Esercizi Esame
Ciao a tutti. Ragazzi voglio riportare di seguito un bel po di esercizi dei compiti di esame degli anni precedenti che io sto risolvendo per esercitarmi per l'esame. Ho pensato possano essere utili anche a voi. Io quando ne risolvo uno posto la soluzione, se è sbagliata oppure se ho qualche dubbio su come procedere ne discuteremo insieme. 
1)Determinare tutte le soluzioni dell'equazione in $CC$:
$z^2 ||z| |^2=4(1+sqrt3i)bar(z)$
2)Determinare il sottoinsieme dei punti di $CC$ che soddisfano l'equazione:
$bar(z^2) +z^2=1/(1+i)^8$
3)Studiare la funzione:
$f(x)=(x^3)/(ln|x|)^6$
4)Studiare la funzione:
$f(x)=x/(ln^2 |x|-3)$
5)Studiare la funzione:
$f(x)=arctan(1+log|x|)$
6)Calcolare il limite:
$lim_(x->0)(1/(xtan2x)-1/(2sin^2x))$
7)Stabilire, al variare di k, la parte principale ed ordine per $x->0$ della funzione:
$f(x)=(e^(x^2)-kx^2-cosx)/(x(root(3)(1+(sin^2)x-1))$
8)Calcolare l'ordine dell'infinitesimo e la parte principale per $x->1^+$ della funzione:
$f(x)=senhsqrt(x-1)-arctansqrt(x-1)$
9)Dopo avere determinato il dominio della funzione, determinare che è invertiile. Determinare poi la funzione inversa:
$f(x)=ln(1+ln(1-x))$
10)Discutere al variare di $a in RR$ la discontinuità in $x=0$ della funzione:
$f(x)={ ( 1/(2^(1/x)-a) )x!=0,( 0 )x=0:} $
11)Stabilire se converge o meno l'integrale improprio:
$ int_(0)^(oo) arctan((tlnt)/(t^2+1))dt $
12)Stabilire se converge o no il seguente integrale ed eventualmente calcolarlo:
$ int_(0)^(oo) e^(-x)tan(e^(-x)dx $
13)Dire se converge o no l'integrale improprio:
$ int_(0)^(1)log(1-logx)dx $
14)Studiare, al varianre di $x in RR$, il carattere della seguante serie numerica $ sum_(t)^(oo)a_n $ dove $a_n=(2^n)/nln(1+x^n)$.
15)Studiare al variare di $a in RR^+$ il carattere della serie:
$ sum_(n=1)^(oo)(-1)^n(ln(1+1/((n+2)^a))/(n^a(root(4)(a+1/(n^2))-1)) $
Per quali valori di a la serie è convergente ma non assolutamente convergente?
Questo è tutto. Spero vi siano utili e che possiate aiutare anche me nella risoluzione degli stessi.
Ehy ragazzi perfavore quando risolvete qualche esercizio postatelo. Ho l'esame giorno 18e voglio esercitarmi ma ho qualche perplessità e vorrei che postassimo insieme la soluzione così verifico se so risolvere gli esercizi.
1)Determinare tutte le soluzioni dell'equazione in $CC$:
$z^2 ||z| |^2=4(1+sqrt3i)bar(z)$
2)Determinare il sottoinsieme dei punti di $CC$ che soddisfano l'equazione:
$bar(z^2) +z^2=1/(1+i)^8$
3)Studiare la funzione:
$f(x)=(x^3)/(ln|x|)^6$
4)Studiare la funzione:
$f(x)=x/(ln^2 |x|-3)$
5)Studiare la funzione:
$f(x)=arctan(1+log|x|)$
6)Calcolare il limite:
$lim_(x->0)(1/(xtan2x)-1/(2sin^2x))$
7)Stabilire, al variare di k, la parte principale ed ordine per $x->0$ della funzione:
$f(x)=(e^(x^2)-kx^2-cosx)/(x(root(3)(1+(sin^2)x-1))$
8)Calcolare l'ordine dell'infinitesimo e la parte principale per $x->1^+$ della funzione:
$f(x)=senhsqrt(x-1)-arctansqrt(x-1)$
9)Dopo avere determinato il dominio della funzione, determinare che è invertiile. Determinare poi la funzione inversa:
$f(x)=ln(1+ln(1-x))$
10)Discutere al variare di $a in RR$ la discontinuità in $x=0$ della funzione:
$f(x)={ ( 1/(2^(1/x)-a) )x!=0,( 0 )x=0:} $
11)Stabilire se converge o meno l'integrale improprio:
$ int_(0)^(oo) arctan((tlnt)/(t^2+1))dt $
12)Stabilire se converge o no il seguente integrale ed eventualmente calcolarlo:
$ int_(0)^(oo) e^(-x)tan(e^(-x)dx $
13)Dire se converge o no l'integrale improprio:
$ int_(0)^(1)log(1-logx)dx $
14)Studiare, al varianre di $x in RR$, il carattere della seguante serie numerica $ sum_(t)^(oo)a_n $ dove $a_n=(2^n)/nln(1+x^n)$.
15)Studiare al variare di $a in RR^+$ il carattere della serie:
$ sum_(n=1)^(oo)(-1)^n(ln(1+1/((n+2)^a))/(n^a(root(4)(a+1/(n^2))-1)) $
Per quali valori di a la serie è convergente ma non assolutamente convergente?
Questo è tutto. Spero vi siano utili e che possiate aiutare anche me nella risoluzione degli stessi.
Ehy ragazzi perfavore quando risolvete qualche esercizio postatelo. Ho l'esame giorno 18e voglio esercitarmi ma ho qualche perplessità e vorrei che postassimo insieme la soluzione così verifico se so risolvere gli esercizi.
Risposte
Ehy ragazzi, appena avete risolto un esercizio, postatelo con la soluzione che verifichiamo il rpocedimento e vediamo se i risultati combaciano, anche perchè non li ho i risultati. quindi io da solo non posso sapere se sono esatti al 100%.
Ho cercato di fare gli esercizi dei numeri complessi.
1) Per quanto riguarda il numero 1, non so cosa fare con quel doppio modulo, come procedo?
2)Per quanto riguarda il numero 2 ho fatto così ma non so se è giusto perchè non ho le soluzioni, voi che ne dite?
$(x-iy)^2+(x+iy)^2=1/(1+i)^8$ Ho trovato il modulo e gli angoli e poi sviluppato la potenza ottava del numero complesso al denominatore $(1+i)^8$ e ho ottenuto che è $(1+i)^8=16$ la parte immaginaria è 0. Adesso ho che $(x-iy)^2+(x+iy)^2=1/16$.
Ho sviluppao le potenze al primo membro e ho ottenuto $2x^2+2(iy)^2=1/16$. Adesso poichè ho pensato che $(iy)^2=-y^2$ allora ottengo che$ 2x^2-2y^2=1/16$.
Che dovrei fare adesso? Devo eguagliare$ 2x^2=1/16$ e $-2y^2=0$ trovando così $x=1/sqrt32$ e $y=0$?
1) Per quanto riguarda il numero 1, non so cosa fare con quel doppio modulo, come procedo?
2)Per quanto riguarda il numero 2 ho fatto così ma non so se è giusto perchè non ho le soluzioni, voi che ne dite?
$(x-iy)^2+(x+iy)^2=1/(1+i)^8$ Ho trovato il modulo e gli angoli e poi sviluppato la potenza ottava del numero complesso al denominatore $(1+i)^8$ e ho ottenuto che è $(1+i)^8=16$ la parte immaginaria è 0. Adesso ho che $(x-iy)^2+(x+iy)^2=1/16$.
Ho sviluppao le potenze al primo membro e ho ottenuto $2x^2+2(iy)^2=1/16$. Adesso poichè ho pensato che $(iy)^2=-y^2$ allora ottengo che$ 2x^2-2y^2=1/16$.
Che dovrei fare adesso? Devo eguagliare$ 2x^2=1/16$ e $-2y^2=0$ trovando così $x=1/sqrt32$ e $y=0$?
"AlexlovesUSA":
Ho cercato di fare gli esercizi dei numeri complessi.
1) Per quanto riguarda il numero 1, non so cosa fare con quel doppio modulo, come procedo?
2)Per quanto riguarda il numero 2 ho fatto così ma non so se è giusto perchè non ho le soluzioni, voi che ne dite?
$(x-iy)^2+(x+iy)^2=1/(1+i)^8$ Ho trovato il modulo e gli angoli e poi sviluppato la potenza ottava del numero complesso al denominatore $(1+i)^8$ e ho ottenuto che è $(1+i)^8=16$ la parte immaginaria è 0. Adesso ho che $(x-iy)^2+(x+iy)^2=1/16$.
Ho sviluppao le potenze al primo membro e ho ottenuto $2x^2+2(iy)^2=1/16$. Adesso poichè ho pensato che $(iy)^2=-y^2$ allora ottengo che$ 2x^2-2y^2=1/16$.
Che dovrei fare adesso? Devo eguagliare$ 2x^2=1/16$ e $-2y^2=0$ trovando così $x=1/sqrt32$ e $y=0$?
Per il secondo, quel ragionamento che hai fatto nell' ultima riga, si fa solo se hai parte reale ed immaginaria. Qui hai solo reale, quindi devi risolvere:
$ 2x^2-2y^2=1/16$
"AlexlovesUSA":
Ho cercato di fare gli esercizi dei numeri complessi.
1) Per quanto riguarda il numero 1, non so cosa fare con quel doppio modulo, come procedo?
Io non credo sia un doppio modulo, ma una norma, che in questo caso è la stessa cosa del modulo.
Se poi fosse anche un doppio modulo, allora il modulo del modulo è ovviamente il modulo stesso.
Perciò in ogni caso puoi considerare di avere semplicemente il modulo
@misanino: Ok grazie. Quindi lo considero come il modulo? ossia $sqrt(x^2+y^2)$?
@stefano_89:Allora cosa dovrei fare? come risolvo quella equazione in 2 incognite? per trovare che cosa?
Ehy ragazzi ho provato anche a fare gli esercizi dei limiti
6)Ho provato in vari modi a ricondurmi ad alcune forme note e anche con Taylor ma arrivo in qualche punto e mi blocco, non so più come continuare. Inizialmente avevo usato Taylor ma ho capito che non mi portava da nessuna parte. Poi ho provato a ricondurmi alla forma $(1+x)^(1/x)$ ma mi blocco. Come faccio?Voi come procedereste?
8) Questo esercizio l'ho risolto ma non so se è giusto. Io ho fatto così $ lim_(x -> 1^+) sinhsqrt(x-1)-arctgsqrt(x-1) $ Per $x->1^+$ si ha che $sinhsqrt(x-1)$ tende a o quindi $sinhsqrt(x-1) ~_0 sqrt(x-1)$. Lo stesso vale per $arctgsqrt(x-1) ~_0 sqrt(x-1)$. Adesso sommiamo e sottraiamo 1 otteniamo $sqrt(x-1)+1-1-sqrt(x-1)$ e quindi $(x-1)^(1/2)-1 +1-(x-1)^(1/2)$ e usando il limite notevole otteniamo $(x-1)$ che tende a 0 per $x->1^+$. Adesso poichè è un infinitesimo la confrontiamo con $(x-1)^(alpha)$. Otteniamo adesso $ lim_(x -> 1^+) (x-1)/(x-1) $ quindi sono infinitesimi dello stesso ordine. E' giusto?
@stefano_89:Allora cosa dovrei fare? come risolvo quella equazione in 2 incognite? per trovare che cosa?
Ehy ragazzi ho provato anche a fare gli esercizi dei limiti
6)Ho provato in vari modi a ricondurmi ad alcune forme note e anche con Taylor ma arrivo in qualche punto e mi blocco, non so più come continuare. Inizialmente avevo usato Taylor ma ho capito che non mi portava da nessuna parte. Poi ho provato a ricondurmi alla forma $(1+x)^(1/x)$ ma mi blocco. Come faccio?Voi come procedereste?
8) Questo esercizio l'ho risolto ma non so se è giusto. Io ho fatto così $ lim_(x -> 1^+) sinhsqrt(x-1)-arctgsqrt(x-1) $ Per $x->1^+$ si ha che $sinhsqrt(x-1)$ tende a o quindi $sinhsqrt(x-1) ~_0 sqrt(x-1)$. Lo stesso vale per $arctgsqrt(x-1) ~_0 sqrt(x-1)$. Adesso sommiamo e sottraiamo 1 otteniamo $sqrt(x-1)+1-1-sqrt(x-1)$ e quindi $(x-1)^(1/2)-1 +1-(x-1)^(1/2)$ e usando il limite notevole otteniamo $(x-1)$ che tende a 0 per $x->1^+$. Adesso poichè è un infinitesimo la confrontiamo con $(x-1)^(alpha)$. Otteniamo adesso $ lim_(x -> 1^+) (x-1)/(x-1) $ quindi sono infinitesimi dello stesso ordine. E' giusto?
"AlexlovesUSA":
@misanino: Ok grazie. Quindi lo considero come il modulo? ossia $sqrt(x^2+y^2)$?
Esatto
@misanino: Ok grazie. Per quanto riguarda il limite invece? Hai dato un'occhiata?
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