Esercizi Serie

[Sagittarioromano]

Salve, ho fatto degli esercizi sulle serie però non riesco ad avanzare nei seguenti esercizi:

$\sum\frac{1+sen(\frac{\pi}{2}n)}{n}$

$\sum (\frac{\pi}{2}-arct\sqrt{n^3+1})$

$\sum [log(1-2n+n^3)-log(n^3-n)]$

$\sum (\frac{n+1}{2n+1})^{\sqrtn}$

gli ultimi due so farli però vorrei vedere cosa proporreste voi per affrontarli..grazie in anticipo.

[gugo82]

Idee tue...

[Zero87]

"gugo82":Idee tue...

Premesso che ha ragione gugo82, dato che gli ultimi li sai fare (hai detto), posso consigliarti, per il primo, di vedere bene il termine $sin(\frac{pi}{2}n)$ e come influisce sulla serie stessa.

Come li affronteremo noi?
Personalmente per il terzo applicherei questa proprietà $log(a)-log(b)=log(a/b)$ per poi "riordinare" il termine che si ottiene come argomento del logaritmo e tirare qualche conclusione.
Per il quarto aggiungerei e sottrarrei $1/2$ al numeratore e riordinerei il tutto (qui, però, non sono sicuro che mi porti a qualcosa).

[Sagittarioromano]

nel primo ho ragionato sul termine $sin(\frac{\pi}{2}n)$ e mi viene divergente per n pari e per alcuni n dispari, per altri n dispari invece mi viene $\sum 0$

per quanto riguarda il 3° anche io ho riordinato come hai detto te, nel 4° l'ho confrontato con una serie geometrica. Non ho capito come continueresti aggiungendo e togliendo $\frac{1}{2}$. Grazie per l'attenzione

[gugo82]

"Sagittarioromano":nel primo ho ragionato sul termine $sin(\frac{\pi}{2}n)$ e mi viene divergente per n pari e per alcuni n dispari, per altri n dispari invece mi viene $\sum 0$

Questa frase non vuol dire nulla.
Una serie o converge o diverge o è indeterminata; non ha senso che converge per alcuni valori di \(n\) e diverge per altri, o altre cose simili.

Inoltre, ricorda che vale la Condizione Necessaria:

Se una serie \(\sum a_n\) converge, allora la successione \((a_n)\) è regolare e \(\lim_n a_n=0\).

dalla quale, per contrapposizione, segue che:

Se la successione \((a_n)\) non è regolare o se, pur essendolo, ha \(\lim_n a_n\neq 0\), allora \(\sum a_n\) non può convergere.

[Sagittarioromano]

è possibile che sia indeterminata?

[Zero87]

"Sagittarioromano":nel primo ho ragionato sul termine $sin(\frac{\pi}{2}n)$ e mi viene divergente per n pari e per alcuni n dispari, per altri n dispari invece mi viene $\sum 0$

per quanto riguarda il 3° anche io ho riordinato come hai detto te, nel 4° l'ho confrontato con una serie geometrica. Non ho capito come continueresti aggiungendo e togliendo $\frac{1}{2}$. Grazie per l'attenzione

Ero rimasto vago per questioni di regolamento ma, dato che mi hai dato una risposta più precisa postando idee e tentativi di soluzione, allora sarò più preciso.

Consideriamo la prima (anche se la risposta l'hai già data tu dicendo "divergente per $n$ pari e divergente per alcuni $n$ dispari)...

Nella prima c'è quel $\sin(\pi/2 n)$ che ha quattro tipi di scelte
- $n$ della forma $4k+1$, vale 1 (il numeratore vale 2, dunque)
- $n$ della forma $4n+2$, vale 0 (il numeratore vale 1, dunque)
- $n$ della forma $4n+3$, vale -1 (il numeratore vale $0$, dunque)
- $n$ della forma $4n$, vale 0 (il numeratore vale $0$, dunque).
Cosa concludiamo?
In generale, per $n$ pari, la serie è
$\sum_(n=0, n pari)^\infty \frac{1}{n}=\sum_(k=0)^\infty \frac{1}{2k}=1/2\sum_(k=0)^\infty \frac{1}{k}$
che diverge (per $n$ è pari ho posto $n=2k$ con $k$ naturale).
Ovviamente si possono valutare anche gli altri casi, però per $n$ dispari
- $n$ della forma $4k+1$, il numeratore vale 2 quindi il termine della serie, per $n$ di questa forma è $2/n$ che è positivo.
- $n$ della forma $4k+3$, il numeratore è nullo.
Il tutto diventa "termine che diverge a $+\infty$ più qualcosa di positivo" quindi diverge.

PS. So che la spiegazione è più maccheronica che matematica, però non ho tempo di realizzarne una migliore.

Per la quarta mi era venuto in mente il termine da comparare e mi veniva convergente, però ora non ricordo, quando mi torna lo scrivo.

EDIT. Non avevo visto che, mentre scrivevo, aveva risposto già gugo82.

[Sagittarioromano]

ok perfetto, però perdonami, ma è proprio la fine che non riesco a capire. Cioè l'affermazione:
Il tutto diventa "termine che diverge a +∞ più qualcosa di positivo" quindi diverge.

Devo interpretarla dicendo: per alcuni termini diverge a $+\infty$ per altri a $0$ quindi sommando viene $+\infty$ giusto? penso di si visto che ora scrivendolo mi sembra logico.

Grazie mille

Io per la 4° ho pensato:
$\sum(\frac{n+1}{2n+1})^{\sqrt{n}}$

$(\frac{n+1}{2n+1})^{\sqrt{n}}\sim(\frac{1}{2})^{\sqrt{n}}\leq(\frac{1}{2})^n$ serie geometrica convergente quindi converge..possibile?

[Zero87]

"Sagittarioromano":ok perfetto, però perdonami, ma è proprio la fine che non riesco a capire. Cioè l'affermazione:
Il tutto diventa "termine che diverge a +∞ più qualcosa di positivo" quindi diverge.

Come ho detto era un lessico "maccheronico-matematico" e l'interpretazione era
"$+\infty$ più qualcosa di positivo (può essere anche $+\infty$, non lo so, ma sono certo che non è negativo) = $+\infty$".

"Sagittarioromano":
Io per la 4° ho pensato:
$\sum(\frac{n+1}{2n+1})^{\sqrt{n}}$

$(\frac{n+1}{2n+1})^{\sqrt{n}}\sim(\frac{1}{2})^{\sqrt{n}}\leq(\frac{1}{2})^n$ serie geometrica convergente quindi converge..possibile?

[size=75]Io ricordo (questo pomeriggio) di aver trovato una serie per confrontarla, ma ora mi è sfuggita (uffa).[/size]
Purtroppo il tuo ragionamento non va solo per il fatto che $(1/2)^(\sqrt(n))\ge(1/2)^n$ per qualsiasi $n$ ($^1$) quindi non vale la tua minorazione ma il contrario.

EDIT (senza che scrivo un altro messaggio). Ho una soluzione alternativa in spoiler, però ricordo ancora che avevo trovato una serie per il confronto...

Per $n=0$ il primo termine della serie vale 1 e lo considero a parte perché tutto quello che dirò tra poco vale per $n>1$. In altre parole $\sum_(n=0)^\infty [...]=$ termine per $n=0$ più $\sum_(n=1)^\infty [...]$.

1) Allora, per $n>1$ intero, io sono certo che $\frac{n+1}{2n+1}<1$, infatti la disequazione $n+1<2n+1$ equivale a $n<2n$ che vale per $n> 0$.
Primo ingrediente: termine della serie minore di 1 (strettamente)
2) Se io estreggo la radice $\sqrt(n)-$esima al termine della serie, ottengo $\root(\sqrt(n))((\frac{n+1}{2n+1}))<1$ poiché il termine della serie è minore di 1.
Secondo ingrediente: la radice $\sqrt(n)-$esima del termine della serie è minore strettamente di 1.
3) Chiamo $\root (\sqrt(n)) ((\frac{n+1}{2n+1}))=a(n)$. Come già detto $a(n)<1$: da notare che vale $a(n)^(\sqrt(n))=\frac{n+1}{2n+1}$ per costruzione.
Terzo ingrediente: $a(n)^(\sqrt(n))=\frac{n+1}{2n+1}$ per costruzione.
4) Mescoliamo gli ingredienti, la serie viene $\sum_(n=0)^\infty (\frac{n+1}{2n+1})=\sum_(n=0)^\infty ((a(n))^(\sqrt(n)))^(\sqrt(n))=\sum_(n=0)^\infty (a(n))^(\sqrt(n)\cdot \sqrt(n))=\sum_(n=0)^\infty (a(n))^n$.
Poiché $a(n)<1$ per ogni $n$, allora $\esists \varepsilon>0$ tale che $a(n)+\varepsilon\le 1$ e cioè $a(n)\le (1-\varepsilon)$.
5) Quindi $sum_(n=0)^\infty a(n)^n\le \sum_(n=0)^\infty (1-\varepsilon)^n<+\infty$ poiché quest'ultima è una serie geometrica di ragione $(1-\varepsilon)<1$.

