Esercizi di geometria
Ciao a tutti, avrei alcune domande riguardanti geometria:
1) se io ho una base duale
2)se ho un endomorfismo triangolabile come faccio a determinare la matrice triangolare? io so che se è diagonalizzabile allora è triangolabile ma mentre so determinare la matrice diagonale non so determinare quella triangolare
3)inoltre mi potreste dire come devo procedere per risolvere fìgli esercizi 5.5 punti a e b e 5.6 di questo foglio
http://www.mat.uniroma2.it/~tovena/tutorato5geo2_2012.pdf
gli esercizi sugli spazi quozienti e sugli spazi duali sono quelli che mi creano maggiore difficoltà e purtroppo non sono riuscita a trovare molto in rete quindi vi ringrazio in anticipo se riuscite ad aiutarmi!!!
1) se io ho una base duale
[math]\varepsilon*={e_{1}*,e_{2}*,e_{3}*}[/math]
come faccio a determinare per esempio [math]e_{1}*(2,1,13)[/math]
oppure [math](3e_{1}*-e_{2}*+5e_{3}*)(x_{1},x_{2},x_{3}) [/math]
e come si determina il nucleo di quest'ultimo?2)se ho un endomorfismo triangolabile come faccio a determinare la matrice triangolare? io so che se è diagonalizzabile allora è triangolabile ma mentre so determinare la matrice diagonale non so determinare quella triangolare
3)inoltre mi potreste dire come devo procedere per risolvere fìgli esercizi 5.5 punti a e b e 5.6 di questo foglio
http://www.mat.uniroma2.it/~tovena/tutorato5geo2_2012.pdf
gli esercizi sugli spazi quozienti e sugli spazi duali sono quelli che mi creano maggiore difficoltà e purtroppo non sono riuscita a trovare molto in rete quindi vi ringrazio in anticipo se riuscite ad aiutarmi!!!
Risposte
Ciao kiaretta: l'ora è tarda e sono stanco, ma per evitare che la domanda si chiudesse ho voluto scrivere qui. Ti rispondo domani sera con calma.
Ok ti ringrazio!!!
1) Una base duale
nei due casi che hai proposto si ha
e
2) per endomorfismo triangolabile cosa intendi? Scriverlo in forma di matrice triangolare inferiore o superiore, oppure decomporlo in blocchi di Jordan? Le cose cambiano. Se posti un esercizio, vediamo di risolverlo.
3) cominciamo con il 5.5: per prima cosa ricorda che se
e pertanto, dal momento che
Morale della favola, per trovare i rappresentanti diversi, trova 5 vettori distinti di
Per il punto b) il ragionamento è simile: per dimostrare che
Per il momento fai queste cose e dimmi se ti ritrovi, poi discutiamo l'altro esercizio.
[math]\{e^i\}[/math]
della base [math]\{{\bf{e}}_j\}[/math]
è caratterizzata dal fatto che [math]e^i({\bf{e}})_j=\delta_j^i[/math]
(il delta di Kronecker). Ora, un generico vettore si può scrivere come [math]{\bf{v}}=\sum_{j=1}^n a^j {\bf{e}}_j[/math]
pertanto, essendo gli elementi della base duale applicazioni lineari, si ha[math]e^i({\bf{v}})=e^i\left(\sum_{j=1}^n a^j{\bf{e}}_j\right)=\sum_{j=1}^n e^i(a^j{\bf{e}}_j)=\\ \sum_{j=1}^n a^j\cdot e^i({\bf{e}}_j)= \sum_{j=1}^n a^j\cdot \delta_j^i=a^i[/math]
nei due casi che hai proposto si ha
[math]e^1(2{\bf{e}}_1+{\bf{e}}_2+13{\bf{e}}_3)=2[/math]
e
[math](3e^1-e^2+5e^3)(x_1{\bf{e}}_1+x_2{\bf{e}}_2+x_3{\bf{e}}_3)=3x_1-x_2+5x_3[/math]
2) per endomorfismo triangolabile cosa intendi? Scriverlo in forma di matrice triangolare inferiore o superiore, oppure decomporlo in blocchi di Jordan? Le cose cambiano. Se posti un esercizio, vediamo di risolverlo.
3) cominciamo con il 5.5: per prima cosa ricorda che se
[math]W\subset V[/math]
è un sottospazio generato dagli elementi [math]w_1,\ldots, w_m[/math]
con [math]m\le n=\dim V[/math]
, allora per definizione[math]V/W=\{v+w\ :\ v\in V,\ w\in W\}[/math]
e pertanto, dal momento che
[math]w\in W[/math]
implica che [math]w=\sum_{j=1}^m \alpha_j w_j[/math]
con [math]\alpha_j\in\mathbb{K}[/math]
il campo dei coefficienti dello spazio vettoriale, si ha che, scelta la classe [math][v]\in V/W[/math]
allora[math][v]=\{v+w\ :\ w\in W\}=\{v+\sum_{j=1}^m \alpha_j w_j\ :\ \alpha_j\in\mathbb{K}\}[/math]
Morale della favola, per trovare i rappresentanti diversi, trova 5 vettori distinti di
[math]W[/math]
e sommali al rappresentante dato.Per il punto b) il ragionamento è simile: per dimostrare che
[math][v_1]=[v_2][/math]
basta verificare l'esistenza di un elemento in [math]w\in W[/math]
in modo che [math]v_1=v_2+w[/math]
o se vuoi, [math]v_1-v_2=w[/math]
: se ciò non è possibile, allora le classi sono diverse.Per il momento fai queste cose e dimmi se ti ritrovi, poi discutiamo l'altro esercizio.
Allora per quanto riguarda il punto 2:
se ho un'applicazione
dove
Per quanto riguarda il punto 1 credo di aver capito: quindi se ho una base B=
e se ho
E per determinare il nucleo del secondo che avevo scritto sopra che veniva
Per quanto riguarda il punto 3:
quindi se ho capito bene 5 rappresentanti della classe[(2,1,0,3)] sono:
(3,1,1,1)+(2,1,0,3)=(5,2,2,4)
(0,1,-1,1)+(2,1,0,3)=(2,2,-1,4)
(3,2,0,2)+(2,1,0,3)=(5,3,0,5)
(6,2,2,2)+(2,1,0,3)=(8,3,2,5)
(0,2,-2,2)+(2,1,0,3)=(2,3,-2,5) giusto?
per quanto riguarda il punto b mi risulta che le due classi non sono uguali perchè il vettore che ne risulta dalla loro differenza non appartiene a W. Corretto?
se ho un'applicazione
[math]f: R^{3}\to R^{3}[/math]
definita da f(x)=Axdove
[math]A=\begin{vmatrix}-4 & -8 & 14\\ -1 & -2 & 2\\ -3 & -6 & 9\end{vmatrix} [/math]
devo controllare se è triangolabile (e questo lo so fare) e poi devo determinare una matrice traingolare superiore TPer quanto riguarda il punto 1 credo di aver capito: quindi se ho una base B=
[math]{v_{1},v_{2},v_{3}}[/math]
dove {math]v_{1}[/math]=(2,1,4), [math]v_{2}[/math]
=(1,0,2) [math]v_{3}[/math]
=(1,1,1) e B* è la base dualee se ho
[math]v=3v_{1}+2v_{2}-v_{3}[/math]
allora[math]v_{2}*(v)=2[/math]
giusto?E per determinare il nucleo del secondo che avevo scritto sopra che veniva
[math]3x_{1}-x_{2}+5x_{3}[/math]
lo pongo uguale a zero e vedo quand'è che la x si annulla?Per quanto riguarda il punto 3:
quindi se ho capito bene 5 rappresentanti della classe[(2,1,0,3)] sono:
(3,1,1,1)+(2,1,0,3)=(5,2,2,4)
(0,1,-1,1)+(2,1,0,3)=(2,2,-1,4)
(3,2,0,2)+(2,1,0,3)=(5,3,0,5)
(6,2,2,2)+(2,1,0,3)=(8,3,2,5)
(0,2,-2,2)+(2,1,0,3)=(2,3,-2,5) giusto?
per quanto riguarda il punto b mi risulta che le due classi non sono uguali perchè il vettore che ne risulta dalla loro differenza non appartiene a W. Corretto?
Dunque:
1) per rendere una matrice triangolare superiore basta usare la riduzione di Gauss-Jordan (quella che applichi con i sistemi lineari): io pensavo parlassi di altro. (Una cosa: come controlli che è triangolabile? calcolo del determinante?).
2) Bene, il punto sulle basi duali mi pare ti sia chiaro. Non ho capito di cosa devi calcolare il nucleo, però: dell'applicazione
3) I rappresentanti li hai trovati bene. Però sul punto b) che hai fatto? Lì ci sono più coppie e credo che alcune possano essere corrette. Ad esempio per la prima si ha
non ti pare?
1) per rendere una matrice triangolare superiore basta usare la riduzione di Gauss-Jordan (quella che applichi con i sistemi lineari): io pensavo parlassi di altro. (Una cosa: come controlli che è triangolabile? calcolo del determinante?).
2) Bene, il punto sulle basi duali mi pare ti sia chiaro. Non ho capito di cosa devi calcolare il nucleo, però: dell'applicazione
[math]3e^1-e^2+5e^3[/math]
? Bé. allora basta imporre che [math]3x_1-x_2+5x_3=0[/math]
e quindi il nucleo ha dimensione due e una base è data da[math]\{(1,3,0),\ (0,5,1)\}[/math]
3) I rappresentanti li hai trovati bene. Però sul punto b) che hai fatto? Lì ci sono più coppie e credo che alcune possano essere corrette. Ad esempio per la prima si ha
[math](-6,1,-5,1)=-2v_1+3v_2[/math]
non ti pare?
1) per vedere se è triangolabile io vedo se è diagonalizzabile perchè se la matrice associata a un endomorfimo è diagonalizzabile allora è anche triangolabile, e per vedere se è diagonalizzabile devo vedere se lo spettro è contenuto in K e se la molteplicità geometrica è uguale a quella algebrica per ogni autovalore
2) Ok ti ringrazio!!!, comunque si, penso che parli del nucleo di quell'applicazione.
3) si è vero hai ragione, mi sono sbagliata e invece del b del 5.5 ho fatto il b del 5.6. Allora del b del 5.5
[0]=[(-6,1,-5,1)]
la seconda non è vera
la terza non è vera
l'ultima è vera
2) Ok ti ringrazio!!!, comunque si, penso che parli del nucleo di quell'applicazione.
3) si è vero hai ragione, mi sono sbagliata e invece del b del 5.5 ho fatto il b del 5.6. Allora del b del 5.5
[0]=[(-6,1,-5,1)]
la seconda non è vera
la terza non è vera
l'ultima è vera
1) mmmm, allora mi sa che stai parlando di riduzione a forma canonica di Jordan, che è una cosa simile alla diagonalizzabilità e la si fa quanto molteplicità algebrica e geometrica non coincidono. Anche perché se le molteplicità coincidono, hai la forma diagonale.
3) bene, possiamo passare al punto successivo. Per determinare una base di
e la determinazione di una base va effettuata trovando un numero di vettori pari alla dimensione che completino la base di
3) bene, possiamo passare al punto successivo. Per determinare una base di
[math]V/W[/math]
è la sua dimensione bisogna sempre tenere conto del fatto che gli elementi di tale spazio sono fati come dicevo prima. In generale si trova che[math]\dim(V/W)=\dim V-\dim W[/math]
e la determinazione di una base va effettuata trovando un numero di vettori pari alla dimensione che completino la base di
[math]W[/math]
a base di [math]V[/math]
.
1) ok allora se è' la forma di Jordan la so calcolare
2)ok quindi la dim W=2 mentre dim V=4 quindi dimvV/W= 2 e una base potrebbe essere (3,1,1,1),(0,1,-1,1)?
2)ok quindi la dim W=2 mentre dim V=4 quindi dimvV/W= 2 e una base potrebbe essere (3,1,1,1),(0,1,-1,1)?
chiara scusa ti vorrei dire una cosa mi chiamo marianna percaso ci conosciamo le risposte quelle che ti anno dato sono giuste
@kiaretta: sì, mi sembra corretto. Riguardo il fatto della forma di Jordan: sinceramente non so di preciso se è quello che vuoi. Se hai un esercizio postalo così magari vediamo cosa ne viene fuori.
@emek: ma scrivere in italiano?
@emek: ma scrivere in italiano?
Ok ti ringrazio!! Di esercizi di quel tipo ho solo quello che ho postato sopra
Capito. Va bene, cosa dicevi riguardo l'altro esercizio? Qual è il problema?
No adesso ho capito, basta che la riduco a forma di Jordan (all'inizio non mi era venuto in mente)
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