Esercizi ODE
Volevo chiedere conferma nei risultati per una serie di esercizi che sto riscrivendo e che sto ripassando in vista del nuovo anno. Inizio dal primo:
Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $y'=-(2x)/(x^2+1)y+cosx$; risolvere poi il problema di Cauchy con condizione iniziale $y(0)=0$.
Svolgimento:
La soluzione, dalla forma di $a(x)$ e $b(x)$ che sarebbero il coefficiente della y e il termine noto, direi che la soluzione dovrebbe essere globale. Dopo vari calcoli la soluzione dovrebbe essere $y(x)=(1/(x^2+1))(x^2sinx+2xcosx+3sinx+c)$, da cui imponendo la condizione iniziale dovrei avere che c=0.
Grazie.
Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $y'=-(2x)/(x^2+1)y+cosx$; risolvere poi il problema di Cauchy con condizione iniziale $y(0)=0$.
Svolgimento:
La soluzione, dalla forma di $a(x)$ e $b(x)$ che sarebbero il coefficiente della y e il termine noto, direi che la soluzione dovrebbe essere globale. Dopo vari calcoli la soluzione dovrebbe essere $y(x)=(1/(x^2+1))(x^2sinx+2xcosx+3sinx+c)$, da cui imponendo la condizione iniziale dovrei avere che c=0.
Grazie.
Risposte
Mi sembra tutto corretto, solo che a me viene $-\sin x$ non $3\sin x$ (forse hai riportato due volte il $-$).
giusto! Grazie
Altro esercizio su cui ho un piccolo dubbio:
Determinare l'integrale generale dell'equazione: $y''-2y'+5y=xe^(2x)$
Svolgimento:
La soluzione dell'omogenea associata è: $z(x)=e^x(c_1cos2x+c_2sin2x)$. Ora quando voglio studiare la soluzione particolare della completa, volendola studiare tramite il metodo di somiglianza, dato che il termine noto non ha nulla in comune con la soluzione dell'omogenea, io l'ho scritto della forma: $Axe^(2x)+Be^(2x)$, ma confrontando con la soluzione del Wolfram non mi trovo per una costante, cioè io mi trovo $1/25e^(2x)(5x-10)$, mentre Wolfram $1/25e^(2x)(5x-2)$.
Determinare l'integrale generale dell'equazione: $y''-2y'+5y=xe^(2x)$
Svolgimento:
La soluzione dell'omogenea associata è: $z(x)=e^x(c_1cos2x+c_2sin2x)$. Ora quando voglio studiare la soluzione particolare della completa, volendola studiare tramite il metodo di somiglianza, dato che il termine noto non ha nulla in comune con la soluzione dell'omogenea, io l'ho scritto della forma: $Axe^(2x)+Be^(2x)$, ma confrontando con la soluzione del Wolfram non mi trovo per una costante, cioè io mi trovo $1/25e^(2x)(5x-10)$, mentre Wolfram $1/25e^(2x)(5x-2)$.
Lorin, ma l'omogenea associata non ha polinomio caratteristico [tex]$\lambda^2-2\lambda+1=0$[/tex]?
Scusami ancora, il caldo mi gioca brutti scherzi (effettivamente si muore ù_ù), comunque era $5y$...ho appena corretto anche sopra.
Così va bene. Sicuro di aver calcolato bene le derivate? La soluzione particolare è [tex]$y_p(x)=(Ax+B)e^{2x}$[/tex] pertanto si ha
[tex]$y_p'(x)=(2Ax+2B+A)e^{2x},\qquad y_p''(x)=(4Ax+4B+4A)e^{2x}$[/tex]
e quindi, sostituendo e semplificando
[tex]$4Ax+4B+4A-4Ax-4B-2A+5Ax+5B=x\ \Rightarrow\ A=\frac{1}{5},\ B=-\frac{2}{25}$[/tex]
[tex]$y_p'(x)=(2Ax+2B+A)e^{2x},\qquad y_p''(x)=(4Ax+4B+4A)e^{2x}$[/tex]
e quindi, sostituendo e semplificando
[tex]$4Ax+4B+4A-4Ax-4B-2A+5Ax+5B=x\ \Rightarrow\ A=\frac{1}{5},\ B=-\frac{2}{25}$[/tex]
Eh...lo stavo rifacendo a distanza di qualche ora, ed è uscito il risultato.
Grazie e scusami se ti sto facendo fare tutti questi calcoli con questo caldo
Grazie e scusami se ti sto facendo fare tutti questi calcoli con questo caldo
Ma figurati! Anzi, almeno così mi distraggo! Altrimenti starei gettato su un letto a boccheggiare (e guardarmi One Piece)! 
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