Esercizi serie
Ciao a tutti sono nuovo del forum...e pieno di dubbi!
A causa di una lesione meniscale non ho potuto seguire le lezioni universitarie per molto tempo e adesso mi ritrovo praticamente a mare...
Ho qualche problema nel risolvere le serie...o per lo meno mi mancano i supporti per verificare l'esattezza di ciò che svolgo...
$ sum (2n+1) / (2)^(n) $ questa è la serie che sto cercando di risolvere per sapere se converge o diverge...
Io ho ragionato così: il comportamento della serie è asintotico alla serie geometrica $1/(2)^n$ quindi essendo la ragione della serie minore di 1 allora la serie converge..
ho sbagliato?
il ragionamento è giusto?
In ogni caso potreste scrivermi una linea guida da seguire per sapere il segno della serie?
vi ringrazio anticipatamente
A causa di una lesione meniscale non ho potuto seguire le lezioni universitarie per molto tempo e adesso mi ritrovo praticamente a mare...
Ho qualche problema nel risolvere le serie...o per lo meno mi mancano i supporti per verificare l'esattezza di ciò che svolgo...
$ sum (2n+1) / (2)^(n) $ questa è la serie che sto cercando di risolvere per sapere se converge o diverge...
Io ho ragionato così: il comportamento della serie è asintotico alla serie geometrica $1/(2)^n$ quindi essendo la ragione della serie minore di 1 allora la serie converge..
ho sbagliato?
il ragionamento è giusto?
In ogni caso potreste scrivermi una linea guida da seguire per sapere il segno della serie?
vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Mmm.. non è vero che $ (2n+1)/2^n \approx 1/2^n $, infatti $ lim \frac{ \frac{ 2n+1 } { 2^n} } { \frac{ 1 } { 2^n } } = 0 $
Io userei il criterio del rapporto per provarne la convergenza ( che in questo caso è verificata )
Io userei il criterio del rapporto per provarne la convergenza ( che in questo caso è verificata )
Per quanto riguarda il segno della serie... In questo caso tutti i termini sono positivi dunque è a termini positivi.
In linea di massima, una serie è:
- a segni alterni se presenta un fattore come $(-1)^n$ a moltiplicare, oppure uno riconducibile ad esso ( vedi $cos(\pin)$ )
- a termini di segno qualsiasi se presenta fattori il cui segno non è determinabile a priori ( vedi $sin n$ )
- a termini positivi se i termini non possono assumere valori negativi ( polinomi con coeff positivi, esponenziali, quadrati.. )
In linea di massima, una serie è:
- a segni alterni se presenta un fattore come $(-1)^n$ a moltiplicare, oppure uno riconducibile ad esso ( vedi $cos(\pin)$ )
- a termini di segno qualsiasi se presenta fattori il cui segno non è determinabile a priori ( vedi $sin n$ )
- a termini positivi se i termini non possono assumere valori negativi ( polinomi con coeff positivi, esponenziali, quadrati.. )
gentilissimo pater46!
ma nel caso di una serie a segno qualsiasi del tipo:
$ sum sin (1 / n) $
come devo comportarmi?
Nel libro c'è scritto che nel caso di serie a segni alterni bisogna applicare il criterio di Leibniz ...solo che negli appunti di un mio amico ho notato che prima di applicarlo lui controlla prima se converge assolutamente e successivamente applica Leibniz...
Non ho capito bene questo discorso...cioè che differenza c'è tra convergenza assoluta e convergenza di leibniz?
ma nel caso di una serie a segno qualsiasi del tipo:
$ sum sin (1 / n) $
come devo comportarmi?
Nel libro c'è scritto che nel caso di serie a segni alterni bisogna applicare il criterio di Leibniz ...solo che negli appunti di un mio amico ho notato che prima di applicarlo lui controlla prima se converge assolutamente e successivamente applica Leibniz...
Non ho capito bene questo discorso...cioè che differenza c'è tra convergenza assoluta e convergenza di leibniz?
Il criterio di Leibniz si usa per verificare la convergenza di serie il cui termine generale è a segno alterno.
La convergenza assoluta è una condizione più forte della convergenza semplice, in pratica una serie converge assolutamente se converge la serie dei valori assoluti del termine generale della serie di partenza. In simboli:
{ $ a_n $ } t.c. $ a_n \in NN$
Si dice che $sum a_n$ converge assolutamente se $sum |a_n|$ converge.
Si dimostra inoltre che la convergenza assoluta implica la convergenza semplice. In generale il viceversa non vale.
Ora, come ho detto prima, la NON convergenza assoluta non implica la divergenza della serie di partenza! Il criterio di Leibniz si usa quando appunto siamo in presenza di una serie a segno alterno che non converge assolutamente.
PS: $sum sin(1/n)$ non è a termini a segno alterno, è a termini positivi!
La convergenza assoluta è una condizione più forte della convergenza semplice, in pratica una serie converge assolutamente se converge la serie dei valori assoluti del termine generale della serie di partenza. In simboli:
{ $ a_n $ } t.c. $ a_n \in NN$
Si dice che $sum a_n$ converge assolutamente se $sum |a_n|$ converge.
Si dimostra inoltre che la convergenza assoluta implica la convergenza semplice. In generale il viceversa non vale.
Ora, come ho detto prima, la NON convergenza assoluta non implica la divergenza della serie di partenza! Il criterio di Leibniz si usa quando appunto siamo in presenza di una serie a segno alterno che non converge assolutamente.
PS: $sum sin(1/n)$ non è a termini a segno alterno, è a termini positivi!
quindi essendo a termini positivi basta che applico il criterio del confronto :
$ sin (1 / n) ~ (1 / n) $
la serie armonica è maggiorante della serie che mi interessa...essa diverge e di conseguenza diverge anche la minorante...
giusto?
$ sin (1 / n) ~ (1 / n) $
la serie armonica è maggiorante della serie che mi interessa...essa diverge e di conseguenza diverge anche la minorante...
giusto?
Mmm no.
Vedila così: ci sono due corridori, e per ipotesi uno ( chiamiamolo $b$ ) corre SEMPRE più velocemente dell'altro ( chiamiamolo $a$ ).
Ora, se $b$ si fermasse, necessariamente anche il primo corridore $a$ si deve fermare, in quanto corre più lentamente.
Ma se $b$ continuasse a correre per sempre, chi ci assicura che $a$ non si sia mai fermato? Nessuno!
E' appunto questa la situazione. Una maggiorante divergente non ci da alcuna informazione. Se ricordi il teorema ponte, d'altro canto, noteresti che, per $n -> oo$, $sin(1/n) \approx 1/n$.
Dunque per il teorema del confronto asintotico, la tua serie ( $sum sin (1/n) $ ) ha lo stesso carattere della serie $sum 1/n$.
E dato che questa serie, come hai detto tu, diverge.. la serie di partenza cosa fa?
Vedila così: ci sono due corridori, e per ipotesi uno ( chiamiamolo $b$ ) corre SEMPRE più velocemente dell'altro ( chiamiamolo $a$ ).
Ora, se $b$ si fermasse, necessariamente anche il primo corridore $a$ si deve fermare, in quanto corre più lentamente.
Ma se $b$ continuasse a correre per sempre, chi ci assicura che $a$ non si sia mai fermato? Nessuno!
E' appunto questa la situazione. Una maggiorante divergente non ci da alcuna informazione. Se ricordi il teorema ponte, d'altro canto, noteresti che, per $n -> oo$, $sin(1/n) \approx 1/n$.
Dunque per il teorema del confronto asintotico, la tua serie ( $sum sin (1/n) $ ) ha lo stesso carattere della serie $sum 1/n$.
E dato che questa serie, come hai detto tu, diverge.. la serie di partenza cosa fa?
non mi quadra la parte del teorema del confronto asintotico...
per applicare il teorema devo fare:
$ lim_(n -> +oo ) sin(1/n) / (1/n) $
solo che qui mi blocco...mi viene una forma di indeterminazione 0/0 e non so come andare avanti
per applicare il teorema devo fare:
$ lim_(n -> +oo ) sin(1/n) / (1/n) $
solo che qui mi blocco...mi viene una forma di indeterminazione 0/0 e non so come andare avanti
Per il teorema ponte potresti usare il limite di funzioni.
In particolare
$lim_{n->oo} sin(1/n)/(1/n) = lim_{x->+oo}sin(1/x)/(1/x)$
Poniamo $y = 1/x$, pertanto per $x -> +oo$, $ y -> 0 $, dunque non ti rimane che calcolare
$lim_{y->0} siny/y$
In particolare
$lim_{n->oo} sin(1/n)/(1/n) = lim_{x->+oo}sin(1/x)/(1/x)$
Poniamo $y = 1/x$, pertanto per $x -> +oo$, $ y -> 0 $, dunque non ti rimane che calcolare
$lim_{y->0} siny/y$
giusto...ti ringrazio sei stato gentilissimo!
avevo un altra domanda inerente ad un esercizio:
$ sum (-1)^n (2^n + 1) / (3^n + n^2) $
si può risolvere questo esercizio semplicemente utilizzando Leibniz...ma volevo chiedere se era giusto anche utilizzare prima il criterio di convergenza assoluta...e successivamente quello del confronto asintotico...
$ |(-1)^n(2^n+1)/(3^n + n^2)| = (2^n+1)/(3^n + n^2) ~~ (2/3)^n $
e ovviamente è convergente...
è giusto questo ragionamento?
vi ringrazio in anticipo
$ sum (-1)^n (2^n + 1) / (3^n + n^2) $
si può risolvere questo esercizio semplicemente utilizzando Leibniz...ma volevo chiedere se era giusto anche utilizzare prima il criterio di convergenza assoluta...e successivamente quello del confronto asintotico...
$ |(-1)^n(2^n+1)/(3^n + n^2)| = (2^n+1)/(3^n + n^2) ~~ (2/3)^n $
e ovviamente è convergente...
è giusto questo ragionamento?
vi ringrazio in anticipo
Impari in fretta! 
Ottimo 
Ottimo
sono contento ! e soprattutto di avervi scoperto!
grazie mille pater46!
grazie mille pater46!
"pater46":
Mmm.. non è vero che $ (2n+1)/2^n \approx 1/2^n $, infatti $ lim \frac{ \frac{ 2n+1 } { 2^n} } { \frac{ 1 } { 2^n } } = 0 $
Io userei il criterio del rapporto per provarne la convergenza ( che in questo caso è verificata )
scusa ma quel limite a me viene $\frac{0} {0}$ quindi indeterminata come fa a venirti $0$? se io faccio una stima asintotica per il numeratore $2^n$ cresce piu velocemente di $2n+1$ quindi dovrebbe tendere a $0$ stessa cosa per il denominatore di $\frac {1} {2^n}$ tende a zero quindi si ha $\frac {0} {0}$ no? il mio ragionamento è sbagliato? se no come si risolve
scusate ma ho appena iniziato a studiare i limiti!! ho provato anche a fare cosi $\lim \frac {\frac{2n+1} {2^n}} {\frac { 1}{2^n }}$ $=$ $ \frac {n( 2 + \frac {1} {n})} { 2^n } *2^n$ $=$ $n ( 2 + \frac {1} {n})$ quindi $ n(2 + \frac {1}{n})$ la frazione dente a $0$ e mi rimande un $n(2)$ ho sbagliato? se sbaglio mi potete far vedere i passaggi?
Scusami, quel limite fa $+oo$.
Quel limite al limite avresti potuto dire che fa uno, me non è neanche così:
$lim_{n} \frac{ \frac{ 2n+1 } { 2^n } } { 1/(2^n) } = lim_{n} 2^n \frac { 2n+1 } { 2^n } = lim_{n} 2n+1 = +oo $
che comunque non è un valore finito ed indica che non è un'approssimazione lecita.
Come hai cominciato a verificare con manipolazione algebriche, la forma indeterminata si può togliere. Dire che un limite tende a $0/0$ non ha alcun senso, ma in questo caso, come è evidente dal fatto che il limite tende a $+oo$, il numeratore si dice essere di un'ordine di infinito superiore rispetto al denominatore.
Quel limite al limite avresti potuto dire che fa uno, me non è neanche così:
$lim_{n} \frac{ \frac{ 2n+1 } { 2^n } } { 1/(2^n) } = lim_{n} 2^n \frac { 2n+1 } { 2^n } = lim_{n} 2n+1 = +oo $
che comunque non è un valore finito ed indica che non è un'approssimazione lecita.
Come hai cominciato a verificare con manipolazione algebriche, la forma indeterminata si può togliere. Dire che un limite tende a $0/0$ non ha alcun senso, ma in questo caso, come è evidente dal fatto che il limite tende a $+oo$, il numeratore si dice essere di un'ordine di infinito superiore rispetto al denominatore.
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