Esercizi estremi vincolati
Avrei bisogno di conferma per alcuni risultati relativi ad esercizi riguardo la ricerca dei massimi e minimi assoluti relativi ad un certo vincolo.
1)Determinare i punti di minimo e di massimo assoluto della funzione $f(x,y)=4x^2+4y^2-2x-2y+2$ sul triangolo di vertici $A=(0,0) B=(0,1) C=(1,0)$
Svolgimento:
Una volta disegnato il triangolo su un piano cartesiano ho parametrizzato i suoi lati e ho studiato il problema restringendo la funzione ad ogni singola retta, riportando il tutto ad una sola variabile. Le tre rette sono $x=0, y=0, y=-x+1$. Ho confrontato i valori, ricordando di includere anche i vertici del triangolo come candidati ad essere estremi e ho trovato che la funzione ammette: $(0,1) , (1,0)$ come punti di massimo assoluto e $(0,1/4)$ punto di minimo assoluto.
Ringrazio anticipatamente.
1)Determinare i punti di minimo e di massimo assoluto della funzione $f(x,y)=4x^2+4y^2-2x-2y+2$ sul triangolo di vertici $A=(0,0) B=(0,1) C=(1,0)$
Svolgimento:
Una volta disegnato il triangolo su un piano cartesiano ho parametrizzato i suoi lati e ho studiato il problema restringendo la funzione ad ogni singola retta, riportando il tutto ad una sola variabile. Le tre rette sono $x=0, y=0, y=-x+1$. Ho confrontato i valori, ricordando di includere anche i vertici del triangolo come candidati ad essere estremi e ho trovato che la funzione ammette: $(0,1) , (1,0)$ come punti di massimo assoluto e $(0,1/4)$ punto di minimo assoluto.
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
Secondo me c'è qualcosa che non torna...guardando solo i punti stazionari della funzione ottengo $ frac (delf) (delx) (x,y)= 8x - 2 $ e $ frac (delf) (dely) (x,y)= 8y - 2 $ che si annullano contemporaneamente in $ (x,y) = (frac 1 4, frac 1 4) $... vedendolo anche da wolfram (http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2Cy%29%3D4x^2%2B4y^2%E2%88%922x%E2%88%922y%2B2+) si direbbe un paraboloide centrato nel punto indicato. Spero di essere d'aiuto.
Puoi spiegarti meglio?!
Io di solito lo studio degli estremi vincolati quando la frontiera è parametrizzabile facilmente, come in questo caso lo svolgo sempre così. Non mi interessano i punti interni al dominio, voglio solo studiare quelli sulla frontiera. Dal mio studio ho riscontrato che: $f(1,0)=f(0,1)=4 , f(0,1/4)=-1/4$, da cui ho tratto la mia conclusione.
Io di solito lo studio degli estremi vincolati quando la frontiera è parametrizzabile facilmente, come in questo caso lo svolgo sempre così. Non mi interessano i punti interni al dominio, voglio solo studiare quelli sulla frontiera. Dal mio studio ho riscontrato che: $f(1,0)=f(0,1)=4 , f(0,1/4)=-1/4$, da cui ho tratto la mia conclusione.
Ti devo chiedere scusa: ho frainteso l'esercizio completamente. Pardon.
"Lorin":
Ho confrontato i valori, ricordando di includere anche i vertici del triangolo come candidati ad essere estremi e ho trovato che la funzione ammette: $(0,1) , (1,0)$ come punti di massimo assoluto e $(0,1/4)$ punto di minimo assoluto.
I punti di minimo assoluto sono 2, ce ne manca uno all'appello.
Se ci pensi un attimo deve essere così, tenendo conto che la funzione è un paraboloide circolare, e che tutti i punti in gioco sono simmetrici rispetto a $y=x$
Ringrazio anticipatamente.
De nada.
Nel triangolo descritto dai punti, sopra riportati, i punti che ho trovato dallo studio che ho fatto sono:
$(0,1/4) => f(0,1/4)=-1/4$
$(1/4,0) => f(1/4,0)= 7/4$
$(0,0) => f(0,0)=2$
$(1,0) , (0,1) => f(1,0)=f(0,1)=4$
da cui ho tratto le mie conclusioni.
$(0,1/4) => f(0,1/4)=-1/4$
$(1/4,0) => f(1/4,0)= 7/4$
$(0,0) => f(0,0)=2$
$(1,0) , (0,1) => f(1,0)=f(0,1)=4$
da cui ho tratto le mie conclusioni.
Se la $f$ è quella che hai scritto sopra allora $f(1/4,0)=f(0,1/4)$ ed entrambi questi punti sono di minimo assoluto sul triangolo. I due massimi mi sembrano a posto. L'origine ovviamente non è estremante assoluto.
Ops...ho tagliato un 2 dai conti xD
Vi ringrazio per la precisazione
Vi ringrazio per la precisazione
Altro esercizio di cui chiedo conferma...
Determinare gli estremi vincolati di $f(x,y)=y^2-x^2$ sul vincolo $D={(x,y):y<=0, x^2-y^2<=0, x^2-y-4<=0}$
Svolgimento:
Una volta disegnato il grafico, ho dapprima studiato gli eventuali candidati all'interno del dominio e ho trovato come punto solo l'origine $(0,0)$, poi sono passato alla frontiera. Prima cosa da notare, è la simmetria rispetto all'asse delle ordinate, che mi ha permesso di affrontare il mio problema per le $x in [0,+oo)$; poi data la forma del vincolo ho preferito riscriverlo come unione di due curve, cioè $\partialD= \gamma_1 uu \gamma_2$, con:
$\gamma_1={(x,-x): x in [0,\alpha]}$, $\gamma_2={(x,x^2-4): x in [0,\alpha]}$
con $\alpha$ punto di intersezione tra $\gamma_1$ e $\gamma_2$.
Quando studio la funzione su $\gamma_1$ noto che $f(x,-x)=0 AAx in [0,\alpha]$; quando la studio su $\gamma_2$, i miei calcoli mi portano a trovare due possibili candidati $A=(0,-4) , B=(9/2,65/4)$, il secondo punto lo escludo in quanto non appartiene alla frontiera. A questo punto ho calcolato $f(0,-4)=16$ e posso concludere che questo è il punto di massimo assoluto. Mentre tutti i punti di $y=-x$ sono punti di minimo assoluto (stesso discorso va fatto dall'altra parte per simmetria).
Grazie.
Determinare gli estremi vincolati di $f(x,y)=y^2-x^2$ sul vincolo $D={(x,y):y<=0, x^2-y^2<=0, x^2-y-4<=0}$
Svolgimento:
Una volta disegnato il grafico, ho dapprima studiato gli eventuali candidati all'interno del dominio e ho trovato come punto solo l'origine $(0,0)$, poi sono passato alla frontiera. Prima cosa da notare, è la simmetria rispetto all'asse delle ordinate, che mi ha permesso di affrontare il mio problema per le $x in [0,+oo)$; poi data la forma del vincolo ho preferito riscriverlo come unione di due curve, cioè $\partialD= \gamma_1 uu \gamma_2$, con:
$\gamma_1={(x,-x): x in [0,\alpha]}$, $\gamma_2={(x,x^2-4): x in [0,\alpha]}$
con $\alpha$ punto di intersezione tra $\gamma_1$ e $\gamma_2$.
Quando studio la funzione su $\gamma_1$ noto che $f(x,-x)=0 AAx in [0,\alpha]$; quando la studio su $\gamma_2$, i miei calcoli mi portano a trovare due possibili candidati $A=(0,-4) , B=(9/2,65/4)$, il secondo punto lo escludo in quanto non appartiene alla frontiera. A questo punto ho calcolato $f(0,-4)=16$ e posso concludere che questo è il punto di massimo assoluto. Mentre tutti i punti di $y=-x$ sono punti di minimo assoluto (stesso discorso va fatto dall'altra parte per simmetria).
Grazie.
A me sembra tutto giusto!
A parte il fatto che se consideri l'altro semiasse devi cambiare $gamma_1$ togliendo il segno $-$.
A parte il fatto che se consideri l'altro semiasse devi cambiare $gamma_1$ togliendo il segno $-$.
Ti ringrazio ancora una volta!
Eccone pronto subito un altro:
Determinare gli estremi vincolati di $f(x,y)=x^2-2x+y^2$ sul vincolo $D={(x,y): x^2/4+y^2<=1}$
Svolgimento:
Ho utilizzato, giusto per cambiare metodo, i moltiplicatori di Lagrange, perché con la parametrizzazione mi risultava abbastanza semplice. Nei punti interi al dominio ho trovato come unico candidato il punto $H=(1,0)$. Sulla frontiera scriviamo la lagrangiana e dopo aver fatto tutti i calcoli ottengo come punti $A=(2,0),B=(-2,0),C=(4/3,sqrt(5)/3),D=(4/3,-sqrt(5)/3)$. Poi visto che nei calcoli non li trovavo ho incluso anche $E=(0,1),F=(0-1)$ che sono in un certo senso due dei "vertici" dell'ellisse. Ho confrontato le varie immagini della funzione e ho concluso che:
H punto di minimo assoluto; E ed F sono massimi assoluti.
Grazie ancora!
Determinare gli estremi vincolati di $f(x,y)=x^2-2x+y^2$ sul vincolo $D={(x,y): x^2/4+y^2<=1}$
Svolgimento:
Ho utilizzato, giusto per cambiare metodo, i moltiplicatori di Lagrange, perché con la parametrizzazione mi risultava abbastanza semplice. Nei punti interi al dominio ho trovato come unico candidato il punto $H=(1,0)$. Sulla frontiera scriviamo la lagrangiana e dopo aver fatto tutti i calcoli ottengo come punti $A=(2,0),B=(-2,0),C=(4/3,sqrt(5)/3),D=(4/3,-sqrt(5)/3)$. Poi visto che nei calcoli non li trovavo ho incluso anche $E=(0,1),F=(0-1)$ che sono in un certo senso due dei "vertici" dell'ellisse. Ho confrontato le varie immagini della funzione e ho concluso che:
H punto di minimo assoluto; E ed F sono massimi assoluti.
Grazie ancora!
Lorin, ma lo sai che quel vincolo non esiste???
Errore mio scusami...nella fretta di scrivere...il vincolo era $x^2/4+y^2<=1$ Pardon...adesso correggo anche sopra!
Ne ho calcolato le immagini tramite f, e ottengo questi risultati:
$f(4/3,sqrt(5)/3)=16/9-8/3+5/9=-1/3$
mentre: $f(1,0)=1-2+0=-1$
$f(4/3,sqrt(5)/3)=16/9-8/3+5/9=-1/3$
mentre: $f(1,0)=1-2+0=-1$
Ecco, appunto: mi sembra che si abbia $H$ minimo assoluto; $C,\ D$ minimi relativi,; $A$ massimo relativo e $B$ massimo assoluto. Guarda che i vertici lungo l'asse $y$ dell'ellisse non servono a niente: sono i vertici lungo l'asse $x$ quelli utili. Se risolvi parametrizzando l'ellisse diventa più immediato.
"ciampax":
Ecco, appunto: mi sembra che si abbia $H$ minimo assoluto; $C,\ D$ minimi relativi,; $A$ massimo relativo e $B$ massimo assoluto. Guarda che i vertici lungo l'asse $y$ dell'ellisse non servono a niente: sono i vertici lungo l'asse $x$ quelli utili. Se risolvi parametrizzando l'ellisse diventa più immediato.
Allora sulla questione H minimo assoluto, C e D minimi relativi ci siamo. Allo stesso modo, ricontrollando i calcoli mi trovo anche con A massimo relativo e B massimo assoluto. L'unica cosa che ti volevo chiedere è: non devo considerare i vertici lungo l'asse delle ordinate perchè durante lo studio della lagrangiana già sono inclusi? Cioè se non li trovo con quel metodo, è inutile che li prendo separatamente e ne calcolo le immagini tramite f?
Per la questione della parametrizzazione hai ragione, ma nell'esercizio mi viene chiesto esplicitamente di utilizzare questo metodo.
Esatto, è inutile scegliere punti in più: il metodo dei moltiplicatori fornisce gli unici punti che, eventualmente, siano estremali. Se verifichi con la parametrizzazione ti accorgi che effettivamente non ne hai bisogno.
Grazie ancora!
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