Esercizi di analisi superiore
Salve a tutti, mi rivolgo ai più esperti per chiedere se sono giuste o sbagliate ler risposte degli esercizi che ho fatto all'esame.
Comincio con il primo:
Esercizio 1
Siano $f_n, f$ in $bb ccL^oo(RR)$ tali che:
- ||$f_n-f$|$|_oo ->0 $ per $n->oo$
- $a<=f_n(x)<=b$ q.d. su $RR$, $n in NN$
($-oo
Soluzione
Siano $E_n$ gli insiemi per cui $E_n$ ={$x in RR$ tali che non vale $a<=f_n(x)<=b$ q.d. su $RR$}
Allora $mu(E_n)=0$, $n in NN$
Ora per un opportuno insieme $E_0$ di misura nulla:
$|f_n(x)-f(x)|<=$||$f_n-f$$||_oo$$ AA x in RR$ \ $E_0$ e così $f_n(x)->f(x) AA x in RR$ \ $E_0$.
Considero $E=uu_0^oo E_n$ (unione degli $E_n$).
Allora $f_n(x)->f(x) AA x in RR$ \ $E$ e così $a<=f(x)<=b$ $AA x in RR$ \ $E$ (per il teorema della permanenza del segno).
In effetti, E è unione di insiemi di misura nulla per cui ha misura nulla, così posso scrivere:
$a<=f(x)<=b$ q.d. su $RR$
Grazie in ogni caso, ciao
Comincio con il primo:
Esercizio 1
Siano $f_n, f$ in $bb ccL^oo(RR)$ tali che:
- ||$f_n-f$|$|_oo ->0 $ per $n->oo$
- $a<=f_n(x)<=b$ q.d. su $RR$, $n in NN$
($-oo
Soluzione
Siano $E_n$ gli insiemi per cui $E_n$ ={$x in RR$ tali che non vale $a<=f_n(x)<=b$ q.d. su $RR$}
Allora $mu(E_n)=0$, $n in NN$
Ora per un opportuno insieme $E_0$ di misura nulla:
$|f_n(x)-f(x)|<=$||$f_n-f$$||_oo$$ AA x in RR$ \ $E_0$ e così $f_n(x)->f(x) AA x in RR$ \ $E_0$.
Considero $E=uu_0^oo E_n$ (unione degli $E_n$).
Allora $f_n(x)->f(x) AA x in RR$ \ $E$ e così $a<=f(x)<=b$ $AA x in RR$ \ $E$ (per il teorema della permanenza del segno).
In effetti, E è unione di insiemi di misura nulla per cui ha misura nulla, così posso scrivere:
$a<=f(x)<=b$ q.d. su $RR$
Grazie in ogni caso, ciao
Risposte
Ma non e' piu' facile? Ameno di estrarre $f_n \to f$ quasi ovunque, e quindi basta passare al limite in $a \leq f_n(x) \leq b$...?
Beh sì, diciamo che ho inserito in pratica anche la dimostrazione di quella proposizione...
Comunque il procedimento è giusto, no? (O no?)
Comunque il procedimento è giusto, no? (O no?)
"Luca.Lussardi":
Ma non e' piu' facile? Ameno di estrarre $f_n \to f$ quasi ovunque, e quindi basta passare al limite in $a \leq f_n(x) \leq b$...?
scusa amel se "sfrutto" il topic ... vado di fretta e sparo una cavolata. Mi dite se è vero o è falso (poi alla dimo o al contro-esempio ci vorrei pensare io
):$f_n->f$ in norma infinito $=>$ $f_n->f$ q.o.
??? (mi è venuto in mente pensando se estrarre la sotto-successione era necessario, ndr)
Per Thomas
Sì la proposizione è vera... però i ragionamenti sono simili alla soluzione dei miei esercizi non mi pare che abbia senso usare sottosuccessioni...
Ora continuo con il secondo esercizio...
Esercizio 2
Sia $g$:$RR->RR$, $g(t)=(cos t)^2, -pi<=t<=pi$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \g(t)=0$, altrove su $RR$
Calcolare la trasformata di Fourier di g.
