Esercizi limiti

[gia979]

Ciao a tutti,
sono un nuovo utente e avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere questi limiti:

1) $lim_(x->0)x(sen(1/x)-1/(sen(x)))$

2) $lim_(x->0)(\pi^x-3^x)/x$

3) $lim_(x->+infty)(1+1/(2sqrtx))^sqrtx
spero possiate aiutarmi,
grazie mille

[Seneca1]

Come hai tentato di risolverli tu?

[gia979]

1) per prima cosa ho moltiplicato $lim_(x->0)(xsen(1/x)-x/(sen(x)))
nella prima parte ho sostituito $t=1/x$ mentre la seconda parte l'ho risolta col limite notevole
il problema è che non so se posso risolverli separatamente

[Seneca1]

"gia979":1) per prima cosa ho moltiplicato $lim_(x->0)(xsen(1/x)-x/(sen(x)))
nella prima parte ho sostituito $t=1/x$ mentre la seconda parte l'ho risolta col limite notevole
il problema è che non so se posso risolverli separatamente

Mi sembra sbagliato. Da dove viene fuori quel $x/sin(x)$?

Ad ogni modo hai provato a controllare se si tratta di una forma indeterminata?

[gia979]

il secondo non ho assolutamente idea di come si risolva e il terzo l'ho risolto col limite notevole $lim_(x->+infty)(1+1/x)^x$

[gia979]

scusami ho sbagliato a scrivere il testo, quello corretto è:

1) $lim_(x->0)x(sen(1/x)-1/(sen(x)))$

[gia979]

qualcuno mi potrebbe dare una mano per favore?

[Seneca1]

Osserva che, $AA x in RR - { 0 }$:

$ -1 <= sin(1/x) <= 1$

quindi, moltiplicando per $|x|$:

$ - |x| <= |x| * sin(1/x) <= |x|$

Applicando il teorema del confronto è evidente che $x * sin(1/x) -> 0$ per $x -> 0$.

[*v.tondi]

Un piccolo accorgimento sul terzo limite, prova a moltiplicare e dividere l'esponente per il fattore $2$ e ottieni un limite notevole molto utilizzato.
Ciao.

[Seneca1]

E nel secondo limite, somma e sottrai $1$ al numeratore. Otterrai due limiti notevoli.

[gia979]

eccezionali..grazie mille a tutti!!!