Esercizi limiti di funzioni
ragazzi ho qualche difficoltà con due limiti
1- $ lim_(x -> 0) (2cos(e^x-1)+sin(x^2+x^3)-2)/x^4 $
questo mi viene $ -1/4$ semplicemente usando taylor solo che disegnando la funzione non mi trovo
la funzione sembra passi per $-1/2$ ma poi ingrandendo esplode e non ho idea di cosa faccia quindi
qualcuno si trova col mio risultato?
2- $ lim_(x -> +oo) (2^(1/x^2))sqrt(x^4+x-1)-x^2 $
questo non ho proprio idea di come farlo perche non posso razionalizzare, taylor mi creerebbe un casino visto che c'è $ a^x$ e non vedo limiti notevoli
cosa mi consigliate in questi casi??
grazie
1- $ lim_(x -> 0) (2cos(e^x-1)+sin(x^2+x^3)-2)/x^4 $
questo mi viene $ -1/4$ semplicemente usando taylor solo che disegnando la funzione non mi trovo
la funzione sembra passi per $-1/2$ ma poi ingrandendo esplode e non ho idea di cosa faccia quindi
qualcuno si trova col mio risultato?
2- $ lim_(x -> +oo) (2^(1/x^2))sqrt(x^4+x-1)-x^2 $
questo non ho proprio idea di come farlo perche non posso razionalizzare, taylor mi creerebbe un casino visto che c'è $ a^x$ e non vedo limiti notevoli
cosa mi consigliate in questi casi??
grazie
Risposte
Dato che $lim_(x->+oo)[2^(1/x^2)]=1$, puoi concentrarti su $lim_(x->+oo)[sqrt(x^4+x-1)-x^2]$.
no scusami, ho sbagliato io a scrivere la traccia, è
$ lim_(x -> +oo) (2^(1/x^2))sqrt(x^4+x-1)-x^2 $
la F.I. è del tipo $oo-oo$
$ lim_(x -> +oo) (2^(1/x^2))sqrt(x^4+x-1)-x^2 $
la F.I. è del tipo $oo-oo$
Io svilupperei. Il fatto che tu abbia $[2^(1/x^2)]$ non è un problema.
ciao, premetto che con taylor non sono un granchè ma ho provato lo stesso a risolvere il tuo primo limite e mi viene -5/6... possibile? 
Per il primo:
$\cos(e^x-1)=\cos(x+x^2/2+x^3/6+x^4/{24}+o(x^4))=1-1/2(x+x^2/2+x^3/6+x^4/{24}+o(x^4))^2+$
$+1/{24}(x+x^2/2+x^3/6+x^4/{24}+o(x^4))^4+o[(x+x^2/2+x^3/6+x^4/{24}+o(x^4))^4]=$
$=1-1/2(x^2+x^4/4+x^3+x^4/3+o(x^4))+1/{24} (x^4+o(x^4))+o(x^4)=1-x^2/2-x^3/2-x^4/4+o(x^4)$
$\sin(x^2+x^3)=x^2+x^3-1/6(x^2+x^3)^3+o((x^2+x^3)^3)=x^2+x^3+o(x^4)$
e quindi
$\lim_{x\to 0}\frac{2-x^2-x^3-x^4/2+x^2+x^3-2+o(x^4)}{x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{-x^4/2}{x^4}=-1/2$
$\cos(e^x-1)=\cos(x+x^2/2+x^3/6+x^4/{24}+o(x^4))=1-1/2(x+x^2/2+x^3/6+x^4/{24}+o(x^4))^2+$
$+1/{24}(x+x^2/2+x^3/6+x^4/{24}+o(x^4))^4+o[(x+x^2/2+x^3/6+x^4/{24}+o(x^4))^4]=$
$=1-1/2(x^2+x^4/4+x^3+x^4/3+o(x^4))+1/{24} (x^4+o(x^4))+o(x^4)=1-x^2/2-x^3/2-x^4/4+o(x^4)$
$\sin(x^2+x^3)=x^2+x^3-1/6(x^2+x^3)^3+o((x^2+x^3)^3)=x^2+x^3+o(x^4)$
e quindi
$\lim_{x\to 0}\frac{2-x^2-x^3-x^4/2+x^2+x^3-2+o(x^4)}{x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{-x^4/2}{x^4}=-1/2$
grazie il primo adesso mi trovo, il secondo invece so solo che deve venire $ log(2) $ ma non riesco a farlo
grazie per lo svolgimento ho capito dove sbaglio, mi fermo troppo presto nello sviluppo di e^x! 
Per il secondo: se antirazionalizzi con $\sqrt{x^4+x-1}+x^2$ si ha
$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^4+x-1-x^4}{\sqrt{x^4+x-1}+x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-1}{\sqrt{x^4}+x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2x^2}=0$.
Pertanto il limite fa zero.
E a questo punto mi sorge un dubbio: se sei sicuro che il limite valga $\log(2)$ credo che tutta quella roba con le radici vada messa da un altra parte (tipo ad esponente?) Ricontrolla un po' la forma esatta di questo limite, perché quello che hai scritto nel primo post ha come limite zero (e non ci sono dubbi al riguardo).
$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^4+x-1-x^4}{\sqrt{x^4+x-1}+x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-1}{\sqrt{x^4}+x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2x^2}=0$.
Pertanto il limite fa zero.
E a questo punto mi sorge un dubbio: se sei sicuro che il limite valga $\log(2)$ credo che tutta quella roba con le radici vada messa da un altra parte (tipo ad esponente?) Ricontrolla un po' la forma esatta di questo limite, perché quello che hai scritto nel primo post ha come limite zero (e non ci sono dubbi al riguardo).
ah ecco
mi ero corretto nel secondo messaggio
avevo sbagliato a scrivere
cmq il limite è questo
$ lim_(x -> +oo) (2^(1/x^2))sqrt(x^4+x-1)-x^2 $
e deve fare $log2$
mi ero corretto nel secondo messaggio
avevo sbagliato a scrivere
cmq il limite è questo
$ lim_(x -> +oo) (2^(1/x^2))sqrt(x^4+x-1)-x^2 $
e deve fare $log2$
$2^(t^2) = e^( t^2 * log(2)) = 1 + log(2) * t^2 + o(t^2)$
Quindi:
$lim_(x -> +oo) (1 + log(2) * (1/x^2) + o(1/x^2) ) sqrt( x^4 + x - 1 ) - x^2 = $
$lim_(x -> +oo) sqrt( x^4 + x - 1 ) + log(2) * sqrt( 1 + 1/x^3 - 1/x^4 ) - x^2 + o(1/x^2) * sqrt( x^4 + x - 1 ) = $
$lim_(x -> +oo) sqrt( x^4 + x - 1 ) - x^2 + log(2) * sqrt( 1 + 1/x^3 - 1/x^4 ) + o(1/x^2) * sqrt( x^4 + x - 1 )$
Antirazionalizzando come ti ha suggerito Ciampax trovi che:
$sqrt( x^4 + x - 1 ) - x^2 -> 0$
e inoltre $ log(2) * sqrt( 1 + 1/x^3 - 1/x^4 ) -> log(2)$ , $o(1/x^2) * sqrt( x^4 + x - 1 ) -> 0$ per $x -> +oo$...
Quindi:
$lim_(x -> +oo) (1 + log(2) * (1/x^2) + o(1/x^2) ) sqrt( x^4 + x - 1 ) - x^2 = $
$lim_(x -> +oo) sqrt( x^4 + x - 1 ) + log(2) * sqrt( 1 + 1/x^3 - 1/x^4 ) - x^2 + o(1/x^2) * sqrt( x^4 + x - 1 ) = $
$lim_(x -> +oo) sqrt( x^4 + x - 1 ) - x^2 + log(2) * sqrt( 1 + 1/x^3 - 1/x^4 ) + o(1/x^2) * sqrt( x^4 + x - 1 )$
Antirazionalizzando come ti ha suggerito Ciampax trovi che:
$sqrt( x^4 + x - 1 ) - x^2 -> 0$
e inoltre $ log(2) * sqrt( 1 + 1/x^3 - 1/x^4 ) -> log(2)$ , $o(1/x^2) * sqrt( x^4 + x - 1 ) -> 0$ per $x -> +oo$...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo