Esercizi sommatorie e progressione geometrica
Sono uno studente di informatica, mi sono rimesso a ristudiare Analisi Matematica cercando di capire bene tutti i concetti del libro e quindi ho ripreso il libro in mano e lo sto ristudiando da capo cercando di capire ogni singola riga e fare ogni esercizio, purtroppo vuoi un po' la ruggine nel cervello che l'ha ormai quasi saturato, vuoi il fatto che il libro non abbia le soluzioni degli esercizi e quindi non posa verificare di essere arrivato alla giusta soluzione mi ritrovo con degli esercizi risolti ma non so se in modo corretto e vorrei sapere se ci sono delle falle nel mio modo di ragionare per poterle correggere.
Allora i dubbi che mi sono sorti al momento sono i seguenti:
1)In una sommatoria in cui dovevo utilizzare una traslazione di indici per fare una piccola dimostrazione dovevo passare dalla forma $\sum_{k=0}^(n-1) (2k+1)$ a quella con k che va da 1 a n e alla fine ho risolto in questo modo $\sum_{k=1}^(n) (2(k-1)+1)$ vagliando prima altre ipotesi come il sottrarre semplicemente 1 all'argomento della sommatoria $2k+1-1$ e altre cose che non ricordo bene ora, la mia domanda è la soluzione che ho adottato alla fine è quella corretta? ovvero va sostituito solo la variabile della sommatoria con una a cui vengono sottratte le m unità aggiunte all'intervallo in cui opera? oppure la soluzione è un'altra? so che la domanda può sembrare stupida visto che la traslazione di indici si basa proprio sul fatto che incrementando il valore di partenza e e quello di arrivo di m se si sottrae questo m alla variabile in sommatoria si eseguiranno le stesse identiche operazioni, ma mi sto riaffacciando da poco alla matematica e ho paura che per quanto fili il ragionamento possa non considerare qualcosa anche di banale.
2)Un altro esercizio richiedeva di calcolare esplicitamente la seguente sommatoria:
$\sum_{k=1}^(100) (1/k - 1/(k+1))$
Il mio procedimento è stato il seguente:
$\sum_{k=1}^(100) (1/k - 1/(k+1))$ = $\sum_{k=1}^(100) (1/k) - \sum_{k=1}^(100) (1/(k+1))$ = $\sum_{k=1}^(100) (k^(-1)) - \sum_{k=1}^(100) (k+1)^(-1)$ = $\sum_{k=1}^(100) (k^(-1))$+$\sum_{k=2}^(101) (k)^(-1)$ = $1/1 - 1/100$ = $99/100$
è corretto?
3)l'ultimo esercizio consisteva in due sommatorie che bisognava calcolare esplicitamente sfruttando la formula della progressione geometrica:
$\sum_{k=0}^(30) (-1)^k*(2^(3k+1)/3^k)$
e
$\sum_{k=2}^(100) 3^(2-k)$
Per risolverle mi sono limitato a sostituire la forma $(1-q^(n+1))/(1-q)$ ai vari componenti ma il risultato non mi sembra dei migliori:
prima sommatoria:
$1+1^(31)/(1+1)+((((1-2^(31))^3)/(1-2))*2)/((1-3^(31))/(1-3))$
nella seconda sommatoria ho visto $3^(2-k)$ come $(3^2)/(3^k)$ e visto che l'1 al numeratore della formula della progressione deriva dal primo elemento della sommatoria che parte dall'elemento 0 e visto che questa sommatoria parte da 2 ho pensato di sostituirlo con $3^0$+$3^1$+$3^2$ avendo come risultato:
$((1-3)+3^2)/(13-3^(100))$
Ma penso che per entrambe le sommatorie il procedimento e il risultato sia sbagliato solo che non riesco a capire dove sia l'errore.
Allora i dubbi che mi sono sorti al momento sono i seguenti:
1)In una sommatoria in cui dovevo utilizzare una traslazione di indici per fare una piccola dimostrazione dovevo passare dalla forma $\sum_{k=0}^(n-1) (2k+1)$ a quella con k che va da 1 a n e alla fine ho risolto in questo modo $\sum_{k=1}^(n) (2(k-1)+1)$ vagliando prima altre ipotesi come il sottrarre semplicemente 1 all'argomento della sommatoria $2k+1-1$ e altre cose che non ricordo bene ora, la mia domanda è la soluzione che ho adottato alla fine è quella corretta? ovvero va sostituito solo la variabile della sommatoria con una a cui vengono sottratte le m unità aggiunte all'intervallo in cui opera? oppure la soluzione è un'altra? so che la domanda può sembrare stupida visto che la traslazione di indici si basa proprio sul fatto che incrementando il valore di partenza e e quello di arrivo di m se si sottrae questo m alla variabile in sommatoria si eseguiranno le stesse identiche operazioni, ma mi sto riaffacciando da poco alla matematica e ho paura che per quanto fili il ragionamento possa non considerare qualcosa anche di banale.
