Esercizi integrali con i residui
Salve a tutti, ho dei problemi con la risoluzione di due integrali mediante l'uso dei residui.
Scrivo gli esercizi e la strada che ho provato a seguire per risolverli illustrando durante lo svolgimento i miei dubbi. Mi scuso anticipatamente per la lunghezza del post e faccio subito notare che i problemi che emergono nei 2 esercizi sono in pratica gli stessi, quindi per me andrebbe benissimo anche se mi spiegate uno solo dei due esercizi.
ESERCIZIO NUMERO UNO:
$\int_0^oo(ln(x)dx)/((x^2-1)sqrt(x))$
Svoglimento:
Considero l'estensione della funzione integranda al piano complesso, ovvero $f(z)=ln(z)/((z^2-1)sqrt(z))$ e il suo integrale sulla curva $\Gamma$ che è parametrizzata nel seguente modo:
$L_1:z(t)=t text( con ) t in [\epsilon,R]$
$\c:z(t)=Re^(it) text( con ) t in [0,2pi]$
$L_2:z(t)=t text( con ) t in [R,\epsilon]$
$\C:z(t)=\epsilone^(it) text( con ) t in [2pi,0]$
Dal teorema dei residui si ha: $\int_\Gammaf(z)dz=2piiRes(f(z))\|_(z=-1)=-pii$
D'altra parte si ha: $\int_\Gammaf(z)dz=int_(L_1)f(z)dz+\int_(\c)f(z)dz+\int_(L_2)f(z)dz+\int_(\C)f(z)dz$
Si dimostra che nel limite $\epsilon\rarr0 text(,) R\rarroo$ si ha: $int_(\c)f(z)dz=int_(\C)f(z)dz=0$
Notiamo che sull'asse reale positivo vale
$f(x+i0)=ln(x)/((x^2-1)sqrt(x))$
$f(x-i0)=-ln(x)/((x^2-1)sqrt(x))-(2pii)/((x^2-1)sqrt(x))$
Quindi in base a quanto detto possiamo scrivere:
$int_\Gammaf(z)dz=2int_0^ooln(x)/((x^2-1)sqrt(x))dx+\int_0^oo(2piidx)/((x^2-1)sqrt(x))$
Domanda 1:Per poter per concludere l'esercizio devo calcolare l'ultimo integrale che ho scritto, ma questo non converge! Devo allora considerare il suo valore principale?
Ammesso e non concesso che sia così ho dei dubbi anche sul calcolo del valore principale, infattI:
Definiamo intanto $g(z)=1/(sqrt(z)(z^2-1))$. Per il calcolo di $V.P\int_0^oodx/(sqrt(x)(x^2_1))$ coonsidero l'integrale di $g(z)$ su un circuito (che chiamerò $\Gamma^{\prime}$) che si distingue da quello precedente solo per la presenza di 2 semicirconnferenze centrate entrambi in x=1. Cioè ho deformato i segmenti $L_1$ e $L_1$ in modo da evitare il polo in x=1. Nello specifico le parametrizzazione delle 2 circonferenze sono:
$c^+: z(t)=1+\epsilone^(i\theta) text( con ) t in [pi,0]$
$c^-$ $:z(t)=1+\epsilon$ $e^(i\theta) text( con ) t in [0,-pi]$
Procedendo in maniera analoga a quanto fatto prima si ha:
$2piiResg(z)|_(z=-1)=int_(Gamma^{\prime})g(z)dz=2V.P int_0^oog(z)dz+int_(c^+)g(z)dz+int_(c^-)g(z)dz$
Domanda 2: Il modo in cui calcolo gli ultimi 2 integrali è corretto?
Uso il teorema che ci dicie che se $z_i$ è un polo semplice allora l'integale su una semicirconferenza centrata in $z=z_i$ (percorsa in senso antioraio) è pari $pii*Resg(z)|_(z=z_i)$ inoltre tentendo conto che $g(x+i0^+)=-g(x+-i0^-)$ e che entrambe le cironferenze sono percorse in senso antioriario allora:
$int_(c^+)g(z)dz+int_(c^-)g(z)dz=0$
( Chiedo di dare una risposta a questa domanda anche nel caso che il calcolo del valore principale non sia la strada da seguire per svolgere l'integrale iniziale)
ESERCIZIO NUMERO DUE:
$I=int_0^oo(xdx)/sinh(pix)$
Svolgimento:
Iniziamo con una manipolazione ("di analisi 1") per poter ottenere un risultato che si gestisce meglio:
$int_0^oo(xdx)/sinh(pix)=1/2int_(-oo)^oo(xdx)/sinh(pix)=int_(-oo)^oo(xdx)/(e^(pix)-e^(-pix))$
Facciamo il cambiamento di variabile $e^(\pix)=t \rarr x=ln(t)/\pi \rarr dx=dt/(t\pi)$
Quindi abbiamo $I=1/pi^2\int_0^oo(ln(t)dt)/(t^2-1)$
Consideriamo l'estensione al piano complesso della funzione integranda $h(z)=ln(z)/(z^2-1)$ e il suo integrale sula curva $Gamma_1$ che è parametrizzata nella seguente maniera:
$L_1:z(t)=t text( con ) t in [-R,-1-\epsilon]$
$c:z(t)=-1+\epsilone^(it) text( con ) t in [pi,0]$
$L_2:z(t)=t text( con ) t in [-1+\epsilon, 0]$
$L:z(t)=t text( con ) t in [0,R]$
$C:z(t)=Re^(it) texte( con ) t in [0,pi]$
Dato che, come prima, vogliamo sfruttare il fatto che l'integrale di $h(z)$ su $\Gamma_1$ è uguale alla somma degli integrali di $h(z)$ sulle curve appena scritte e conveniente fare le seguenti osservazioni:
a) $Gamma_1$ non contiene nessun polo quindi $\int_(Gamma_1)h(z)dz=0$.
b)Si dimostra che $\int_(C)h(z)dz=0$
c)$\int_ch(z)dz=-piiResh(z)|_(z=-1)=-pi^2/2$
d) $h(x+i0^+)=ln(|x|)/(x^2-1) text( per ) x>0 \rArr \int_Lh(z)dz=\int_0^oo (ln(t)dt)/(t^2-1)=I$
e) $h(x+i0)=ln(|x|)/(x^2-1) +(ipi)/(x^2-1) text( per ) x<0 \rArr
\int_(L_1)h(z)dz+\int_(L_2)h(z)dz=V.P.\int_0^oo(ln|x|dx)/(x^2-1)+ ipiV.P\int_0^oo(dx)/(x^2-1)=\int_0^oo(ln|x|dx)/(x^2-1)+ ipiV.P\int_0^oo(dx)/(x^2-1)$
Domanda 3: L'ultima ugualianza che ho scritto è giusta? cioè se un integrale non diverge $V.P\int=int$?
Domanda 4: Non sono sicuro del metodo usato per il calcolo del valore principale. Io ho fatto cosi:
Definiamo $u(z)=1/(z^2-1)$ e consideriamo $V.P\int_0^oo u(x)dx=1/2V.P\int_-oo^oo u(x)dx$. Per calcolare quest'integrale considero un circuito (che chiamerò $\Gamma_1^{\prime}$) e che si differienza da $\Gamma_1$ per una semicirconferenza centrata in $x=1$. Cioè ho deformato il segmento L per evitare la singolarita in $x=1$.Nello specifico le parametrizzazione della semicirconferenza è:
$c^+: z(t)=1+\epsilon^+e^(i\theta) text( con ) t in [pi,0]$
All'interno di $\Gamma_1^{\prime}$ non c'è nessun polo, quindi:
$\int_(Gamma^{\prime})u(z)dz=0$
Per calcolare l'integrale di $u(z)$ su le 2 circonferenze centrate in $-1$ e $1$ uso il teorema citato prima ottenendo che la somma dei due integrali è nulla.
Abbiamo allora che :
$0=\int_(Gamma^{\prime})u(z)dx=V.P\int_(-oo)^(oo)u(z)$
Se tutti i passaggi che ho fatto sono giusti, mettendo insieme i vari pezzi è possibile calcolare il valore dell'integrale iniziale.
In definitiva vi chiedo di controllare gli esercizi e di farmi notare gli eventuali errori.
Vi ringrazio per le eventuali risposte!
Scrivo gli esercizi e la strada che ho provato a seguire per risolverli illustrando durante lo svolgimento i miei dubbi. Mi scuso anticipatamente per la lunghezza del post e faccio subito notare che i problemi che emergono nei 2 esercizi sono in pratica gli stessi, quindi per me andrebbe benissimo anche se mi spiegate uno solo dei due esercizi.
