Esercizi Precorso Matematica ( Acerbi /Buttazzi)
Salve ragazzi . Siccome sto seguendo un precorso di matematica vorrei fornire qui via via gli esercizi proposti dal docente e magari correggerli dandomi qualche suggerimento.
Il primo argomento è LOGICA MATEMATICA
Es.1) Provate che A $ lArr rArr $ B equivale a $ [(ArArr B) e ( BrArr A)] $
Es.2) Dimostrate che $ [(nonA)oB) lArr rArr [ArArr B] $
Es.3) Dimostrate che $ [(non(AeB) lArr rArr [(nonA)o(nonB)] $
Es.4) Dimostrate che $ [(non(AoB) lArr rArr [(nonA)e(nonB)] $
Allora riguardo a questi primi esercizi la teoria l'ho capicchiata.
al primo esercizio risponderei che Se A implica B e B implica A allora posso mettere anche il doppio implica perchè entrambe sono vere.
2. Io intanto vedo che c'è il ''vel'' quindi una delle due deve essere vera. Il ''non'' si riferisce solo alla A perchè è nella parentesi ... Tra falsa o vera è vera perchè una delle due deve essere vera
3 e 4 . Per la proprietà distributiva il non bisogna applicarlo ad A e B però invertendo i connettivi logici per annullarlo (?)
Applicativamente lo capisco ma non lo so spiegare . Scusate per il modo di esprimermi ma sto imparando e spero di non far ridere nessuno..
Il primo argomento è LOGICA MATEMATICA
Es.1) Provate che A $ lArr rArr $ B equivale a $ [(ArArr B) e ( BrArr A)] $
Es.2) Dimostrate che $ [(nonA)oB) lArr rArr [ArArr B] $
Es.3) Dimostrate che $ [(non(AeB) lArr rArr [(nonA)o(nonB)] $
Es.4) Dimostrate che $ [(non(AoB) lArr rArr [(nonA)e(nonB)] $
Allora riguardo a questi primi esercizi la teoria l'ho capicchiata.
al primo esercizio risponderei che Se A implica B e B implica A allora posso mettere anche il doppio implica perchè entrambe sono vere.
2. Io intanto vedo che c'è il ''vel'' quindi una delle due deve essere vera. Il ''non'' si riferisce solo alla A perchè è nella parentesi ... Tra falsa o vera è vera perchè una delle due deve essere vera
3 e 4 . Per la proprietà distributiva il non bisogna applicarlo ad A e B però invertendo i connettivi logici per annullarlo (?)
Applicativamente lo capisco ma non lo so spiegare . Scusate per il modo di esprimermi ma sto imparando e spero di non far ridere nessuno..
Risposte
Secondo me questi esercizi vanno risolti in modo meccanico (brutto termine per la soluzione di un problema di matematica, accettiamo che si tratta di pura logica): costruire con la pazienza le tavole di verita' e guardarle in faccia.
In genere, davanti a questi esercizi preferisco rifarmi alla teoria degli insiemi, in cui puoi scrivere affermazioni equivalenti.
E in effetti, tralasciando la prima che è banale, risulta forse più facile ragionare in questi termini.
Ad esempio, ricordando che$and$corrisponde all'intersezione, $or$ all'unione, e $not$ al complementare, la terza e la quarta proposizione sono identiche alle leggi di De Morgan.
Basta un disegnino per rendersi conto della loro correttezza. Dimostrarle formalmente è meno immediato; ti mostro come fare per la prima.
$[(not(AandB) hArr [(notA)or(notB)]$ equivale a scrivere $(AnnB)^c=A^cuuB^c$.
Sia $s$ un elemento di $(AnnB)^c$. Chiaramente $s$ appartiene al più ad uno solo di questi due insiemi: supponendo \(s\not \in A\), $s inA^c$ e quindi $s inA^cuuB^c$. Analogamente, se \(s\not \in B\), si ha $suuA^cuuB^c$. Questo dimostra la prima implicazione.
Per la seconda implicazione (ricorda, c'è una doppia freccia, quindi sono richieste due dimostrazioni) procediamo per assurdo. Sia $s inA^cuuB^c$ ma non in $(AnnB)^c$. Dunque, $s$ deve appartenere all'intersezione di $A$ e $B$, e di conseguenza $s$ non appartiene né a $A^c$ né a $B^c$. Questo è assurdo, poiché si avrebbe contro l'ipotesi che $s$ non appartiene a $A^cuuB^c$.
Tutto chiaro?
P.S. che facoltà frequenterai?
E in effetti, tralasciando la prima che è banale, risulta forse più facile ragionare in questi termini.
Ad esempio, ricordando che$and$corrisponde all'intersezione, $or$ all'unione, e $not$ al complementare, la terza e la quarta proposizione sono identiche alle leggi di De Morgan.
Basta un disegnino per rendersi conto della loro correttezza. Dimostrarle formalmente è meno immediato; ti mostro come fare per la prima.
$[(not(AandB) hArr [(notA)or(notB)]$ equivale a scrivere $(AnnB)^c=A^cuuB^c$.
Sia $s$ un elemento di $(AnnB)^c$. Chiaramente $s$ appartiene al più ad uno solo di questi due insiemi: supponendo \(s\not \in A\), $s inA^c$ e quindi $s inA^cuuB^c$. Analogamente, se \(s\not \in B\), si ha $suuA^cuuB^c$. Questo dimostra la prima implicazione.
Per la seconda implicazione (ricorda, c'è una doppia freccia, quindi sono richieste due dimostrazioni) procediamo per assurdo. Sia $s inA^cuuB^c$ ma non in $(AnnB)^c$. Dunque, $s$ deve appartenere all'intersezione di $A$ e $B$, e di conseguenza $s$ non appartiene né a $A^c$ né a $B^c$. Questo è assurdo, poiché si avrebbe contro l'ipotesi che $s$ non appartiene a $A^cuuB^c$.
Tutto chiaro?
P.S. che facoltà frequenterai?
E' corretto quanto dici, l'unico dubbio e' che tecnicamente potrebbe non essere ancora stata fatta la teoria degli insiemi: qui si tratta di calcolo proposizionale (neanche dei predicati perche' non ci sono variabili da quantificare), quindi siamo ben lontani ancora dalla matematica.
"Weierstress":
In genere, davanti a questi esercizi preferisco rifarmi alla teoria degli insiemi, in cui puoi scrivere affermazioni equivalenti.
E in effetti, tralasciando la prima che è banale, risulta forse più facile ragionare in questi termini.
Ad esempio, ricordando che$and$corrisponde all'intersezione, $or$ all'unione, e $not$ al complementare, la terza e la quarta proposizione sono identiche alle leggi di De Morgan.
Basta un disegnino per rendersi conto della loro correttezza. Dimostrarle formalmente è meno immediato; ti mostro come fare per la prima.
$[(not(AandB) hArr [(notA)or(notB)]$ equivale a scrivere $(AnnB)^c=A^cuuB^c$.
Sia $s$ un elemento di $(AnnB)^c$. Chiaramente $s$ appartiene al più ad uno solo di questi due insiemi: supponendo \(s\not \in A\), $s inA^c$ e quindi $s inA^cuuB^c$. Analogamente, se \(s\not \in B\), si ha $suuA^cuuB^c$. Questo dimostra la prima implicazione.
Per la seconda implicazione (ricorda, c'è una doppia freccia, quindi sono richieste due dimostrazioni) procediamo per assurdo. Sia $s inA^cuuB^c$ ma non in $(AnnB)^c$. Dunque, $s$ deve appartenere all'intersezione di $A$ e $B$, e di conseguenza $s$ non appartiene né a $A^c$ né a $B^c$. Questo è assurdo, poiché si avrebbe contro l'ipotesi che $s$ non appartiene a $A^cuuB^c$.
Tutto chiaro?
P.S. che facoltà frequenterai?
Ufficialmente scienze geologiche
"Luca.Lussardi":
E' corretto quanto dici, l'unico dubbio e' che tecnicamente potrebbe non essere ancora stata fatta la teoria degli insiemi: qui si tratta di calcolo proposizionale (neanche dei predicati perche' non ci sono variabili da quantificare), quindi siamo ben lontani ancora dalla matematica.
Si , hai ragione . Infatti devo rimasticare certe cose.
Ad esempio quando parliamo di complementare tipo A^c , ci riferiamo a tutti quegli elementi che non appartengono ad A ?
Tipo $ Asub E $
$ A^c : { x in E ; t.c. x !in A} $
?
"hoffman":
Ad esempio quando parliamo di complementare tipo A^c , ci riferiamo a tutti quegli elementi che non appartengono ad A ?
Yes
"Luca.Lussardi":
E' corretto quanto dici, l'unico dubbio e' che tecnicamente potrebbe non essere ancora stata fatta la teoria degli insiemi: qui si tratta di calcolo proposizionale (neanche dei predicati perche' non ci sono variabili da quantificare), quindi siamo ben lontani ancora dalla matematica.
Vero, ma quel poco di teoria degli insiemi che serve in questo caso è roba risaputa dal liceo, credo. E anche se non se li fosse ricordati, unione, intersezione e complementare sono concetti che si possono rispolverare in pochi minuti.
Poi sono d'accordo che la dimostrazione può essere un filo ostica per chi si vede davanti per la prima volta una cosa del genere, soprattutto se la facoltà non sarà matematica o fisica ma scienze geologiche (senza nulla togliere a quest'ultima, la matematica tende ad essere meno preponderante).
Comunque, è anche plausibile che l'OP faccia un po' di teoria degli insiemi, almeno le basi delle basi, durante il precorso, quindi è anche possibile che abbia al massimo anticipato, più che depistato...
ESERCIZI SUGLI INSIEMI
1. Determinare gli insiemi $ {x in R : x^2 <= 1 or x^2 >= 5 } $ e $ {x in R : x^2 < 100 and ( 2x-1<= 0 or x>7 } $
2. Dite quali fra le seguenti uguaglianze sono vere:
a) $ {x in R : ( x>2 and x<6) or x <0 } = { x in R : x>2 and ( x<6 or x<0)} $
b) $ {x in R : ( x<1 or x>3) and x<=2 } = { x in R : x<0 or ( x<1 and x>=-3)} $
3.Provare le seguenti formule
a) $ E\\ F = E nn F^c $
b) $ [E\\ F = phi] lArr rArr [E sub F] $
4. Determinare $ P({a,1,o }) $
5. Determinare tutti gli elementi di $ {1,x } * {a,1,pallino pieno} $
Rispondo (sperando bene )
1. Nel primo insieme gli elementi sono 1 e -1 ( nel primo caso ) e da [3 , + inf [ . Nel secondo insieme invece da [-9 , 9 ]
2.
a) Vera
b) Falsa
3.
a) E - F = E E intersecato a F^c ( cioè tutti gli elementi che non fanno parte di F) è uguale ad E perchè appunto rimane solo E .
b) E - F = insieme vuoto . Questo implica che E è sottoinsieme di F , quindi E è incluso in F .
4. Questa cosa non l'ho be chiara . P sarebbe l'insieme di tutti i sottoinsiemi . QUindi P sarebbe un insieme numerico , lettere e forme (?)
5. Questo è un prodotto cartesiano tra due insiemi . Formatosi ( 1,a) ; (1,1) ; ( 1,o) ; (x,a) ; ( x,1) ; (x,o) ;
1. Determinare gli insiemi $ {x in R : x^2 <= 1 or x^2 >= 5 } $ e $ {x in R : x^2 < 100 and ( 2x-1<= 0 or x>7 } $
2. Dite quali fra le seguenti uguaglianze sono vere:
a) $ {x in R : ( x>2 and x<6) or x <0 } = { x in R : x>2 and ( x<6 or x<0)} $
b) $ {x in R : ( x<1 or x>3) and x<=2 } = { x in R : x<0 or ( x<1 and x>=-3)} $
3.Provare le seguenti formule
a) $ E\\ F = E nn F^c $
b) $ [E\\ F = phi] lArr rArr [E sub F] $
4. Determinare $ P({a,1,o }) $
5. Determinare tutti gli elementi di $ {1,x } * {a,1,pallino pieno} $
Rispondo (sperando bene )
1. Nel primo insieme gli elementi sono 1 e -1 ( nel primo caso ) e da [3 , + inf [ . Nel secondo insieme invece da [-9 , 9 ]
2.
a) Vera
b) Falsa
3.
a) E - F = E E intersecato a F^c ( cioè tutti gli elementi che non fanno parte di F) è uguale ad E perchè appunto rimane solo E .
b) E - F = insieme vuoto . Questo implica che E è sottoinsieme di F , quindi E è incluso in F .
4. Questa cosa non l'ho be chiara . P sarebbe l'insieme di tutti i sottoinsiemi . QUindi P sarebbe un insieme numerico , lettere e forme (?)
5. Questo è un prodotto cartesiano tra due insiemi . Formatosi ( 1,a) ; (1,1) ; ( 1,o) ; (x,a) ; ( x,1) ; (x,o) ;
Un consiglio spassionato: posta gli esercizi via via in topic diversi. Accumulare tutti qui mi sembra poco intelligente, oltre che (credo) contro il regolamento. Inoltre, credo che postare una valanga di roba per cercare delle conferme non sia una buona idea: molto meglio selezionare degli esercizi significativi, capirli a fondo, e poter poi applicare ragionamenti analoghi ad esercizi simili. Alla fine, è così che dovresti studiare la matematica...
Rispondo a qualche cosa qua e là. Nel primo insieme devi unire le soluzioni delle due disequazioni, che sono rispettivamente $[-1,1]$ e $(-oo, -sqrt(5)] uu [sqrt(5),+oo)$. Quindi la tua risposta è errata. Riguarderei anche il secondo insieme.
L'esercizio seguente è analogo: prima capisci come sono fatti gli insiemi, dopodiché controlli le disuguaglianze.
Per il terzo esercizio, puoi dimostrare la prima affermazione sulla falsa riga di quello che ho postato sopra. Supponiamo un elemento $x$ appartenente a $E-F$; $x$ appartiene ovviamente ad $E$, e siccome non appartiene a $F$ deve appartenere a $F^c$. Dunque $x inEnnF^c$ necessariamente. Viceversa, sia $x inEnnF^c$; supponendo che $x$ non stia in $E-F$, segue che $x$ non è un elemento di $E$, assurdo.
La seconda affermazione è ancora più facile da provare.
L'insieme delle parti è come dici l'insieme di tutti i sottoinsiemi, propri e impropri. Quindi \[P({a,1,o})=\{Ø, (a), (1), (o), (a,1), (a,o), (1,o), (a,1,o)\}\]An amazing fact: la cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme di $X$ elementi è $2^X$. Infatti, nel nostro caso abbiamo $2^3=8$ elementi.
Rispondo a qualche cosa qua e là. Nel primo insieme devi unire le soluzioni delle due disequazioni, che sono rispettivamente $[-1,1]$ e $(-oo, -sqrt(5)] uu [sqrt(5),+oo)$. Quindi la tua risposta è errata. Riguarderei anche il secondo insieme.
L'esercizio seguente è analogo: prima capisci come sono fatti gli insiemi, dopodiché controlli le disuguaglianze.
Per il terzo esercizio, puoi dimostrare la prima affermazione sulla falsa riga di quello che ho postato sopra. Supponiamo un elemento $x$ appartenente a $E-F$; $x$ appartiene ovviamente ad $E$, e siccome non appartiene a $F$ deve appartenere a $F^c$. Dunque $x inEnnF^c$ necessariamente. Viceversa, sia $x inEnnF^c$; supponendo che $x$ non stia in $E-F$, segue che $x$ non è un elemento di $E$, assurdo.
La seconda affermazione è ancora più facile da provare.
L'insieme delle parti è come dici l'insieme di tutti i sottoinsiemi, propri e impropri. Quindi \[P({a,1,o})=\{Ø, (a), (1), (o), (a,1), (a,o), (1,o), (a,1,o)\}\]An amazing fact: la cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme di $X$ elementi è $2^X$. Infatti, nel nostro caso abbiamo $2^3=8$ elementi.
Siccome vedevo che molti chiedono cose sui precorsi di matematica stavo mettendo a disposizione esercizi del mio libro comprato . Poi questo libro non ha le soluzioni quindi approfittavo. Se non posso farlo va bene , scusate
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