2)Un altro esercizio richiedeva di calcolare esplicitamente la seguente sommatoria:
$\sum_{k=1}^(100) (1/k - 1/(k+1))$
Il mio procedimento è stato il seguente:
$\sum_{k=1}^(100) (1/k - 1/(k+1))$ = $\sum_{k=1}^(100) (1/k) - \sum_{k=1}^(100) (1/(k+1))$ = $\sum_{k=1}^(100) (k^(-1)) - \sum_{k=1}^(100) (k+1)^(-1)$ = $\sum_{k=1}^(100) (k^(-1))$+$\sum_{k=2}^(101) (k)^(-1)$ = $1/1 - 1/100$ = $99/100$
è corretto?
3)l'ultimo esercizio consisteva in due sommatorie che bisognava calcolare esplicitamente sfruttando la formula della progressione geometrica:
$\sum_{k=0}^(30) (-1)^k*(2^(3k+1)/3^k)$
e
$\sum_{k=2}^(100) 3^(2-k)$
Per risolverle mi sono limitato a sostituire la forma $(1-q^(n+1))/(1-q)$ ai vari componenti ma il risultato non mi sembra dei migliori:
prima sommatoria:
$1+1^(31)/(1+1)+((((1-2^(31))^3)/(1-2))*2)/((1-3^(31))/(1-3))$
nella seconda sommatoria ho visto $3^(2-k)$ come $(3^2)/(3^k)$ e visto che l'1 al numeratore della formula della progressione deriva dal primo elemento della sommatoria che parte dall'elemento 0 e visto che questa sommatoria parte da 2 ho pensato di sostituirlo con $3^0$+$3^1$+$3^2$ avendo come risultato:
$((1-3)+3^2)/(13-3^(100))$
Ma penso che per entrambe le sommatorie il procedimento e il risultato sia sbagliato solo che non riesco a capire dove sia l'errore.
Risposte
1) Suggerimento: Quando cambi indice, cambia anche il simbolo che usi. Formalmente non cambia nulla ma ti permette questa scrittura fool-proof:
$sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)=[k=h-1]\ sum_{h=1}^n (2(h-1)+1)$
di cui puoi controllare subito la correttezza semplicemente leggendo da destra verso sinistra.
2) No, troppo complicato. Somme di quel tipo si dicono telescopiche e si riducono alla somma di due soli addendi. Facci caso: stai sommando 100 gruppi di addendi tipo $[1/k-1/(k+1)]$. Hai quindi una cosa tipo
$[1-1/2] + [1/2-1/3]+[1/3-1/4]+...+[1/100-1/101]$
e vedi che quasi tutti i termini, tranne il primo e l'ultimo, si semplificano. Resti quindi con $1-1/101$.
3) Il procedimento è corretto. Forse ti puoi essere imbrogliato con quella somma $sum_{k=2}^100$... Fai così: calcola la somma $sum_{k=0}^100$ e sottrai i primi tre indici. Per controllare la correttezza dei conti usa un software di calcolo simbolico, al limite va bene anche Wolfram Alpha.
P.S.: Ti suggerirei di scrivere post più sintetici, altrimenti diventa difficile che tu possa ricevere risposta. Una buona norma è non concentrare molte domande in un post solo. Scegli solo le domande essenziali e dedica un topic a ciascuna di esse, mantenendo un buon livello di sintesi nell'esposizione dei tuoi dubbi.
$sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)=[k=h-1]\ sum_{h=1}^n (2(h-1)+1)$
di cui puoi controllare subito la correttezza semplicemente leggendo da destra verso sinistra.
2) No, troppo complicato. Somme di quel tipo si dicono telescopiche e si riducono alla somma di due soli addendi. Facci caso: stai sommando 100 gruppi di addendi tipo $[1/k-1/(k+1)]$. Hai quindi una cosa tipo
$[1-1/2] + [1/2-1/3]+[1/3-1/4]+...+[1/100-1/101]$
e vedi che quasi tutti i termini, tranne il primo e l'ultimo, si semplificano. Resti quindi con $1-1/101$.
3) Il procedimento è corretto. Forse ti puoi essere imbrogliato con quella somma $sum_{k=2}^100$... Fai così: calcola la somma $sum_{k=0}^100$ e sottrai i primi tre indici. Per controllare la correttezza dei conti usa un software di calcolo simbolico, al limite va bene anche Wolfram Alpha.
P.S.: Ti suggerirei di scrivere post più sintetici, altrimenti diventa difficile che tu possa ricevere risposta. Una buona norma è non concentrare molte domande in un post solo. Scegli solo le domande essenziali e dedica un topic a ciascuna di esse, mantenendo un buon livello di sintesi nell'esposizione dei tuoi dubbi.
Ho capito grazie mille per le risposte 
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