Esercizi equazioni differenziali

[giogiomogio]

Ciao a tutti, inserisco qui sotto alcuni esercizi inerenti alle equazioni differenziali (alcuni sono diretti, altri sono dei problemi "reali"). Tali problemi hanno un livello di difficoltà sempre più alto e, considerando che sono proprio agli albori, mi piacerebbe scriverli e risolverli qui, in questo topic. In questo modo potete vedere se sto eseguendo i calcoli in maniera corretta e, perchè no, potranno essere utili anche ad altre persone

iniziamo:

$y'(t)=(y(t))/(2t) $

$[dy]/[dt]=y/[2t] $

$1/ydy=1/(2t)dt$

$ln|y| = 1/2ln|t|+C$

$ln|y^2| = ln|t|+C$

$y^2 =e^(ln|t|) * e^C$

$y^2=t*C -> y(t)=C*+-sqrt(t)$

[Quinzio]

L'esercizio va bene, però permettimi:

Tali problemi hanno una graduatoria sempre più alta e

Tali problemi hanno un livello di difficoltà crescente...

[giogiomogio]

Scusami quinzio, adesso modifico la frase così da renderla più adeguata.
grazie per aver controllato il mio metodo risolutivo, qui ne ho un'altra:

$(dy)/(dt)=t^2/y^2$

$y^2 dy = t^2 dt$

$1/3y^3=1/3t^3+C$

$y=root(3)(t^3+C) = y(t) $

---

$(dy)/(dt)=2+e^y$

$1/(2+e^y)dy=dt$

$int 1/(2+e^y)dy[ ( e^y=z ),( e^ydy=dz ) ]=intdt$

integrando il primo membro:

$int 1/(z(2+z))dz=intA/z+B/(2+z)dz$

trovo $A$ e $B$

$A(2+z)+Bz=1->2A+Az+Bz=1->z(A+B)+2A=1$

${ ( A+B=0 ),( 2A=1 ):} -> { ( B=-1/2 ),( A=1/2 ):}$

$int1/(2z)-1/(2(2+z))dz=1/2ln|z|-1/2ln|2+z|+C=1/2ln|e^y|-1/2ln|2+e^y|+C$

Sviluppando il secondo membro:

$intdt=t+C$

$1/2ln|e^y|-1/2ln|2+e^y|+C=t+C$

$ln|e^y|-ln|2+e^y|=2t+C$

$ln|e^y|= +ln|2+e^y| 2t+C$

$e^y= (2+e^y)*e^(2t)*C$ forma implicita

$e^y=2Ce^(2t)+Ce^ye^(2t)$

$e^y-Ce^ye^(2t)=2Ce^(2t)->e^y(1-Ce^(2t))=2Ce^(2t)->e^y=(2Ce^(2t))/(1-Ce^(2t))->y=ln((2Ce^(2t))/(1-Ce^(2t)))$
penso che si possa semplificare il risultato esempio $2C=k$ ma non sono sicuro...

[rino6999]

il $ +- $ non ci vuole perchè la radice è cubica

[giogiomogio]

Grazie mille raf, errore stupidissimo

Una sostanza radioattiva ha un tempo di dimezzamento di 1200 anni. Dopo 10 anni che percentuale rimane di una quantità iniziale di tale sostanza? Quanti anni sono richiesti per ridurre del 10 percento la quantità iniziale?

$N(t+\Deltat)-N(t)=-PN(t)$ quantità di atomi che decadono in un $\Deltat$

$N(t+\Deltat)-N(t)=-\lambda\DeltatN(t)$

$(N(t+\Deltat)-N(t))/(\Deltat)=-\lambda N(t)$ ho diviso per $\Deltat$

$N'(t)=-\lambda N(t)$ ho fatto per entrambi i membri $lim_(\Deltat->0)$

$(dn)/(dt)=-\lambdaN -> N=C e^(-\lambdat)$

$1/Ndn=-\lambda dt$ ho spostato le variabili

$ln|N|=-\lambdat + C$ ho integrato entrambi i membri

$N=C*e^(-\lambdat)$ dove $C=N_0$ e cioè il numero di atomi all'istante $t=0$

$N(t)=N_0*e^(-\lambdat)$

il problema dice che dopo 1200 anni gli atomi si dimezzano, quindi:

$N_0*e^(-\lambda1200)=N_0*1/2 -> e^(-\lambda1200)=1/2->-\lambda1200=ln(1/2)->\lambda=(ln(2))/(1200)$

$N(t)=N_0*e^(-(ln(2))/(1200)t)$

Vediamo dopo 10 anni che quantità rimane di tale sostanza:

$N(10)=N_0*e^(-(ln(2))/(1200)10)=N_o*0.9942=99.42%$ di $N_0$

Vediamo quanti anni sono richiesti per ridurre del $10%$ la sostanza della quantità iniziale

$N_0*e^((-ln(2))/(1200)t)=N_0*9/10 -> t=182.40$ anni

spero sia tutto giusto, purtroppo non ho le soluzioni

[giogiomogio]

$(y-a)dx+x^2dy=0$

$-1/(y-a)dy=1/x^2dx$

$-ln|y-a|=-1/x + C$

$ln|y-a|=1/x+C$

$y-a=e^(1/x)*e^(C)$

$y=C*e^(1/x)+a=y(t)$

se adesso vorrei fare la verifica potrei utilizzare la condizione iniziale e cioe:
$(y-a)dx+x^2dy=0$
solo che non so bene come fare, ossia... $y$ la conosco è quella che ho appena trovato, ma per $dx$ $dy$ e $x$ cosa dovrei inserire ?

mille grazie

[rino6999]

per x e dx non devi fare niente
$dy=y'dx$ (definizione di differenziale)
quindi devi verificare che sia soddisfatta l'equazione
$y-a+x^2y'=0$

[gugo82]

@ giorgiomogio: Una curiosità: gli esercizi sono presi da un libro di Fisica? O da un testo di Calculus americano?

[giogiomogio]

"gugo82":@ giorgiomogio: Una curiosità: gli esercizi sono presi da un libro di Fisica? O da un testo di Calculus americano?

ciao gugo82,
sto frequentando un corso di analisi 2 presso un'università in svizzera a zurigo.
in realtà sono in tedesco ma poi io li traduco in italiano (quindi mi scuso se ogni tanto con l'italiano non mi esprimo in maniera corretta)
Questi esercizi sono online su una piattaforma dedicata agli studenti e credo che siano direttamente scritti dal mio professore, il fatto è che sono scritti a mano quindi o lui li prende da un libro o se l inventa di sana pianta.
Inoltre non mette mai le soluzioni, non so perchè... solo per determinati esercizi. Lui dice sempre: la soluzione non esiste esistono solo le verifiche. Nel senso che, quando risolvi un esercizio, devi verificare se e' corretto quello che hai trovato quindi... la soluzione non esiste, l'unica cosa che puoi fare è quella di verificare se tutto combacia in base al risultato che hai trovato.
è un tipo del tutto particolare, ho gia imparato a non farci troppo caso

comunque se posso chiederti: come mai questa domanda?

[giogiomogio]

In una certa coltura di batteri, la cui crescita è proporzionale al loro numero, il numeri dei batteri triplica ogni 3 giorni. Se alla fine dei 7 giorni nella coltura vi sono 10 milioni di batteri, quanti ne erano presenti inizialmente?

$k=\lambda\Deltat$ è un coefficiente che determina la proliferazione di un atomo in un $\Deltat$

$N(\Deltat + t) - N(t) = kN(t)$ Numero di atomi che aumentano in un $\Deltat$

$(N(\Deltat + t) - N(t))/(\Deltat)=\lambdaN(t)$ ho diviso per $\Deltat$

$N'(t)=\lambdaN(t)$ ho fatto il $lim_(\Deltat->0)$ su entrambi i membri

$1/Ndn=\lambdadt$

$ln|N|=\lambdat+C$ ho integrato su entrambi i membri

$N(t)=C*e^(\lambdat)$

$N(0)=C=N_0$ dato che all'istante $t=0$ ottengo $C$ questa costante dovrà essere il numero di atomi presenti all'istante $t=0$

$N(3)=N_0*e^(\lambda3)=N_0*3->\lambda=ln(3)/(3)$ determino $\lambda$ in base alle informazioni del problema

$N(7)=N_0*e^(7ln(3)/(3))=10^7 -> N_0=7,7*10^5$

[giogiomogio]

Determinare il tempo di dimezzamento di una sostanza radioattiva se dopo un anno rimane il $99.57%$ della quantità iniziale.

$N(t)=N_0*e^(-\lambda)$
$N_0*e^(-\lambda)=N_0*(9957)/(10000) -> \lambda=-ln(9957/10000)$

quindi
$N(t)=N_0*e^(ln(9957/10000)t)$

trovo $t$
$N_0*e^(ln(9957/10000)t)=N_0*1/2->t=161$ anni

[giogiomogio]

In base alla legge del raffreddamento di Newton, un oggetto caldo introdotto in un ambiente più freddo si raffredda con una rapidità proporzionale alla differenza fra la sua temperatura e quella dell'ambiente. Se una tazzina di caffè che si trova in un luogo mantenuto a una temperatura di $20°C$ si raffredda da $80°C$ a $50°C$ in cinque minuti, quanto tempo ancora sarà richiesto affinchè si raffreddi fino a $40°C$?

$T_a=$temperatura ambiente

$(y(t)-T_a)=$differenza fra la temperatura del corpo e la temperatura dell'ambiente. quindi piu $t$ diventa maggiore più lentamente il corpo si raffredda.

$y(t+\Deltat) - y(t)=-\lambda\Deltat(y(t)-T_a)$
$C'=-\lambda(C(t)-T_a)$ ho diviso per $\Deltat$ e ho fatto il limite $lim_(dt->0)$ su entrambi i membri

$y'=-\lambda(y-T_a)$

$(dy)/(dt)=-\lambda(y-T_a)$

$1/(y-T_a)dy=-\lambda dt$

$ln|y-T_a|=-\lambdat + C$

$y-T_a=C*e^(-\lambdat)$

$y(t)=C*e^(-\lambdat) + T_a$

$y(0)=C+Ta -> T_i=C+T_a -> C=T_i-T_a$ dove $T_i=$temperatura iniziale del corpo a $t=0$

$y(t)=(T_i-T_a)*e^(-\lambdat)+T_a$

trovo $\lambda$

$y(5)=(80-20)*e^(-\lambda5)+20=50 -> \lambda=-ln(1/2)/5$

$y(t)=(80-20)*e^(ln(1/2)/5t)+20$ occhio al segno perchè $--\lambda=\lambda$
$y(t)=(80-20)*e^(-ln(2)/5t)+20$

Rispondendo all'ultima domanda:

$(80-20)*e^(-ln(2)/5t)+20=40 ->e^(-ln(2)/5t)=2/6->t=7.92$
quindi
$7.92-5=2.92=$ 2 minuti e 55 secondi.

[giogiomogio]

equazioni differenziali del primo ordine lineari:

$y'(t)+(2y(t))/t=1/t^2$

$y'+2/ty=1/t^2$

$y(t)=y_p+y_0$
$y_p=C(x)*e^-A$
$y_0=C*e^-A$
$A=2ln|t|$
$y_0=C*e^(-2ln|t|)$
$C(x)=int e^A*f(x)dt=int e^(2ln|t|)*1/t^2dt=t+C$ dove $C$ posso porla uguale a $0$
$y_p=t*e^(-2ln|t|)=t*1/t^2=1/t$
$y(t)=1/t+C*e^(-2ln|t|)=1/t+C*1/t^2$

[gugo82]

Mi pare che sia tutto più o meno corretto, almeno a livello "meccanico".

Però vedere esercizi sulle EDO svolti così mi fa accapponare la pelle... De gustibus.

[giogiomogio]

la fa accapponare pure a me ma grazie che gli hai dato uno sguardo.
Sto cercando di automatizzare il tutto a livello meccanico.
In realta' dietro mi sono letto la geniata di Joseph-Louis Lagrange di lavorare sulla costante.

[giogiomogio]

$(dy)/(dt)+y=e^t$

$y'+y=e^t$ in questo caso $a=1$

$y_p=c(x)+e^(-A)=c(x)*e^(-t)$

$y_0=C*e^(-A)=C*e^(-t)$

$c(x)=int e^A*f(t) dt = int e^(2t) dt=1/2*e^(2t) + C$ dove $C$ la pongo uguale a 0

$y(t)=y_p+y_0=1/2*e^(2t)*e^(-t)+C*e^(-t)=1/2e^t+C*e^(-t)$

[giogiomogio]

$y'-(2y)/(x+1)=(x+1)^3$

$y'-2/(x+1)y=(x+1)^3$

$A=int -2/(x+1) dx =-2ln|x+1|$

$c(x)=int e^A*f(x) dx = int 1/(x+1)^2*(x+1)^3 dx = 1/2x^2+x+C$ dove $C$ la pongo uguale a $0$.

$y(t)=(1/2x^2+x)*e^(2ln|x+1|)+C*e^(2ln|x+1|)=(x+1)^2(1/2x^2+x+C)$

[giogiomogio]

Risolvere la seguente equazione differenziale ai valori iniziali e schizzare la soluzione, dopo aver specificato quale è il più ampio intervallo in cui è definita:

${ ( y'+(2y)/t=1/t^2 ),( y(-1)=2 ):}$

$y'+2/ty=1/t^2$

$A=int 2/t dt = 2ln|t|+C$

$y_0=e^(-A)=C*e^(-2ln|t|)$

$c(x)= int e^A*f(t) dt=t + C$ dove $C=0$

$y_p=c(x)*e^(-A)=t*e^(-2ln|t|)$

$y(t)=1/t(1+C1/t)$

$y(-1)=2->-1(1-C)=2->C=3$

$y(t)=1/t+3/t^2$