex][tex]0[/tex] se [tex]x<-2 \vee x>2[/tex][tex]\vee[/tex] $ -1
Verificare l'esistenza delle tangenti alle funzioni nel punto di valutazione dato:
- [tex]f(x)=\sqrt{|{x}|}[/tex] valutata in [tex]x=0[/tex]
quindi se [tex]x<0[/tex] la funzione non può esistere, essa esiste allora solo per [tex]x>0[/tex] ed è uguale a [tex]\frac{1}_{2\sqrt{x}}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] non esiste la tangente nel punto alla funzione 0;
- [tex]f(x)=\begin{cases}
\ &\sqrt{x} \text{ se } x\geq 0 \\
&-\sqrt{-x} \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]f^\prime(x)=\begin{cases}
\ &\frac{1}{2\sqrt{x}} \text{ se } x\geq 0 \\
&\frac{1}{2\sqrt{-x}} \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex] che valutate in zero mi danno entrambe [tex]+\infty[/tex] il che mi porta a dire che esiste una tangente orizzontale al grafico della funzione data nel punto 0.
Sono corrette le affermazioni fatte in precedenza?
Scusate il collage di pezzi di formule ed immagini ma ho avuto problemi con le graffe con LaTeX!
Grazie in anticipo e buona Domenica!
Risposte
[tex]f(x)=\begin{cases}
\ &\sqrt{x} \text{ se } x\geq 0 \\
&-\sqrt{-x} \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex]
Ho dato un'occhiata veloce mi sembra tutto ok tranne nel pezzo copiato qui. C'è una cosa da aggiustare.
\ &\sqrt{x} \text{ se } x\geq 0 \\
&-\sqrt{-x} \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex]
Ho dato un'occhiata veloce mi sembra tutto ok tranne nel pezzo copiato qui. C'è una cosa da aggiustare.
la derivata del modulo si può esprimere anche come:
[tex]\frac{d}{dx} |f(x)| = \frac{f(x)}{|f(x)|} = \frac{|f(x)|}{f(x)}[/tex]
usare questo approccio può semplificare anche enormemente i calcoli o lo studio delle funzioni. pensa solo a quanti sistemi in meno devi fare!
[tex]\frac{d}{dx} |f(x)| = \frac{f(x)}{|f(x)|} = \frac{|f(x)|}{f(x)}[/tex]
usare questo approccio può semplificare anche enormemente i calcoli o lo studio delle funzioni. pensa solo a quanti sistemi in meno devi fare!
"Quinzio":
Ho dato un'occhiata veloce mi sembra tutto ok tranne nel pezzo copiato qui. C'è una cosa da aggiustare.
Forse ho capito l'errore: andando entrambe le derivate a [tex]+\infty[/tex] la tangente sarà verticale e non orizzontale come scritto da me in precedenza.
Vi è poi forse un errore nella derivata della seconda formula per il caso in cui la mia variabile indipendente sia compresa nell'intervallo [tex](-\infty;0)[/tex], in quanto riguardando attentamente mi sono accorto che per [tex]x<0[/tex] la funzione esiste e va a [tex]-\infty[/tex] mentre per [tex]x>0[/tex] essa va a [tex]+\infty[/tex] indi per cui dovrei avere nel grafico della funzione originaria una cuspide nel punto 0 [tex]\Rightarrow \neg\exists[/tex] [tex]\frac{d}{dx} f(x)[/tex] .
@Ziel van brand:teoricamente lo avevo fatto sostituendo dove potevo con sgn(x), il problema delle parentesi di LaTeX si è messo di mezzo e allora...
"Howard_Wolowitz":[/quote]
[quote="Quinzio"]
[...]
@Ziel van brand:teoricamente lo avevo fatto sostituendo dove potevo con sgn(x), il problema delle parentesi di LaTeX si è messo di mezzo e allora...
ah ok.
è che finora m'è sembrato che siano pochi a sapere qual è l' "altra forma" col quale indicare la funzione sgn(x)
(cioè appunto come frazione di f sul suo modulo o viceversa).
"Howard_Wolowitz":
[quote="Quinzio"]
Ho dato un'occhiata veloce mi sembra tutto ok tranne nel pezzo copiato qui. C'è una cosa da aggiustare.
Forse ho capito l'errore: andando entrambe le derivate a [tex]+\infty[/tex] la tangente sarà verticale e non orizzontale come scritto da me in precedenza.
Vi è poi forse un errore nella derivata della seconda formula per il caso in cui la mia variabile indipendente sia compresa nell'intervallo [tex](-\infty;0)[/tex], in quanto riguardando attentamente mi sono accorto che per [tex]x<0[/tex] la funzione esiste e va a [tex]-\infty[/tex] mentre per [tex]x>0[/tex] essa va a [tex]+\infty[/tex] indi per cui dovrei avere nel grafico della funzione originaria una cuspide nel punto 0 [tex]\Rightarrow \neg\exists[/tex] [tex]\frac{d}{dx} f(x)[/tex] .
@Ziel van brand:teoricamente lo avevo fatto sostituendo dove potevo con sgn(x), il problema delle parentesi di LaTeX si è messo di mezzo e allora...[/quote]
Ma scusa, io non avevo messo le derivate.
E' corretta così:
[tex]f(x)=\begin{cases}
\ &\sqrt{x} \text{ se } x\geq 0 \\
&\sqrt{-x} \text{ se } x<0
\end{cases}[/tex]
Da cui le derivate in 0 sono $-oo$ da sinistra e $+oo$ da destra.
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