Esercizi numero di radici di polinomi
Ciao a tutti, ho difficoltà un paio di esercizi.
In generale, questo tipo di problemi mi mettono in difficoltà. Come si procede in generale?
Per il primo, ho provato valutando il polinomio agli estremi, ottenendo rispettivamente $a+6$ e $a-6$.
Calcolando la derivata prima ottengo $p'(x)=5x^4-7$ e studiandone il segno vedo che decresce su tutto l'intervallo. In teoria a questo punto dovrei essere a posto perché si vede a occhio che se $a>6$ il polinomio in $[-1,1]$ sta sempre sopra l'asse delle ascisse, per $a<-6$ sta sempre sotto, per $-6
Il secondo esercizio sembra simile ma seguendo un ragionamento simile non ne vengo a capo. Sapreste darmi un suggerimento?
Mostrare che il polinomio $x^5 − 7x + a$, ha al più uno zero in $[−1, 1]$ per ogni $ainRR$.
Stabilire per quali valori di $ainRR$ il polinomio $p(x)=x^4+ax+1$ ha almeno una radice reale in $(0, 1/2)$.
In generale, questo tipo di problemi mi mettono in difficoltà. Come si procede in generale?
Per il primo, ho provato valutando il polinomio agli estremi, ottenendo rispettivamente $a+6$ e $a-6$.
Calcolando la derivata prima ottengo $p'(x)=5x^4-7$ e studiandone il segno vedo che decresce su tutto l'intervallo. In teoria a questo punto dovrei essere a posto perché si vede a occhio che se $a>6$ il polinomio in $[-1,1]$ sta sempre sopra l'asse delle ascisse, per $a<-6$ sta sempre sotto, per $-6
Il secondo esercizio sembra simile ma seguendo un ragionamento simile non ne vengo a capo. Sapreste darmi un suggerimento?
Risposte
Il secondo è veramente più semplice: \(p(0) = 1\) per ogni \(a\), quindi devi solo guardare cosa succede nell'altro estremo e usare i teoremi sulle funzioni continue.
Per quanto riguarda il primo esercizio:
Mostrare che il polinomio $x^5-7x+a $, ha al più uno zero in $[-1,1] $ per ogni $a $ $in $ $R $, io procederei nel modo seguente:
Prendo in considerazione la derivata prima del polinomio
$5x^4-7$, ne calcolo facilmente le radici, di cui solamente due appartengano al campo reale R, precisamente $x_1=-root (4)(7/5) $ ed $x_2=+root (4)(7/5) $, la fattorizzazione sarà $(5x^2+sqrt (35))(x^2-root (4)(7/5))$.
Osservando che $x_1<-1$, ed $x_2>1$, cioè tali punti unici, che non azzerano la derivata seconda, sono punti, rispettivamente $x_1$ di massimo ed $x_2$ di minimo , e cadono al di fuori dell'intervallo $[-1,1] $, pertanto la funzione in tale intervallo sarà sempre strettamente decrescente, la sua derivata prima facendo lo studio del segno, si manterrà infatti negativa all'interno di tale intervallo, pertanto nel caso in cui attraversi l'asse delle $x $ in tale intervallo, questo avverrà al più una volta al suo interno.
Inoltre si può osservare che il parametro $a $ essendo una costante, la sua scelta non influenza la derivata prima, che invece determina gli intervalli di crescenza e decrescenza, pertanto lo si può stabilire arbitrariamente , cioè la condizione è valida per ogni $a $ $in $ $R $.
Vi sembra corretto il mio ragionamento?
Mostrare che il polinomio $x^5-7x+a $, ha al più uno zero in $[-1,1] $ per ogni $a $ $in $ $R $, io procederei nel modo seguente:
Prendo in considerazione la derivata prima del polinomio
$5x^4-7$, ne calcolo facilmente le radici, di cui solamente due appartengano al campo reale R, precisamente $x_1=-root (4)(7/5) $ ed $x_2=+root (4)(7/5) $, la fattorizzazione sarà $(5x^2+sqrt (35))(x^2-root (4)(7/5))$.
Osservando che $x_1<-1$, ed $x_2>1$, cioè tali punti unici, che non azzerano la derivata seconda, sono punti, rispettivamente $x_1$ di massimo ed $x_2$ di minimo , e cadono al di fuori dell'intervallo $[-1,1] $, pertanto la funzione in tale intervallo sarà sempre strettamente decrescente, la sua derivata prima facendo lo studio del segno, si manterrà infatti negativa all'interno di tale intervallo, pertanto nel caso in cui attraversi l'asse delle $x $ in tale intervallo, questo avverrà al più una volta al suo interno.
Inoltre si può osservare che il parametro $a $ essendo una costante, la sua scelta non influenza la derivata prima, che invece determina gli intervalli di crescenza e decrescenza, pertanto lo si può stabilire arbitrariamente , cioè la condizione è valida per ogni $a $ $in $ $R $.
Vi sembra corretto il mio ragionamento?
Corretto o no, non dovresti fornire soluzioni complete agli esercizi, ma piuttosto suggerimenti.
Chiedo scusa!
Ma mi sembra che un tentativo di soluzione è stato fatto, ed iniziare con lo studio della derivata prima mi sembra sia corretto, la seconda parte mi sembra non esatta, così ho postato anch'io una soluzione, che magari è errata, visto che sono un profano in materia, volevo soltanto un parere , non ci vedo nulla di male in questo.
Ma mi sembra che un tentativo di soluzione è stato fatto, ed iniziare con lo studio della derivata prima mi sembra sia corretto, la seconda parte mi sembra non esatta, così ho postato anch'io una soluzione, che magari è errata, visto che sono un profano in materia, volevo soltanto un parere , non ci vedo nulla di male in questo.
Mah, non saprei. Giocherellando con desmos effettivamente salta fuori che il polinomio non è completamente positivo se non per $a>6,09$ circa. Quindi la mia valutazione era seppur di poco imprecisa.
E non capisco il perché. Comunque francicko la tua soluzione è esattamente identica alla mia salvo che per la discussione sui valori di $a$, da te liquidata osservando semplicemente la monotonia. Hai poi riportato nel dettaglio lo studio della derivata che io avevo invece tralasciato.
Qualcuno mi sa spiegare cosa c'è di sbagliato nel considerare la funzione positiva per $a>6$?
E non capisco il perché. Comunque francicko la tua soluzione è esattamente identica alla mia salvo che per la discussione sui valori di $a$, da te liquidata osservando semplicemente la monotonia. Hai poi riportato nel dettaglio lo studio della derivata che io avevo invece tralasciato.
Qualcuno mi sa spiegare cosa c'è di sbagliato nel considerare la funzione positiva per $a>6$?
Non capisco la tua spiegazione, il testo del problema vuole che si dimostri che il polinomio $x^5-7x+a $ con $a $ $in$ $R$, ha al più uno zero nell'intervallo $[-1,1] $, il fatto saliente è che Il polinomio oggetto della discussione, possiede un massimo ed un minimo che stanno al di fuori del suddetto intervallo, pertanto al suo interno il polinomio sarà nel nostro caso sempre decrescente, quindi se nell'intervallo il polinomio assume solo valori positivi (negativi), la tesi del problema è soddisfatta, diversamente interseca essendo decrescente solo in un punto l'asse delle $x $ all'interno dell'intervallo su indicato, come volevasi dimostrare.
Rispondendo alla tua ultima domanda, è vero che il polinomio si mantiene $>=0$ per $a>=6$, in quanto $P (1)=1-7+6=0$ all'interno dell'intervallo $[-1,1] $, ma al di fuori dell'intervallo ovviamente è falso, perché $x=1$, non è il punto di minimo che invece è $root(4)(7/5)>1$, comunque questa osservazione è al di fuori del problema.
Rispondendo alla tua ultima domanda, è vero che il polinomio si mantiene $>=0$ per $a>=6$, in quanto $P (1)=1-7+6=0$ all'interno dell'intervallo $[-1,1] $, ma al di fuori dell'intervallo ovviamente è falso, perché $x=1$, non è il punto di minimo che invece è $root(4)(7/5)>1$, comunque questa osservazione è al di fuori del problema.
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