ESERCIZIO NUMERO UNO:
$\int_0^oo(ln(x)dx)/((x^2-1)sqrt(x))$
Svoglimento:
Considero l'estensione della funzione integranda al piano complesso, ovvero $f(z)=ln(z)/((z^2-1)sqrt(z))$ e il suo integrale sulla curva $\Gamma$ che è parametrizzata nel seguente modo:
$L_1:z(t)=t text( con ) t in [\epsilon,R]$
$\c:z(t)=Re^(it) text( con ) t in [0,2pi]$
$L_2:z(t)=t text( con ) t in [R,\epsilon]$
$\C:z(t)=\epsilone^(it) text( con ) t in [2pi,0]$
Dal teorema dei residui si ha: $\int_\Gammaf(z)dz=2piiRes(f(z))\|_(z=-1)=-pii$
D'altra parte si ha: $\int_\Gammaf(z)dz=int_(L_1)f(z)dz+\int_(\c)f(z)dz+\int_(L_2)f(z)dz+\int_(\C)f(z)dz$
Si dimostra che nel limite $\epsilon\rarr0 text(,) R\rarroo$ si ha: $int_(\c)f(z)dz=int_(\C)f(z)dz=0$
Notiamo che sull'asse reale positivo vale
$f(x+i0)=ln(x)/((x^2-1)sqrt(x))$
$f(x-i0)=-ln(x)/((x^2-1)sqrt(x))-(2pii)/((x^2-1)sqrt(x))$
Quindi in base a quanto detto possiamo scrivere:
$int_\Gammaf(z)dz=2int_0^ooln(x)/((x^2-1)sqrt(x))dx+\int_0^oo(2piidx)/((x^2-1)sqrt(x))$
Domanda 1:Per poter per concludere l'esercizio devo calcolare l'ultimo integrale che ho scritto, ma questo non converge! Devo allora considerare il suo valore principale?
Ammesso e non concesso che sia così ho dei dubbi anche sul calcolo del valore principale, infattI:
Definiamo intanto $g(z)=1/(sqrt(z)(z^2-1))$. Per il calcolo di $V.P\int_0^oodx/(sqrt(x)(x^2_1))$ coonsidero l'integrale di $g(z)$ su un circuito (che chiamerò $\Gamma^{\prime}$) che si distingue da quello precedente solo per la presenza di 2 semicirconnferenze centrate entrambi in x=1. Cioè ho deformato i segmenti $L_1$ e $L_1$ in modo da evitare il polo in x=1. Nello specifico le parametrizzazione delle 2 circonferenze sono:
$c^+: z(t)=1+\epsilone^(i\theta) text( con ) t in [pi,0]$
$c^-$ $:z(t)=1+\epsilon$ $e^(i\theta) text( con ) t in [0,-pi]$
Procedendo in maniera analoga a quanto fatto prima si ha:
$2piiResg(z)|_(z=-1)=int_(Gamma^{\prime})g(z)dz=2V.P int_0^oog(z)dz+int_(c^+)g(z)dz+int_(c^-)g(z)dz$
Domanda 2: Il modo in cui calcolo gli ultimi 2 integrali è corretto?
Uso il teorema che ci dicie che se $z_i$ è un polo semplice allora l'integale su una semicirconferenza centrata in $z=z_i$ (percorsa in senso antioraio) è pari $pii*Resg(z)|_(z=z_i)$ inoltre tentendo conto che $g(x+i0^+)=-g(x+-i0^-)$ e che entrambe le cironferenze sono percorse in senso antioriario allora:
$int_(c^+)g(z)dz+int_(c^-)g(z)dz=0$
( Chiedo di dare una risposta a questa domanda anche nel caso che il calcolo del valore principale non sia la strada da seguire per svolgere l'integrale iniziale)
ESERCIZIO NUMERO DUE:
$I=int_0^oo(xdx)/sinh(pix)$
Svolgimento:
Iniziamo con una manipolazione ("di analisi 1") per poter ottenere un risultato che si gestisce meglio:
$int_0^oo(xdx)/sinh(pix)=1/2int_(-oo)^oo(xdx)/sinh(pix)=int_(-oo)^oo(xdx)/(e^(pix)-e^(-pix))$
Facciamo il cambiamento di variabile $e^(\pix)=t \rarr x=ln(t)/\pi \rarr dx=dt/(t\pi)$
Quindi abbiamo $I=1/pi^2\int_0^oo(ln(t)dt)/(t^2-1)$
Consideriamo l'estensione al piano complesso della funzione integranda $h(z)=ln(z)/(z^2-1)$ e il suo integrale sula curva $Gamma_1$ che è parametrizzata nella seguente maniera:
$L_1:z(t)=t text( con ) t in [-R,-1-\epsilon]$
$c:z(t)=-1+\epsilone^(it) text( con ) t in [pi,0]$
$L_2:z(t)=t text( con ) t in [-1+\epsilon, 0]$
$L:z(t)=t text( con ) t in [0,R]$
$C:z(t)=Re^(it) texte( con ) t in [0,pi]$
Dato che, come prima, vogliamo sfruttare il fatto che l'integrale di $h(z)$ su $\Gamma_1$ è uguale alla somma degli integrali di $h(z)$ sulle curve appena scritte e conveniente fare le seguenti osservazioni:
a) $Gamma_1$ non contiene nessun polo quindi $\int_(Gamma_1)h(z)dz=0$.
b)Si dimostra che $\int_(C)h(z)dz=0$
c)$\int_ch(z)dz=-piiResh(z)|_(z=-1)=-pi^2/2$
d) $h(x+i0^+)=ln(|x|)/(x^2-1) text( per ) x>0 \rArr \int_Lh(z)dz=\int_0^oo (ln(t)dt)/(t^2-1)=I$
e) $h(x+i0)=ln(|x|)/(x^2-1) +(ipi)/(x^2-1) text( per ) x<0 \rArr
\int_(L_1)h(z)dz+\int_(L_2)h(z)dz=V.P.\int_0^oo(ln|x|dx)/(x^2-1)+ ipiV.P\int_0^oo(dx)/(x^2-1)=\int_0^oo(ln|x|dx)/(x^2-1)+ ipiV.P\int_0^oo(dx)/(x^2-1)$
Domanda 3: L'ultima ugualianza che ho scritto è giusta? cioè se un integrale non diverge $V.P\int=int$?
Domanda 4: Non sono sicuro del metodo usato per il calcolo del valore principale. Io ho fatto cosi:
Definiamo $u(z)=1/(z^2-1)$ e consideriamo $V.P\int_0^oo u(x)dx=1/2V.P\int_-oo^oo u(x)dx$. Per calcolare quest'integrale considero un circuito (che chiamerò $\Gamma_1^{\prime}$) e che si differienza da $\Gamma_1$ per una semicirconferenza centrata in $x=1$. Cioè ho deformato il segmento L per evitare la singolarita in $x=1$.Nello specifico le parametrizzazione della semicirconferenza è:
$c^+: z(t)=1+\epsilon^+e^(i\theta) text( con ) t in [pi,0]$
All'interno di $\Gamma_1^{\prime}$ non c'è nessun polo, quindi:
$\int_(Gamma^{\prime})u(z)dz=0$
Per calcolare l'integrale di $u(z)$ su le 2 circonferenze centrate in $-1$ e $1$ uso il teorema citato prima ottenendo che la somma dei due integrali è nulla.
Abbiamo allora che :
$0=\int_(Gamma^{\prime})u(z)dx=V.P\int_(-oo)^(oo)u(z)$
Se tutti i passaggi che ho fatto sono giusti, mettendo insieme i vari pezzi è possibile calcolare il valore dell'integrale iniziale.
In definitiva vi chiedo di controllare gli esercizi e di farmi notare gli eventuali errori.
Vi ringrazio per le eventuali risposte!
Risposte
A proposito del primo esercizio, hai senz'altro ragione nel volerlo calcolare nel senso del valore principale. Condivido in tutto e per tutto il tuo procedimento, anche se non capisco perchè tu abbia orientato le due semicirconfernze centrate in $1$ in senso antiorario. Le mie sono orientate in senso orario, la somma dei due integrali sarebbe comunque zero. In ogni modo, meglio avere una conferma. Hai la soluzione?
Intanto grazie mille per la risposta! E' un sollievo sapere che tu condivida il procedimento, perchè ho un po' improvvisato e non ero sicuro! Comunque no, non ho la soluzione, l'ho preso da un compito di esame. Il motivo per cui ho orientato le circonferenze in verso orario, perchè è il verso che (secondo me) ottieni se prendi il segmento $L_1$ e lo deformi in modo da scavalcare la singolarità restando nel semipiano superiore $Im(z)>0$, e analogamente è il verso che ottieni se deformi il segmento $L_2$ in modo da scavalcare la singolarità nel semipiano inferiore $Im(z)<0$!
"gordnbrn":
Le mie sono orientate in senso orario.
Non ho capito, le tue sono orientate in senso orario o in senso antiorario?
Scusami se ho frainteso. Anche le mie sono orientate in senso orario! Non so quanto sia chiaro la scrittura $z(t)=\epsilone^(it)$ con $ t in [pi,0]$
Bene, allora siamo d'accordo anche su questo. Per aver improvvisato, sei stato davvero bravo. Se posso darti un consiglio, eviterei di scrivere le parametrizzazioni come $[1,-2]$. Non ho controllato il calcolo dei residui. Domani controllo i conti e riguardo per bene i teoremi utilizzati. 
Grazie, e cmq si so che dovrei evitare quelle le parametrizzazioni "al contrartio" (anche all'orale di analisi 2, parmaetrizzai in quel modo e la professoressa non gradì molto), ma a me torna bene in quel modo, almeno mi incasino meno con gli estremi di integrazione. Comunque nel compito vedro di parametrizzare nel verso giusto! Per i conti, dovrebbero essere più o meno giusti, ma non ci metterei la mano sul fuoco, ricontrollerò anche io! 
Ho fatto i calcoli e controllato attentamente il procedimento. Intanto:
$Res[lnz/((z^2-1)sqrtz),-1]=-pi/2$
Probabilmente solo una svista. Si ottiene quindi la seguente equazione:
$2\int_0^(+oo)lnx/((x^2-1)sqrtx)dx+2piiV.P.\int_0^(+oo)1/((x^2-1)sqrtx)dx=-pi^2i$
Avresti dovuto notare che qualcosa non tornava: essendo gli integrali ovviamente reali, l'equazione appena scritta risulta manifestamente impossibile. Deve esserci un errore nel procedimento, colpevolmente non me ne ero accorto. A mia parziale discolpa, quando ho visto la curva che avevi impostato, sono subito andato a vedere il comportamento della funzione nel punto $z=1$, visto che non avevi ritenuto necessario evitarlo. Purtroppo ho controllato solo il semipiano superiore, dove in effetti la funzione è regolare, dimenticando che avrei potuto avere dei problemi in quello inferiore. Dopo aver fatto un giro, il logaritmo sviluppa una parte diversa da zero che genera un polo. La morale è che bisogna evitare il punto $z=1$ nel semipiano inferiore modificando la curva nel modo che dovresti già sapere. A questo punto, a primo membro dell'equazione è necessario considerare un nuovo termine derivante dalla metà del residuo della funzione di partenza, attenzione ai segni:
$2\int_0^(+oo)lnx/((x^2-1)sqrtx)dx+2piiV.P.\int_0^(+oo)1/((x^2-1)sqrtx)dx-pi^2=-pi^2i$
Bene, non rimane che calcolare quel valore principale:
$V.P.\int_0^(+oo)1/((x^2-1)sqrtx)dx=-pi/2$
e sostiuire:
$2\int_0^(+oo)lnx/((x^2-1)sqrtx)dx-pi^2i-pi^2=-pi^2i -> \int_0^(+oo)lnx/((x^2-1)sqrtx)dx=pi^2/2$
Di buon auspicio la cancellazione delle parti immaginarie. Osservando che la funzione è ovunque positiva nel suo dominio, di buon auspicio anche Il fatto che il risultato sia positivo. Sulla correttezza del procedimento, quasi ci metterei la mano destra sul fuoco.
P.S.
Se vuoi ti controllo anche il secondo.
