Esercizi Serie di Funzioni: insieme di convergenza e somma

[ceoloide]

Buongiorno a tutti e grazie in anticipo per la magnanimità nell'aiutarmi

Sto studiando per un esame di Matematica di Giovedì prossimo e mi manca soltanto da capire come risolvere quest'ultima tipologia di esercizi. Purtroppo le serie le ho studiate 3 anni fa e sono non solo arrugginito, ma ho anche perso gran parte degli appunti vecchi.

---ESERCIZIO---

E' data la seguente Serie di Funzioni:

$sum_{n=1}^oo (x^(n+1))/(n*(n+1)) $

Stabilire

1) l'insieme di convergenza puntuale
2) l'insieme di convergenza uniforme
3) la somma della serie

---RISOLUZIONE---

Ecco la mia idea: usando il criterio del rapporto posso verificare per quali x la serie converge.

$ lim_{n->oo} a_{n+1} / a_n $
$ lim_{n->oo} (x^(n+2))/((n+2)*(n+1)) ((n+1)*(n))/(x^(n+1)) = lim_{n->oo} x*n / (n+1) = x $

quindi dico che se x < 1 la serie converge, mentre per x = 1 non è detto e devo verificarlo,

$sum_{n=1}^oo (1^(n+1))/(n*(n+1)) = sum_{n=1}^oo (1)/(n*(n+1))$

Ora io confronterei il termine generale della serie con $(1)/(n^2)$ essendo il limite del rapporto 1. Di conseguenza posso dire che essendo la seconda convergente, anche la mia converge.

La soluzione al primo punto è quindi che la serie converge semplicemente su $ (-oo, 1] $

Passiamo alla convergenza uniforme: quali opzioni ho per verificarlo? Dagli appunti mi pare di capire che ho una serie di testpossibili.

Test per il si: Se non ho capito male, la convergenza uniforme posso verificarla attraverso il limite della norma per $n->oo$. Usando la norma-infinito si riduce al calcolo del sup del termine generale della serie, il che vuol dire fare la derivata rispetto a x, sostituire le soluzioni nel termine generale e vedere quali vanno a 0 per $n->oo$? In caso contrario NON posso concludere niente e devo andare avanti.

Test per il no: Termine generale non va a 0 uniformemente? In realtà che significa, l'ho come appunto ma non capisco il significato.

Come procedo per il calcolo della serie? Wolfram Alpha mi suggerisce che la somma della serie è $ x+(1-x) log(1-x) $ ma non riesco a raccogliere elementi per capire come procedere.

Grazie per l'aiuto!

[gugo82]

"ceoloide":data la seguente Serie di Funzioni:

$sum_{n=1}^oo (x^(n+1))/(n*(n+1)) $

Stabilire

1) l'insieme di convergenza puntuale
2) l'insieme di convergenza uniforme
3) la somma della serie

---RISOLUZIONE---

Ecco la mia idea: usando il criterio del rapporto posso verificare per quali x la serie converge.

$ lim_{n->oo} a_{n+1} / a_n $
$ lim_{n->oo} (x^(n+2))/((n+2)*(n+1)) ((n+1)*(n))/(x^(n+1)) = lim_{n->oo} x*n / (n+1) = x $

quindi dico che se x < 1 la serie converge, mentre per x = 1 non è detto e devo verificarlo,

$sum_{n=1}^oo (1^(n+1))/(n*(n+1)) = sum_{n=1}^oo (1)/(n*(n+1))$

Ora io confronterei il termine generale della serie con $(1)/(n^2)$ essendo il limite del rapporto 1. Di conseguenza posso dire che essendo la seconda convergente, anche la mia converge.

La soluzione al primo punto è quindi che la serie converge semplicemente su $ (-oo, 1] $

No, perchè hai dimenticato il valore assoluto.

Se hai studiato la teoria dovresti sapere che una serie di potenze come la tua o converge in tutto $RR$, o converge in un intervallo $(-r,r)$ (uso le parentesi tonde per dire che, in generale, gli estremi $pm r$ non sai se appartengono o meno all'insieme di convergenza) oppure converge solo in $0$.
L'alternativa $]-oo,1]$ non mi pare sia contemplata nelle casistiche possibili.

"ceoloide":Passiamo alla convergenza uniforme: quali opzioni ho per verificarlo? Dagli appunti mi pare di capire che ho una serie di testpossibili.

Non hai bisogno di alcun test.

Se hai studiato la teoria, sai già che tipo di convergenza è possibile per una serie di potenze.

"ceoloide":Come procedo per il calcolo della serie? Wolfram Alpha mi suggerisce che la somma della serie è $ x+(1-x) log(1-x) $ ma non riesco a raccogliere elementi per capire come procedere.

Ancora, se hai studiato la teoria, sai che la serie può essere derivata termine a termine nell'insieme di convergenza; prova a derivare ed ottieni una serie di cui conosci la somma (sempre dallo studio della teoria); scrivi la somma della serie derivata ed integrala per ottenere la somma della serie di partenza.


Morale: prima di mettersi a fare esercizi è sempre meglio accertarsi di aver capito bene la teoria.

[cirasa]

Non vorrei dire una bestialità, ma se non ricordo male il criterio del rapporto non si applica solo per serie a termini positivi?
Inoltre per $x<-1$, la successione non è infinitesima quindi non converge!
Se non sbaglio, per quanto riguarda la convergenza puntuale, questa dovrebbe convergere assolutamente per $|x|\leq1$.
Sto dicendo stupidaggini?

P.S. Scusa Gugo82, non avevo visto che avevi già risposto...

[gugo82]

@cirasa: figurati, no problem.

[ceoloide]

"Gugo82":Morale: prima di mettersi a fare esercizi è sempre meglio accertarsi di aver capito bene la teoria.

Vi ringrazio perchè è con il confronto che riesco ad avere una valutazione della mia comprensione teorica. Mi rendo conto cosa ho trattato superficialmente perchè giudicato non importante (oltre al fatto che sto studiando in contemporanea agli esercizi).

Ma ora torniamo al dunque e riflettiamo su come risolvere passo per passo il primo punto.

---

Teorema. Per una serie di potenze di centro $c$ vale una delle seguenti alternative:
i) converge solo nel centro, cioè per $x = c $ quindi $(I= {c})$ ;
ii) converge assolutamente per ogni $x in (-oo;+oo) $ quindi $ (I = (oo;+oo))$;
iii) esiste un numero $R > 0$ tale che la serie converge assolutamente per ogni $x in (c - R; c + R)$, diverge per ogni x che soddisfa $|x - c| > R$; nulla si può dire sulla convergenza o meno negli estremi dell'intervallo, cioè nei punti $x = c - R$ e $x = c + R$; cioè può essere: $I = (c-R; c+R)$; $I = [c-R; c+R)$; $I = (c-R; c+R]$; $I = [c-R; c+R]$:

Def. R si dice raggio di convergenza nel caso i) $R = 0$, nel caso ii) $R = +oo$

N.B. Il raggio R si può trovare applicando alla serie dei valori assoluti il criterio del rapporto o, se $x != c$; della radice.

Ora veniamo ai passi da compiere:

$sum_{n=1}^oo (x^(n+1))/(n*(n+1)) $

Noto innanzitutto che ha centro $c=0$

1) Mi assicuro che il termine generale tenda a 0 per n che tende all'infinito e questo avviene
2) Devo verificare dove converge e quindi calcolare il raggio. Per calcolare il raggio applico alla serie dei valori assoluti il criterio del rapporto (in questo caso mi sembra sensato) o quello della radice (ma dovrebbe essere $x!=c$).

$ lim_{n->oo} |((x^(n+2))/((n+2)*(n+1)) ((n+1)*(n))/(x^(n+1)))| = lim_{n->oo} |x*n / (n+1)| = |x| $

Per il criterio del rapporto devo avere che $|x| < 1$ per la convergenza e quindi $-1 < x < 1$. Il raggio è quindi $R=1$ e devo studiare gli estremi.

Caso 1: $x = 1$
Questo è facile. $sum_{n=1}^oo (1^(n+1))/(n*(n+1)) = sum_{n=1}^oo (1)/(n*(n+1))$

Confronto il termine generale di questa serie si confronta con $(1)/(n^2)$ che converge percui converge anche il mio.

Caso 2: $x = -1$
In questo caso la serie è a segni alterni perchè ho -1 sotto n. Sfrutto il criterio di Leibniz:

$sum_{n=1}^oo ((-1)^(n+1))/(n*(n+1))$

1) $a_n > 0$
2) $a_n -> 0$
3) $a_(n+1) <= a_n$ per $n>=0$

Quindi converge.

In realtà (e me ne accorgo solo ora) sarebbe stato meglio provare la convergenza assoluta vero? Con il modulo non avrei problemi di segno e si comporterebbe come nel caso di $x=+1$ è corretto dire questo?

Sono arrivato a concludere quindi che $R = 1$ e la serie converge assolutamente in $I=[-1,+1]$ e diverge altrove. Questo è l'insieme di convergenza puntuale.

[ceoloide]

"Gugo82":
[quote="ceoloide"]Passiamo alla convergenza uniforme: quali opzioni ho per verificarlo? Dagli appunti mi pare di capire che ho una serie di testpossibili.

Non hai bisogno di alcun test.

Se hai studiato la teoria, sai già che tipo di convergenza è possibile per una serie di potenze.
[/quote]

Guardando gli appunti e la teoria a mia disposizione non riesco a trovare niente di utile sulla convergenza uniforme. Puoi indicarmi cosa devo cercare?

Grazie ancora per la disponibilità,

spero di essere d'aiuto anche ad altri ponendo quesiti del genere e svolgendo l'esercizio passo-passo

CEO Loide

[gugo82]

Ma come niente a disposizione sulla convergenza uniforme... Guarda bene, anche sul libro.

La convergenza di una s.d.p. è totale, e quindi assoluta ed uniforme, in ogni compatto contenuto nell'intervallo di convergenza. Questo fatto (che si dimostra maggiorando con una serie geometrica convergente) è uno dei teoremi più importanti sulle s.d.p.: può mancare dagli appunti, ma c'è sicuramente sul libro.

Per quanto riguarda il punto 1, ok.
Però non capisco perchè voler applicare il criterio del rapporto per serie numeriche (considerando, di fatto, la s.d.p. come serie numerica dipendente dal parametro $x$) e non il teorema sulla determinazione del raggio di convergenza.

Ah, ad ogni modo, non è affatto vero che il termine generale della serie è sempre infinitesimo.

[Alexp1]

Si infatti, come ti suggerisce "Gugo82" perchè non hai voluto procedere determinandoti il raggio di convergenza? poi ti studiavi la convergenza agli estremi e definivi l'insieme di convergenza.

[ceoloide]

Sono riuscito a recuperare un libro che avesse questi argomenti (sugli appunti non c'è il teorema da voi citato, e sono le dispense ufficiali del professore ma di un corso di matematica inferiore). Era tutto quello che avevo fino a poco fa.

Alternativamente al metodo da me usato, quindi, posso determinare il raggio di convergenza per le serie di potenze sfruttando il suddetto teorema:

Data la serie di potenze $sum_{n=1}^(+oo) a_n * x^n$ con centro $x=0$ e supponiamo che esista, finito o infinito, $lim_{n->+oo}root(n)( |a_n|) = l$
Oppure data la serie di potenze $sum_{n=1}^(+oo) a_n * x^n$ con $a_n != 0$ e supponiamo che esista, finito o infinito, $lim_{n->+oo}( |a_(n+1)|/|a_n|) = l$
Allora il raggio di convergenza R è dato da
1) $R=0$ se $l=+oo$
2) $R=1/l$ se l è finito
3) $R=+oo$ se $l=0$

A cui aggiungo il seguente teorema per la convergenza uniforme:

Sia la serie $sum_{n=1}^(+oo) a_n * x^n$ una serie di potenze centrata in $x=0$ e sia R il suo raggio di convergenza. Allora

1) Se $R=0$ la serie converge solo per $x=0$
2) Se $R>0$ la serie converge puntualmente (e assolutamente) in ogni $x in (-R, +R)$ e uniformemente in ogni intervallo chiuso $[-k,+k]$ con $0 3) Se $R= +oo$ la serie converge puntualmente (e assolutamente) per ogni x reale e uniformemente in ogni intervallo chiuso $[-k,+k]$ qualunque sia $k>0$

accoppiato con il teorema di Abel che mi dice che la convergenza uniforme è possibile anche in sottoinsiemi chiusi comprendenti gli estremi -R e +R se questi due (o uno soltanto) è parte dell'insieme di convergenza.

---

Nel mio esercizio ottengo $ l = 1 $ facendo il limite del rapporto in valore assoluto, che è più semplice. Quindi $ R = 1$ e ho dimostrato che in $x=+-1$ la serie converge. Quindi ho che la serie converge assolutamente e uniformemente su $I=[-1,+1]$.

Ora dovrebbe essere tutto corretto?

[ceoloide]

Ecco un altro esercizio che devo essere in grado di risolvere.

Data la seguente serie $sum_{n=1}^oo x/sqrt(n) e^(-(n^2) x^2)$ stabilire l'insieme di convergenza puntuale e uniforme.

Questa non è una Serie di Potenze e perciò non valgono i discorsi fatti in precedenza. Come procedo?

---

Diciamo che la serie $sum_{n=0}^oo f_n(x)$ converge puntualmente in $Omega$ alla funzione $s(x)$ e scriveremo $sum_{n=0}^oo f_n(x) = s(x)$ per ogni $x in Omega$ quando la successione ${s_n(x)}$ converge puntualmente a $s(x)$ in $Omega$. Analogamente per la convergenza uniforme.

Se la funzione è limitata, la convergenza uniforme equivale alla convergenza nella norma dell'estremo superiore quando le funzioni date sono limitate, e sono cioè elementi di $B(Omega)$

Criterio di Weierstrass:
Sia $f_n(x) in B(Omega)$. Supponiamo che esista una serie numerica a termini positivi $sum_{n=0}^oo M_n$ convergente tale che $|f_n(x)| <= M_n$ per ogni $x in Omega$ e ogni $n$. Allora la serie iniziale converge uniformemente in $Omega$

Mi pare che il secondo metodo sia un pò difficoltoso nel caso generale. Potete indicarmi come procedere? Ho guardato più volte libro e appunti ma non riesco a capire perché non c'è niente spiegato passo passo e con tutte le considerazioni del caso.

Grazie sinceramente per tutto l'aiuto che potete darmi! L'ultimo esame di Analisi della specialistica (e per di più dopo esserne a digiuno da più di 3 anni e non aver potuto seguire il corso) è tosto davvero...

[ceoloide]

Perdonate l'up ma nel corso del weekend non sono proprio riuscito ad andare avanti nell'ultimo esercizio proposto

Anche solo qualche indicazione penso potrebbe aiutarmi molto!

CEO Loide

[gugo82]

"ceoloide":Ecco un altro esercizio che devo essere in grado di risolvere.

Data la seguente serie $sum_{n=1}^oo x/sqrt(n) e^(-(n^2) x^2)$ stabilire l'insieme di convergenza puntuale e uniforme. [...]

Criterio di Weierstrass:
Sia $f_n(x) in B(Omega)$. Supponiamo che esista una serie numerica a termini positivi $sum_{n=0}^oo M_n$ convergente tale che $|f_n(x)| <= M_n$ per ogni $x in Omega$ e ogni $n$. Allora la serie iniziale converge uniformemente in $Omega$

Mi pare che il secondo metodo sia un pò difficoltoso nel caso generale. Potete indicarmi come procedere? Ho guardato più volte libro e appunti ma non riesco a capire perché non c'è niente spiegato passo passo e con tutte le considerazioni del caso.

In effetti è proprio il criterio di W che devi applicare... Ma procediamo con calma.

Poniamo $f_n(x):=x/sqrt(n) "e"^(-n^2x^2)$.
Ogni $f_n$ è definita in $RR$ e si vede che per ogni $x\in RR$ è soddisfatta la condizione necessaria $lim_n f_n(x)=0$.
D'altra parte, in $x=0$ la serie certamente converge (poiché si riduce alla serie nulla) mentre in ogni $x != 0$ la serie pure converge perchè la successione degli addendi è infinitesima per $n\to +oo$ d'ordine infinitamente elevato, cosicché la tua serie è assolutamente convergente in $RR$.*

Ora proviamo ad applicare W in modo da sfruttare le proprietà delle $f_n$.
Visto che le $f_n$ sono tutte dispari, per determinare la successione maggiorante $M_n$ possiamo limitarci a vedere cosa succede in $X=[0,+oo[$; inoltre, visto che le $f_n$ sono tutte di classe $C^oo$, positive in $[0,+oo[$ ed infinitesime per $x\to +oo$, si può prendere come maggiorante $M_n$ il massimo assoluto di $f_n$ in $X$, ossia $M_n:=max_(X) f_n$.** Quando scegliamo $M_n$ in tal modo, abbiamo operato una scelta ottimale, nel senso che nessun valore di $M_n Per determinare il massimo assoluto di $f_n$ basta ricorrere ai metodi del Calcolo Differenziale: la derivata prima di $f_n$ è:

$f_n^{\prime}(x)=1/sqrt(n)(1-2n^2x^2)"e"^(-n^2x^2)$

e risulta $f_n^{\prime}(x)>=0$ in $[0,+oo[$ se e solo se $0 <= x <= 1/(n\sqrt(2))$; ne viene che il punto $x_n=1/(n\sqrt(2))$ è il punto di massimo assoluto di $f_n$, la quale assume in $x_n$ il valore:

$M_n:=max_(X) f_n=f_n(x_n)=1/(sqrt(2"e")) 1/n^(3/2)$.

Ne consegue che la serie numerica dei maggioranti $\sum M_n$ è convergente, in quanto proporzionale alla serie armonica generalizzata d'esponente $3/2>1$.
Pertanto il criterio di W assicura che la serie $\sum f_n$ è totalmente convergente in $[0,+oo[$; ma la disparità delle $f_n$ consente di estendere questo risultato anche a $]-oo,0]$ cosicché la tua serie converge totalmente, e quindi uniformemente, in tutto $RR$.

Quello che ho seguito qui è uno schema che puoi seguire in tutti i casi: infatti la scelta di $M_n:="sup " |f_n|$ è la scelta ottimale del maggiorante in W e, in molti casi comuni (serie di funzioni continue e derivabili, definite in un compatto o infinitesime all'infinito), puoi determinare l'estremo superiore come massimo assoluto di $|f_n|$ con le tecniche standard del Calcolo Differenziale.

"ceoloide":L'ultimo esame di Analisi della specialistica (e per di più dopo esserne a digiuno da più di 3 anni e non aver potuto seguire il corso) è tosto davvero...

Analisi II solo alla specialistica?
Di che corso di laurea si tratta?

__________
* Invero il termine $x/sqrt(n) "e"^(-n^2x^2)$ è un infinitesimo d'ordine infinitamente grande rispetto a $1/n$, cosicché fissato $x$ puoi determinare certamente una costante $c(x)>0$ ed un indice $nu_x$ tali che per $n>nu_x$ risulti $|x/sqrt(n) "e"^(-n^2x^2)| <(c(x))/n^2$ e le serie $\sum (c(x))/n^2$ converge.
Nota che, dipendendo $c(x)$ e $nu$ da $x$, questo risultato non ti assicura convergenza uniforme.
** Che tale massimo esista finito è conseguenza della continuità e della relazione di limite $lim_(x\to +oo) f_n(x)=0$.

[ceoloide]

Ho dato un'occhiata alla risoluzione proposta e credo di aver capito. Pomeriggio proverò a risolvere questo ed altri esercizi simili da temi d'esame passati.

Ti ringrazio vivamente per l'aiuto che mi hai fornito!

OT:

Io sono uno studente della laurea in Informatica presso la Bicocca di Milano. Alla triennale abbiamo fatto 4 corsi di matematica: Matematica Discreta (Elementi / Complementi) e Analisi (Elementi / Complementi).

In analisi complementi (secondo anno triennale) abbiamo trattato le serie abbastanza a fondo, tranne che questo caso specifico (le serie di potenze invece rientravano nel programma).

Al primo anno di specialistica invece abbiamo fatto questo corso di matematica (Metodi Matematici per l'Informatica) dove abbiamo trattato argomenti sui differenziali, serie e successioni di funzioni, spazi vettoriali normati e serie di Fourier.

Per quanto scandalo possa suscitare la mia valutazione ritengo che un corso del genere alla specialistica sia privo di senso. Non solo non ho affrontato nemmeno un corso matematica essendomi specializzato in Ingegneria del Software e Test & Qualità, ma è un corso che tratta argomenti che si sarebbero meglio affrontati al terzo anno della triennale quando le conoscenze di Matematica (sia discreta che analisi) erano più fresche. Questa è la 4° volta che ridò l'esame, in parte perchè precedentemente con gli altri corsi della specialistica non avevo tempo a sufficienza per prepararmi e soprattutto perchè ho dovuto perdere più tempo a fare esercizi su limiti, integrali e serie che non studiare le novità del corso.

Aggiungo inoltre il fatto che è un corso che alcuni (come me) non hanno potuto seguire perchè laureati a Dicembre (la specialistica inizia a metà ottobre ed essendo stata a quadrimestri ciascun corso durava 2 mesi di lezione) e fare matematica da soli non è sempre facile.

La matematica mi piace e facendo informatica ho avuto modo di vedere quanta importanza ha nel mondo reale, tuttavia fatta in questo modo serve solo ad impegnare ore degli studenti.

CEO Loide

[ceoloide]

Ho riguardato la soluzione proposta e mi pare di aver capito. Ecco un altro esercizio ancora se avete la pazienza di seguirmi:

Data la seguente serie di funzioni, determinare l'insieme di convergenza puntuale e uniforme

$ sum_{n=1}^oo (x^n)(e^(-nx)) $

Io ho fatto la seguente catena di uguaglianze

$ sum_{n=1}^oo (x^n)(e^(-nx)) = sum_{n=1}^oo (x^n)/(e^(nx)) = sum_{n=1}^oo ((x)/(e^(x)))^n = sum_{n=1}^oo t ^ n$

ponendo $ t = x / e^x$

Dell'ultima serie so l'insieme di convergenza puntuale che è $I=(-1,+1)$ ed essendo la serie un caso di serie di potenze ed essendo il raggio $R>1$ la serie converge uniformemente in ogni sottoinsieme $J=[-k,k]$ con $k
Operando la sostituzione $ t = x / e^x$ ottengo che $x / e^x in (-1,1)$ e ciò corrisponde ad un sistema la cui soluzione è data da $x > -e^x$ ovvvero $ e^x > -x$.

Ponendo $x=Q$ tale che $ e^x = -x$ concluderei dicendo che l'intervallo di convergenza semplice è $ I = (-Q, +oo) $ e la convergenza uniforme segue quanto detto sopra.

Quello appena descritto è un ragionamento corretto?

CEO Loide