[size=75]Continuo a sostenere che avevo trovato una soluzione con un confronto, però ora mi sfugge e ho solo questa che è più complicata del problema![/size]

_____________

($^1$) Per $n\ge0$ e intero, si ha $n\ge \sqrt(n)$ (per $n=0$, si ha $0\ge0$, per $n=1$ si ha $1\ge 1$ e per $n>1$ vale in generale $n\ge\sqrt(n)$) quindi vale quanto ho detto.

[Sagittarioromano]

si giusto quello che ho detto io è una cavolata..cmq avrei qualche domanda (scusa se ti rendo la vita complicata e non capisco ):
"io estreggo la radice $\sqrtn$−esima al termine della serie" che vuol dire?

poi non è che ora mi potresti esprimere a parole quello che hai fatto? cioè soprattutto il collegamento che c'è tra il punto 1) e il punto 2). Dicendo che anche il punto due è minore di 1 vuoi anche dire che si comportano allo stesso modo? Perdonami

[Zero87]

"Sagittarioromano":si giusto quello che ho detto io è una cavolata..cmq avrei qualche domanda (scusa se ti rendo la vita complicata e non capisco ):
"io estreggo la radice $\sqrtn$−esima al termine della serie" che vuol dire?

poi non è che ora mi potresti esprimere a parole quello che hai fatto? cioè soprattutto il collegamento che c'è tra il punto 1) e il punto 2). Dicendo che anche il punto due è minore di 1 vuoi anche dire che si comportano allo stesso modo? Perdonami

Innanzitutto chiamo qualcun'altro a rispondere perché la soluzione che ho scritto è parecchio contorta (anche se a me pare logica).
Poi, ho detto - un po' grezzamente - "estraggo la radice $\sqrt(n)-$esima. Intendo che voglio trovare quel numero che elevato alla $\sqrt(n)$ mi dà il termine che cerco: è una cosa strana ma basta pensare che $\sqrt(n)$ è un reale positivo ed è come se tu elevassi un numero a potenza reale.

Per la tua domanda in seguito non intendo che si comportano allo stesso modo ma ho voluto dimostrare "solo" che per ogni $n$ quelle quantità (diverse) sono minori di 1.

Comunque no, non mi stai complicando la vita, è solo che inizio a credere che la soluzione che ho proposto sia più contorta che esatta.

[gugo82]

"Sagittarioromano":ok perfetto, però perdonami, ma è proprio la fine che non riesco a capire. Cioè l'affermazione:
Il tutto diventa "termine che diverge a +∞ più qualcosa di positivo" quindi diverge.

Devo interpretarla dicendo: per alcuni termini diverge a $+\infty$ per altri a $0$ quindi sommando viene $+\infty$ giusto? penso di si visto che ora scrivendolo mi sembra logico.

"Logico" su quale pianeta?
Mah...