$Res[lnz/((z^2-1)sqrtz),-1]=-pi/2$
Probabilmente solo una svista. Si ottiene quindi la seguente equazione:
$2\int_0^(+oo)lnx/((x^2-1)sqrtx)dx+2piiV.P.\int_0^(+oo)1/((x^2-1)sqrtx)dx=-pi^2i$
Avresti dovuto notare che qualcosa non tornava: essendo gli integrali ovviamente reali, l'equazione appena scritta risulta manifestamente impossibile. Deve esserci un errore nel procedimento, colpevolmente non me ne ero accorto. A mia parziale discolpa, quando ho visto la curva che avevi impostato, sono subito andato a vedere il comportamento della funzione nel punto $z=1$, visto che non avevi ritenuto necessario evitarlo. Purtroppo ho controllato solo il semipiano superiore, dove in effetti la funzione è regolare, dimenticando che avrei potuto avere dei problemi in quello inferiore. Dopo aver fatto un giro, il logaritmo sviluppa una parte diversa da zero che genera un polo. La morale è che bisogna evitare il punto $z=1$ nel semipiano inferiore modificando la curva nel modo che dovresti già sapere. A questo punto, a primo membro dell'equazione è necessario considerare un nuovo termine derivante dalla metà del residuo della funzione di partenza, attenzione ai segni:
$2\int_0^(+oo)lnx/((x^2-1)sqrtx)dx+2piiV.P.\int_0^(+oo)1/((x^2-1)sqrtx)dx-pi^2=-pi^2i$
Bene, non rimane che calcolare quel valore principale:
$V.P.\int_0^(+oo)1/((x^2-1)sqrtx)dx=-pi/2$
e sostiuire:
$2\int_0^(+oo)lnx/((x^2-1)sqrtx)dx-pi^2i-pi^2=-pi^2i -> \int_0^(+oo)lnx/((x^2-1)sqrtx)dx=pi^2/2$
Di buon auspicio la cancellazione delle parti immaginarie. Osservando che la funzione è ovunque positiva nel suo dominio, di buon auspicio anche Il fatto che il risultato sia positivo. Sulla correttezza del procedimento, quasi ci metterei la mano destra sul fuoco.
P.S.
Se vuoi ti controllo anche il secondo.
Concordo perfettamente con quanto dici, ieri sera infatti mentre ricontrollavo tutto per fissare le idee, mi è sorto qualche dubbio risolvendolo nello stesso modo che hai fatto tu, però visto che era molto tardi non sono riuscito a scriverlo. Per quanto riguarda il secondo esercizio, c'erano degli errori, ma adesso ho modificato il messaggio ed, (escluso errorri di trascrizione), dovrebbe tornare tutto, quindi non importa che tu ci perda altro temp! Ti ringrazio di cuore per il tempo che mi hai dedicato!
Visto che, nel frattempo, ho svolto anche il secondo, posto la sua soluzione. Ho dato un'occhiata al tuo svolgimento. Non sono sicuro che tu l'abbia fatto correttamente, probabilmente solo perchè tendi a formalizzare i passaggi in modo un po' troppo personale.
$\int_(-R)^(-1-\delta)(ln(-x)+pii)/(x^2-1)dx+\int_(-1+\delta)^(-r)(ln(-x)+pii)/(x^2-1)dx+\int_(r)^(R)lnx/(x^2-1)dx-piiRes[lnz/(z^2-1),-1]=0 rarr$
$rarr \int_(1+\delta)^(R)(lnx+pii)/(x^2-1)dx+\int_(r)^(1-\delta)(lnx+pii)/(x^2-1)dx+\int_(r)^(R)lnx/(x^2-1)dx-piiRes[lnz/(z^2-1),-1]=0 rarr$
$rarr 2\int_(0)^(+oo)lnx/(x^2-1)dx+piiV.P.\int_(0)^(+oo)1/(x^2-1)dx-piiRes[lnz/(z^2-1),-1]=0$
Essendo:
$V.P.\int_(0)^(+oo)1/(x^2-1)dx=0$
$Res[lnz/(z^2-1),-1]=-pi/2i$
si ottiene:
$\int_(0)^(+oo)lnx/(x^2-1)dx=pi^2/4 rarr 1/pi^2\int_(0)^(+oo)lnx/(x^2-1)dx=1/4$
$\int_(-R)^(-1-\delta)(ln(-x)+pii)/(x^2-1)dx+\int_(-1+\delta)^(-r)(ln(-x)+pii)/(x^2-1)dx+\int_(r)^(R)lnx/(x^2-1)dx-piiRes[lnz/(z^2-1),-1]=0 rarr$
$rarr \int_(1+\delta)^(R)(lnx+pii)/(x^2-1)dx+\int_(r)^(1-\delta)(lnx+pii)/(x^2-1)dx+\int_(r)^(R)lnx/(x^2-1)dx-piiRes[lnz/(z^2-1),-1]=0 rarr$
$rarr 2\int_(0)^(+oo)lnx/(x^2-1)dx+piiV.P.\int_(0)^(+oo)1/(x^2-1)dx-piiRes[lnz/(z^2-1),-1]=0$
Essendo:
$V.P.\int_(0)^(+oo)1/(x^2-1)dx=0$
$Res[lnz/(z^2-1),-1]=-pi/2i$
si ottiene:
$\int_(0)^(+oo)lnx/(x^2-1)dx=pi^2/4 rarr 1/pi^2\int_(0)^(+oo)lnx/(x^2-1)dx=1/4$
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