Esercizi equazioni differenziali
Buongiorno a tutti!
Sono alle prese con la preparazione di analisi 2 e mi trovo in seria difficoltà con gli esercizi sulle equazioni differenziali!
Non riesco ad arrivare a un risultato in particolare di due tipologie di esercizi.
Il primo è ad esempio questo:
Sia u soluzione massimale dell'equazione
$ u'(t)=t^4(64-u(t)) $
allora u è soluzione globale se: a)$u(0)=-4$; b)$u(6)=-4$; c)$u(6)=1$; d)$u(0)=-6$.
Io la vedo come equazione a variabili separabili, ma l'integrale da calcolare alla fine è un po' proibitivo!
L'altra tipologia è ad esempio:
Sia u la soluzione massimale del problema di Cauchy in avanti $u'(t)=4-arctan u(t)$, $u(0)=0$. Allora a)u non è globale; b)u è non decrescente e convessa; c)u è globale e concava; d) u è globale e convessa.
Qui non so proprio da che parte girarmi!
Vi chiedo un aiuto enorme! Una risposta sarebbe super gradita!
Grazie in anticipo!
Sono alle prese con la preparazione di analisi 2 e mi trovo in seria difficoltà con gli esercizi sulle equazioni differenziali!
Non riesco ad arrivare a un risultato in particolare di due tipologie di esercizi.
Il primo è ad esempio questo:
Sia u soluzione massimale dell'equazione
$ u'(t)=t^4(64-u(t)) $
allora u è soluzione globale se: a)$u(0)=-4$; b)$u(6)=-4$; c)$u(6)=1$; d)$u(0)=-6$.
Io la vedo come equazione a variabili separabili, ma l'integrale da calcolare alla fine è un po' proibitivo!
L'altra tipologia è ad esempio:
Sia u la soluzione massimale del problema di Cauchy in avanti $u'(t)=4-arctan u(t)$, $u(0)=0$. Allora a)u non è globale; b)u è non decrescente e convessa; c)u è globale e concava; d) u è globale e convessa.
Qui non so proprio da che parte girarmi!
Vi chiedo un aiuto enorme! Una risposta sarebbe super gradita!
Grazie in anticipo!
Risposte
riguardo al primo esercizio,a mio parere le soluzioni dell'equazione,indipendentemente dalla condizione iniziale,sono tutte globali(c'è sublinearità)
secondo esercizio : la soluzione è globale(basta osservare che l'arcotangente è una funzione limitata)
inoltre $u''=-1/(1+u^2)cdotu'=(arctgu-4)/(1+u^2)<0$ e quindi la soluzione è concava
la risposta è la c)
secondo esercizio : la soluzione è globale(basta osservare che l'arcotangente è una funzione limitata)
inoltre $u''=-1/(1+u^2)cdotu'=(arctgu-4)/(1+u^2)<0$ e quindi la soluzione è concava
la risposta è la c)
Ringrazio per la risposta, ma in realtà il primo esercizio ha come risposta la c). Il problema è che non saprei proprio come arrivare a questa soluzione! Con quale procedimento posso risolvere equazioni di questo tipo?
prendiamo ad esempio la prima condizione iniziale
risolvendo per variabili separabili e tenendo conto del fatto che la soluzione deve mantenersi al di sotto della soluzione stazionaria $y=64$,si arriva alla soluzione generale $u=64-e^(-t^5/5+c)$
imponendo la condizione iniziale si arriva all'equazione $-4=64-e^c$ cioè $e^c=68 $ che ha soluzione(chiamiamola $a$)
la soluzione del problema di Cauchy è $u=64-e^(-t^5/5+a)$ che è definita in $mathbbR$ e quindi è globale tutta la vita
p.s. comunque,a questi tipi di esercizi,bisogna approcciarsi mediante uno studio qualitativo : ho calcolato esplicitamente la soluzione per sgombrare il campo da ogni dubbio ; come vedi,anche nel secondo esercizio sono giunto alla risposta senza determinare esplicitamente la soluzione del problema di Cauchy
risolvendo per variabili separabili e tenendo conto del fatto che la soluzione deve mantenersi al di sotto della soluzione stazionaria $y=64$,si arriva alla soluzione generale $u=64-e^(-t^5/5+c)$
imponendo la condizione iniziale si arriva all'equazione $-4=64-e^c$ cioè $e^c=68 $ che ha soluzione(chiamiamola $a$)
la soluzione del problema di Cauchy è $u=64-e^(-t^5/5+a)$ che è definita in $mathbbR$ e quindi è globale tutta la vita
p.s. comunque,a questi tipi di esercizi,bisogna approcciarsi mediante uno studio qualitativo : ho calcolato esplicitamente la soluzione per sgombrare il campo da ogni dubbio ; come vedi,anche nel secondo esercizio sono giunto alla risposta senza determinare esplicitamente la soluzione del problema di Cauchy
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo