Esercizi esami di analisi 2.Potete dare un'occhiata
ciao a tutti.
Si tratta degli esercizi dello scritto di analisi2 a Fisica che non sono riuscito a svolgere.
Il primo è calcolare (o dimostrare che non esiste) il limite
$lim_(x,y->0,1)((sin(x^2*(y-1)^2)cos^2(x))/(3x^3+(y-1)^2)$
ovviamente ho fatto la sostituzione a=y-1 ma non sono riuscito più a muovermi!
Il secondo è l'integrale doppio
$\int int x dxdy$
nell'insieme:${x^2/4+y^2<= 1, y>=1-x^2/2, x>=0}
Anche in questo caso le ho provate tutte, sia passare in coordinate polari ma mi sono incasinato nel capire le variazioni di $\rho$ e $\vartheta$ sia provando a calcolare prima l'integrale sull'ellisse e poi sottrarci quello "dentro" la parabola.
Potete aiutarmi?Grazie
Si tratta degli esercizi dello scritto di analisi2 a Fisica che non sono riuscito a svolgere.
Il primo è calcolare (o dimostrare che non esiste) il limite
$lim_(x,y->0,1)((sin(x^2*(y-1)^2)cos^2(x))/(3x^3+(y-1)^2)$
ovviamente ho fatto la sostituzione a=y-1 ma non sono riuscito più a muovermi!
Il secondo è l'integrale doppio
$\int int x dxdy$
nell'insieme:${x^2/4+y^2<= 1, y>=1-x^2/2, x>=0}
Anche in questo caso le ho provate tutte, sia passare in coordinate polari ma mi sono incasinato nel capire le variazioni di $\rho$ e $\vartheta$ sia provando a calcolare prima l'integrale sull'ellisse e poi sottrarci quello "dentro" la parabola.
Potete aiutarmi?Grazie
Risposte
per il primo esercizio, proverei anzitutto ad usare taylor o limiti notevoli per portarmi in una forma più "umana".
Per il secondo, ho visto che hai ben riconosciuto il dominio: siamo nel primo e nel quarto quadrante, nella regione di spazio compresa tra l'ellisse e la parabola.
A questo punto hai due strade:
1) procedi per via analitica.
Probabilmente questa strada ti darà alcune rogne durante il calcolo degli integrali, non so se consigliartela effettivamente.
2) comprimi lo spazio sull'asse delle ascisse ponendo: $X = x/2$, e poi vai con le polari. Così facendo sei a cavallo per quanto riguarda l'ellisse, ma dovrai accettare il compromesso di peggiorare un pò la situazione per quanto riguarda la parabola. Tecnicamente avresti
$D = "{" (x,y) \in RR^2 "t.c." x^2 + y^2 <= 1 ", " y>1-2x^2 ", " x>= 0 "}"$
Ed in polari poi la seconda espressione sarebbe molto difficile da esprimere.
A questo punto riconsidererei la via analitica. Trovati il punto d'intersezione tra parabola ed ellisse, facciamo che sia di coordinate $(x_0, y_0)$. Allora per certo hai che $y\in [1, y_0]$. Non ti resta che trovarti la condizione sulla x ( compresa tra l'arco di parabola e quello dell'ellisse ) e pregare che venga fuori qualcosa di piacevole
Per il secondo, ho visto che hai ben riconosciuto il dominio: siamo nel primo e nel quarto quadrante, nella regione di spazio compresa tra l'ellisse e la parabola.
A questo punto hai due strade:
1) procedi per via analitica.
Probabilmente questa strada ti darà alcune rogne durante il calcolo degli integrali, non so se consigliartela effettivamente.
2) comprimi lo spazio sull'asse delle ascisse ponendo: $X = x/2$, e poi vai con le polari. Così facendo sei a cavallo per quanto riguarda l'ellisse, ma dovrai accettare il compromesso di peggiorare un pò la situazione per quanto riguarda la parabola. Tecnicamente avresti
$D = "{" (x,y) \in RR^2 "t.c." x^2 + y^2 <= 1 ", " y>1-2x^2 ", " x>= 0 "}"$
Ed in polari poi la seconda espressione sarebbe molto difficile da esprimere.
A questo punto riconsidererei la via analitica. Trovati il punto d'intersezione tra parabola ed ellisse, facciamo che sia di coordinate $(x_0, y_0)$. Allora per certo hai che $y\in [1, y_0]$. Non ti resta che trovarti la condizione sulla x ( compresa tra l'arco di parabola e quello dell'ellisse ) e pregare che venga fuori qualcosa di piacevole
Per il secondo problema non ho visto grossi ostacoli.
Abbiamo un'ellisse e una parabola che riscritte esplicitando x, con x >0
[tex]x = \sqrt(4-y^2)[/tex]
[tex]x = \sqrt(2-y)[/tex]
Troviamo le intersezioni
[tex]\sqrt(4-y^2) = \sqrt(2-y)[/tex]
Le due curve si incrociano a [tex]y=+1[/tex] e [tex]y= -\sqrt3[/tex]
per cui andiamo ad integrare prima su x e poi su y (fare un disegnino aiuta a "vedere")
[tex]\displaystyle\int_{-\sqrt3}^{1} \displaystyle\int_{\sqrt(2-y)}^{\sqrt(4-y^2)} x\, dx \, dy[/tex]
Nel passaggio successivo x compare al quadrato, le radici scompaiono e il tutto diventa maneggiabile....
[tex]\displaystyle\int_{-\sqrt3}^{1} \left[ x^2 / 2\right] _{\sqrt(2-y)}^{\sqrt(4-y^2)} \, dy[/tex]
[tex]\displaystyle\int_{-\sqrt3}^{1} (1/2)(-y^2+y+2) \, dy[/tex]
Abbiamo un'ellisse e una parabola che riscritte esplicitando x, con x >0
[tex]x = \sqrt(4-y^2)[/tex]
[tex]x = \sqrt(2-y)[/tex]
Troviamo le intersezioni
[tex]\sqrt(4-y^2) = \sqrt(2-y)[/tex]
Le due curve si incrociano a [tex]y=+1[/tex] e [tex]y= -\sqrt3[/tex]
per cui andiamo ad integrare prima su x e poi su y (fare un disegnino aiuta a "vedere")
[tex]\displaystyle\int_{-\sqrt3}^{1} \displaystyle\int_{\sqrt(2-y)}^{\sqrt(4-y^2)} x\, dx \, dy[/tex]
Nel passaggio successivo x compare al quadrato, le radici scompaiono e il tutto diventa maneggiabile....
[tex]\displaystyle\int_{-\sqrt3}^{1} \left[ x^2 / 2\right] _{\sqrt(2-y)}^{\sqrt(4-y^2)} \, dy[/tex]
[tex]\displaystyle\int_{-\sqrt3}^{1} (1/2)(-y^2+y+2) \, dy[/tex]
Per il primo problema applicherei L'Hopital ripetutatmente.
Al denominatore le espressioni degradano velocemente verso una costante.
Appena si ottiene qualcosa di diverso da 0/0, ci si ferma.
Al denominatore le espressioni degradano velocemente verso una costante.
Appena si ottiene qualcosa di diverso da 0/0, ci si ferma.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo