Esercizi equazioni differenziali

[del_ta]

Ciao! Ho dei problemi sugli esercizi con le equazioni differenziali. Ad esempio scrivi l'integrale generale di $ y'-4/xy=0 $
Pensando di usare la formula $ IG= c*e^(-A(x))+e^(-A(x))*k(x)|c\inR $ ho calcolato $ A(x)=int-4/xdx=-4ln(x) $ e $ k(x)=0 $
La soluzione invece dovrebbe essere $ IG= C*x^4|C\inR $
Come è possibile?

[mazzarri1]

Ciao delta... si tratta di eq a variabili separabili... e molto piu semplice

$y'=4/x y $

$(dy)/(dx)=4/x y $

$(dy)/y=4/x dx $

$int (dy)/y= int 4/x dx$

$ ln |y| = 4 ln |x| +c $

$ ln |y|= ln x^4 + c $

$ y = c_1 x^4$

[del_ta]

Non ha capito,come fa a diventare $x^4$?

[quantunquemente]

do you know logarithmic properties ?

[mazzarri1]

Scrivo tutti i passaggi fammi sapere se e chiaro

$ln|y|=lnx^4+c $

$e^(ln|y|)=e^(ln x^4 +c) = e^ (ln x^4) e ^c $

$|y|= x^4 c_1$ dove ho posto $c_1=e^c $

Posso togliiere il modulo perche sec membro sempre positivo

$y=c_1 x^4$

Capito?

[del_ta]

Ah ecco,per le proprietà dei logaritmi.. Grazie mille, non ci avevo proprio pensato!!

[del_ta]

Invece nel caso in cui avessi ad esempio $ y''-2y'=e^(2x)*x^2-1$
Ho calcolato l'int generale dell'eq omogenea $A+B*e^(2x)|A,B\inR$
Mentre come mi comporto per trovare il polinomio particolare? Io avevo pensato a $ C*x^2*e^(2x)-1 $ è corretto?

[mazzarri1]

No... dovresti studiare le equazioni differenziali del 2 ordine... qualcuno dovrebbe avertele spiegate

$y''-2y'=x^2e^(2x)-1$

OMOGENEA ASSOCIATA

$k^2-2k=0$

$k_1=0$ e $k_2=2$

$y=C_1+C_2e^(2x)$

SOLUZIONI PARTICOLARI

Ce ne sono due... una per la parte $x^2e^(2x)$ e una per la parte $-1$

la sai risolvere solo se il 2 membro è della forma $e^(ax) P(x) cos(bx)$ ed è il tuo caso ($P(x)$ è un polinomio)

prima di tutto considera il numero complesso $z=a+ib$ e vedi se è anche per caso soluzione della omogenea

primo caso) $a=2$ poi $P(x)=x^2$ poi $b=0$ quindi hai $z_1=2$ che è soluzione della omogenea

secondo caso) $a=0$ poi $P(x)=1$ poi $b=0$ quindi hai $z_1=0$ che è soluzione della omogenea

In definitiva hai (ma per questo ti consiglio di studiare la teoria!!!)

primo caso)

$y_p=x e^(2x) (Ax^2+Bx+C)=e^(2x) (Ax^3+Bx^2+Cx)$

Ora fai la derivata prima e seconda

$y_p'=e^(2x)[2Ax^3+(3A+2B)x^2+(2B+2C)x+C]$

$y_p''= e^(2x) [4Ax^3+(12A+4B)x^2+(6A+8B+4C)x+2B+4C]$

sostituisci in quella di partenza

$e^(2x) [4Ax^3+(12A+4B)x^2+(6A+8B+4C)x+2B+4C]-2e^(2x)[2Ax^3+(3A+2B)x^2+(2B+2C)x+C]=x^2e^(2x)$

$e^(2x) [6Ax^2+(6A+4B)x+2B+2C]=x^2e^(2x)$

che ti porta a dire

$A=1/6$
$B=-1/4$
$C=1/4$

in definitiva

$y_(p1)=e^(2x) (Ax^3+Bx^2+Cx)$

$y_(p1)=e^(2x) (1/6x^3-1/4x^2+1/4x)$

secondo caso)

$y_p=x D$

$y_p'= D$

$x_p''=0$

sostituendo con la equazione data hai

$0-2D=1$

cioè $D=-1/2$

in definitiva

$y_(p2)=-1/2 x$

TOTALE

$y=C_1+C_2e^(2x)+y_(p1)-y_(p2)$

$y=C_1+C_2e^(2x) + e^(2x) (1/6x^3-1/4x^2+1/4x) +1/2 x$

spero di esser stato chiaro

data la lunghezza di questo post capirai come sia necessario studiare queste cose prima... sui libri... se non sai la teoria chiedila pure qui, qualcuno ti risponderà e ti aiuterà a risolvere i dubbi

spero anche di non aver commesso errori, l'età non è più dalla mia con questo genere di lungaggini

ciao!

[del_ta]

Grazie mille sono riuscito a capire!!