Riprendiamo da capo.
Hai la serie \(\sum a_n\) ove \(a_n= \frac{1+\sin n\pi/2}{n}\); scrivendo un po' più esplicitamente gli addendi si trova:
\[
a_n= \begin{cases}
1/n & \text{, se } n \text{ è pari}\\
2/n & \text{, se } n \text{ è del tipo } 4k+1\text{ (i.e., } 1,5,9,\ldots \text{)} \\
0 & \text{, se } n \text{ è del tipo } 4k+3 \text{ (i.e., } 3,7,11,\ldots \text{).}
\end{cases}
\]
Dunque, dette \(s_n\) le somme parziali della serie, hai:
\[
\begin{split}
s_1 &= 2\\
s_2 &= 2+\frac{1}{2} = 1+ \left( 1+\frac{1}{2}\right)\\
s_3 &= 2+\frac{1}{2}\\
s_4 &= 2+ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right)\\
s_5 &= 2 + \frac{2}{5} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right)\\
s_6 &= 2 + \frac{2}{5} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}\right) \\
s_7 &= 2 + \frac{2}{5} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}\right) \\
s_8 &= 2 + \frac{2}{5} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}\right)\\
s_9 &= 2 + \frac{2}{5} \frac{2}{9} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}\right) \\
s_{10} &= 2 + \frac{2}{5} \frac{2}{9} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} +\frac{1}{10}\right) \ldots
\end{split}
\]
quindi, guardando attentamente, vedi che:
\[
\begin{split}
s_2 &> \frac{1}{2} \\
s_4 &> \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{2}\right)\\
s_6 &> \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)\\
s_8 &> \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)\\
s_{10} &> \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +\frac{1}{5}\right) \ldots
\end{split}
\]
e ti fai l'idea che:
\[
\forall n\in \mathbb{N},\ s_{2n}> \frac{1}{2}\ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\; .
\]
Ora, se riesci a provare questa cosa (per induzione su \(n\), ad esempio), puoi certamente affermare che la tua serie diverge positivamente... Perchè?

"Sagittarioromano":Io per la 4° ho pensato:
$\sum(\frac{n+1}{2n+1})^{\sqrt{n}}$

$(\frac{n+1}{2n+1})^{\sqrt{n}}\sim(\frac{1}{2})^{\sqrt{n}}\leq(\frac{1}{2})^n$ serie geometrica convergente quindi converge..possibile?

A me non risulta che gli esponenziali con base minore di \(1\) siano crescenti...

Hai:
\[
\frac{n+1}{2n+1} = \frac{1}{2}\ \frac{2n+2}{2n+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2(2n+1)} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}
\]
dunque:
\[
\left( \frac{n+1}{2n+1} \right)^{\sqrt{n}} \leq \left( \frac{2}{3}\right)^{\sqrt{n}}
\]
e tanto ti basta per concludere la convergenza della serie... Perchè?

[Zero87]

"gugo82":Riprendiamo da capo.
Hai la serie \(\sum a_n\) ove \(a_n= \frac{1+\sin n\pi/2}{n}\); scrivendo un po' più esplicitamente gli addendi si trova:
\[
a_n= \begin{cases}
1/n & \text{, se } n \text{ è pari}\\
2/n & \text{, se } n \text{ è del tipo } 4k+1\text{ (i.e., } 1,5,9,\ldots \text{)} \\
0 & \text{, se } n \text{ è del tipo } 4k+3 \text{ (i.e., } 3,7,11,\ldots \text{).}
\end{cases}
\]

L'avevo scritta un po' (tanto ) più grezza, però alla fine avevo detto più o meno lo stesso, no?

"gugo82":\[
\left( \frac{n+1}{2n+1} \right)^{\sqrt{n}} \leq \left( \frac{2}{3}\right)^{\sqrt{n}}
\]
e tanto ti basta per concludere la convergenza della serie... Perchè?

Sapevo che ce ne era una facile per il confronto. Comunque, alla fine, mi piacerebbe sapere se il papiro che avevo scritto era giusto o sbagliato.

[Sagittarioromano]

gugo per quanto riguarda l'esercizio sul seno penso sia giusto anche come l'ha fatto Zero, e la cosa a me si, sembra logica se ci provi a ragionare sopra..per quanto riguarda il secondo (ma anche per il primo) grazie per la spiegazione, mi chiedevo se avessi potuto porre anche $(\frac{1}{2})^{\sqrtn}<1/{n^2}$ e quindi convergente.

Comunque grazie per l'aiuto ti chiederei soltanto di apparire un po' meno presuntuoso ogni tanto..mi dai un po' questa sensazione..come se ci prendessi per idioti. C'è chi è bravo in una cosa e chi in un'altra..è sempre cosi..