Esercizi integrali
Salve a tutti, stavo facendo un po' di esercizi sugli integrali e sto trovando problemi con questi due:
$ int (e^(x+5))/(e^(2x)+9) dx $
ho provato a svolgerlo con il metodo di sostituzione:
$ e^(x+5) = t $ -> $ e^x*e^5 = t $ -> $ e^x = t/e^5 $ -> $ x = logx/5 $ -> $ dx = 1/(5t)dt $
e sostituendo mi ritrovo:
$ int t/((t/e^5)^2+9)*1/(5t)dt $ -> $ 1/45int 1/((t/(3e^5))^2+1)dt $ -> $ (3e^5)/45int (D (t/(3e^5)))/((t/(3e^5))^2+1)dt $
per ottenere $ e^5/9*arctg(t/(3e^5)) $ ovvero $ e^5/9*arctg(e^(x+5)/(3e^5)) $
però la soluzione dovrebbe essere $ -1/3*e^5*tan^-1(3e^-x) $
sapete dirmi dove sbaglio ?
E poi c'è questo che invece non so proprio come svolgerlo:
Grazie in anticipo
$ int (e^(x+5))/(e^(2x)+9) dx $
ho provato a svolgerlo con il metodo di sostituzione:
$ e^(x+5) = t $ -> $ e^x*e^5 = t $ -> $ e^x = t/e^5 $ -> $ x = logx/5 $ -> $ dx = 1/(5t)dt $
e sostituendo mi ritrovo:
$ int t/((t/e^5)^2+9)*1/(5t)dt $ -> $ 1/45int 1/((t/(3e^5))^2+1)dt $ -> $ (3e^5)/45int (D (t/(3e^5)))/((t/(3e^5))^2+1)dt $
per ottenere $ e^5/9*arctg(t/(3e^5)) $ ovvero $ e^5/9*arctg(e^(x+5)/(3e^5)) $
però la soluzione dovrebbe essere $ -1/3*e^5*tan^-1(3e^-x) $
sapete dirmi dove sbaglio ?
E poi c'è questo che invece non so proprio come svolgerlo:
Grazie in anticipo
Risposte
"Sheldor":
Salve a tutti, stavo facendo un po' di esercizi sugli integrali e sto trovando problemi con questi due:
$ int (e^(x+5))/(e^(2x)+9) dx $
ho provato a svolgerlo con il metodo di sostituzione:
$ e^(x+5) = t $ -> $ e^x*e^5 = t $ -> $ e^x = t/e^5 $ -> $ x = logx/5 $ -> $ dx = 1/(5t)dt $
Riguarda la freccina n.3
e sostituendo mi ritrovo:
$ int t/((t/e^5)^2+9)*1/(5t)dt $ -> $ 1/45int 1/((t/(3e^5))^2+1)dt $ -> $ (3e^5)/45int (D (t/(3e^5)))/((t/(3e^5))^2+1)dt $
per ottenere $ e^5/9*arctg(t/(3e^5)) $ ovvero $ e^5/9*arctg(e^(x+5)/(3e^5)) $
però la soluzione dovrebbe essere $ -1/3*e^5*tan^-1(3e^-x) $
sapete dirmi dove sbaglio ?
E poi c'è questo che invece non so proprio come svolgerlo:
$ lim_(x -> 1) (int_(1)^(x) t^3*logt dx )/(1+sin(3/2)pi $
Và fatto con l'Hopital, ma mi fermo dopo un paio di passaggi di derivazione:
$ (x^3logx)/(cos(3/2)pi x*3/2pi $ -> $ (3x^2*logx+x^2*1/x)/(-sin(3/2)pi x*3/2pi *3/2pi $
come proseguo ?
Hai già finito. Sostituisci x=1 e fai i conti attentamente, viene $-4/(9 \pi)$ (c'è un errore nella derivazione)
-> $ x = logx/5 $
"Quinzio":
Riguarda la freccina n.3
viene $ x=logt-loge^5 $ (entrambi con base e ovviamente) giusto ? quindi $ x=logt-5 $ -> $ dx=1/tdt $
se vado a sostituire e ripeto gli stessi passaggi mi viene $ 1/3e^5*arctg*e^x/3 $ ...quindi devo essermi perso un meno da qualche parte.
Và fatto con l'Hopital, ma mi fermo dopo un paio di passaggi di derivazione:
$ (x^3logx)/(cos(3/2)pi x*3/2pi $ -> $ (3x^2*logx+x^2*1/x)/(-sin(3/2)pi x*3/2pi *3/2pi $
come proseguo ?
