Esercizi - Limiti e altro

[-Jaco-1]

Ciao a tutti

ho questo esercizio:

f(x)= ( log(1+ax) per -1/a ( 2b+x per x>0
devo determinare: - i parametri a>0 e b appartenente a R affinche sia continua nel suo dominio
-determinare i parametri a>0 e b appartenente a R derivabile nel suo dominio.

sapreste risolverlo e spiegarmi brevemente il metodo standard di risoluzione per questi esercizi?

ci aggiungio anche sto limite:

lim sqrt(x*cos(1/x))*sin(1/sqrt(x))
x->+inf

ringraziamenti anticipati[8D]


-Jaco-

[fireball1]

Per il limite, si può procedere eseguendo una sostituzione di variabile.
Ponendo 1/x = t, da cui x = 1/t, si ottiene che quando x tende a +inf, t tende a 0+
Quindi il limite si può riscrivere così:

[fireball1]

La funzione è definita così:

f(x)= ( log(1+ax) per -1/a<x<=0
      ( 2b+x      per x>0

Affinché la funzione sia continua in tutto il suo dominio (l'unico
punto di discontinuità sembrerebbe essere x = 0), si deve
verificare che lim[x->0+] (2b+x) = lim[x->0-] log(1 + ax),
quindi che 2b = 0 ==> b = 0.

[Camillo]

Se poi si vuole che sia anche derivabile calcoliamo la derivata della funzione :
per x <=0 : a/(1+ax)e quindi per x =0 la derivata vale : a.
per x > 0 : 1.
deve allora essere a=1.
Camillo

[-Jaco-1]

grazie a tutti