Hai già finito. Sostituisci x=1 e fai i conti attentamente, viene $-4/(9 \pi)$ (c'è un errore nella derivazione)
Come errore ho visto che ho scritto $ x^2*1/x $ al numeratore, mentre è $ x^3*1/x $. Ma non capisco cosa deve venire al denominatore...ricapitolando:
$ lim_(x -> 1) (int_(1)^(x) t^3*logt dx )/(1+sin(3/2)pi*x $ --> $ (3x^2*logx+x^3*1/x)/(sin(3/2)pi $ e sostituendo x=1 viene -1. No ?
EDIT: Ho visto adesso che avevo dimenticato la x dopo il sin(3/2) $ pi $ nell'integrale con l'Hopital, altrimenti la derivata al denominatore sarebbe venuta 0...
-1
ok, fine.
Il risultato dell'integrale va bene, non va bene il libro, se non altro perchè il risultato deve essere positivo.
ok, fine.
Il risultato dell'integrale va bene, non va bene il libro, se non altro perchè il risultato deve essere positivo.
"Quinzio":
-1
ok, fine.
Il risultato dell'integrale va bene, non va bene il libro, se non altro perchè il risultato deve essere positivo.
Perfetto, grazie mille
Sto facendo altri integrali con l'Hopital visto che almeno uno in esame c'è sempre, ma sto trovando parecchi problemi, ad esempio questo:
$ lim_(x -> 0) (int_(0)^(x) sent^2 dx)/(senx^2) $
se io derivo ottengo $ (senx^2)/(2x*cosx^2) $
ma poi devo continuare a derivare o cerco di ricondurmi a qualche limite notevole ? suggerimenti ?
Continui fino a che hai qualcosa di diverso da $0/0$.
Già se fai un altro passaggio, se arrivato alla fine.
Già se fai un altro passaggio, se arrivato alla fine.
Forse non occorre derivare ancora. Basta scrivere il limite come segue :
$lim_{x->0}({tanx^2}/{x^2} \cdot x/2)=lim_{x->0}{tanx^2}/{x^2} \cdot lim_{x->0}x/2=1\cdot 0=0$
$lim_{x->0}({tanx^2}/{x^2} \cdot x/2)=lim_{x->0}{tanx^2}/{x^2} \cdot lim_{x->0}x/2=1\cdot 0=0$
Scusate se mi intrometto, ma siccome a me piacciono gli integrali, e ogni volta voglio provare a farne uno XD.
Questo mi interessava. Ecco a me viene quasi uguale alla soluzione, solo di segno opposto!
lo faccio con sostituzione $e^x=t\to x=\ln t\to dx=dt/t$
$e^5\int (dt)/(t^2+9)=e^5/9 \int (dt)/((t/3)^2+1)=e^5/3 \int (1/3 dt)/((t/3)^2+1)= e^5/3 \arctan (t/3)+C= e^5/3 \arctan(e^x/3)+C$
Io ho pensato che il risultato fa riferimento alla formula magica dell'arcotangente cioè
$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2$
Perchè il risultato dovrebbe venire con il segno meno, anche wolfram, mette il risultato col segno meno
Questo mi interessava. Ecco a me viene quasi uguale alla soluzione, solo di segno opposto!
"Sheldor":
Salve a tutti, stavo facendo un po' di esercizi sugli integrali e sto trovando problemi con questi due:
$ int (e^(x+5))/(e^(2x)+9) dx $
lo faccio con sostituzione $e^x=t\to x=\ln t\to dx=dt/t$
$e^5\int (dt)/(t^2+9)=e^5/9 \int (dt)/((t/3)^2+1)=e^5/3 \int (1/3 dt)/((t/3)^2+1)= e^5/3 \arctan (t/3)+C= e^5/3 \arctan(e^x/3)+C$
Io ho pensato che il risultato fa riferimento alla formula magica dell'arcotangente cioè
$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2$
Perchè il risultato dovrebbe venire con il segno meno, anche wolfram, mette il risultato col segno meno
"Quinzio":
Continui fino a che hai qualcosa di diverso da $0/0$.
Già se fai un altro passaggio, se arrivato alla fine.
Se faccio un altro passaggio, correggimi se sbaglio, mi esce:
$ (2x*cosx^2)/(2*cosx^2-4x^2*sinx^2) $ che è comunque una forma indeterminata se cerco di risolverla ( e se vado avanti a derivare non ottengo nulla).
"ciromario":
Forse non occorre derivare ancora. Basta scrivere il limite come segue :
$ lim_{x->0}({tanx^2}/{x^2} \cdot x/2)=lim_{x->0}{tanx^2}/{x^2} \cdot lim_{x->0}x/2=1\cdot 0=0 $
Non ho il risultato dell'esercizio, ma se ti riconduci al limite notevole (tanx/x = 1) penso sia giusto...
sto continuando a riprovare ma il risultato di quell'integrale di partenza, mi esce sempre positivo e non capisco il perchè 
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