Soluzione
$ccF(x->g(x))(xi)=int_RR e^-(i xi t) g(t) dt =int_-pi ^pi e^-(i xi t) (cos t)^2 dt=$
$=int_-pi ^pi cos(xi t) (cos t)^2 dt - i int_-pi ^pi sen(xi t) (cos t)^2 dt$
Il secondo integrale è 0, in quanto si tratta di una funzione dispari, quindi:
$ccF(x->g(x))(xi)=int_-pi ^pi cos(xi t) (cos t)^2 dt=1/2 int_-pi ^pi cos(xi t) 2(cos t)^2 dt$$
Ora $2(cos t)^2= cos2t +1$ e così:
$int_-pi ^pi cos(xi t) 2(cos t)^2 dt=int_-pi ^pi cos(xi t) (cos2t +1) dt=$
$=int_-pi ^pi cos(xi t) dt+ int_-pi ^pi cos(xi t) cos2t dt=$
$=[(sen (xi t))/ xi]_-pi ^pi + [(sen (xi t))/ xi cos 2t]_-pi ^pi - 2 int_-pi ^pi cos(xi t) sin2t dt=$
$=2 (sen (pi xi))/ xi - 2 int_-pi ^pi cos(xi t) sin2t dt=$
$=2 (sen (pi xi))/ xi - 2 [(sen(xi t))/((xi)^2) sin2t]_-pi ^pi - 4/(xi)^2 int_-pi ^pi sen(xi t) cos2t dt=$
$=2 (sen (pi xi))/ xi - 4/(xi)^2 int_-pi ^pi sen(xi t) cos2t dt=$
Così ricavando l'integrale:
$int_-pi ^pi cos(xi t) (cos t)^2 dt=2/(1 + 4/(xi)^2) (sen (pi xi))/ xi $
e in definitiva:
$ccF(x->g(x))(xi)=1/(1 + 4/(xi)^2) (sen (pi xi))/ xi$
Sì la proposizione è vera... però i ragionamenti sono simili alla soluzione dei miei esercizi non mi pare che abbia senso usare sottosuccessioni...
Ora continuo con il secondo esercizio...
Esercizio 2
Sia $g$:$RR->RR$, $g(t)=(cos t)^2, -pi<=t<=pi$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \g(t)=0$, altrove su $RR$
Calcolare la trasformata di Fourier di g.
Soluzione
$ccF(x->g(x))(xi)=int_RR e^-(i xi t) g(t) dt =int_-pi ^pi e^-(i xi t) (cos t)^2 dt=$
$=int_-pi ^pi cos(xi t) (cos t)^2 dt - i int_-pi ^pi sen(xi t) (cos t)^2 dt$
Il secondo integrale è 0, in quanto si tratta di una funzione dispari, quindi:
$ccF(x->g(x))(xi)=int_-pi ^pi cos(xi t) (cos t)^2 dt=1/2 int_-pi ^pi cos(xi t) 2(cos t)^2 dt$$
Ora $2(cos t)^2= cos2t +1$ e così:
$int_-pi ^pi cos(xi t) 2(cos t)^2 dt=int_-pi ^pi cos(xi t) (cos2t +1) dt=$
$=int_-pi ^pi cos(xi t) dt+ int_-pi ^pi cos(xi t) cos2t dt=$
$=[(sen (xi t))/ xi]_-pi ^pi + [(sen (xi t))/ xi cos 2t]_-pi ^pi - 2 int_-pi ^pi cos(xi t) sin2t dt=$
$=2 (sen (pi xi))/ xi - 2 int_-pi ^pi cos(xi t) sin2t dt=$
$=2 (sen (pi xi))/ xi - 2 [(sen(xi t))/((xi)^2) sin2t]_-pi ^pi - 4/(xi)^2 int_-pi ^pi sen(xi t) cos2t dt=$
$=2 (sen (pi xi))/ xi - 4/(xi)^2 int_-pi ^pi sen(xi t) cos2t dt=$
Così ricavando l'integrale:
$int_-pi ^pi cos(xi t) (cos t)^2 dt=2/(1 + 4/(xi)^2) (sen (pi xi))/ xi $
e in definitiva:
$ccF(x->g(x))(xi)=1/(1 + 4/(xi)^2) (sen (pi xi))/ xi$
"amel":
Così ricavando l'integrale:
$int_-pi ^pi cos(xi t) (cos t)^2 dt=2/(1 - 4/(xi)^2) (sen (pi xi))/ xi $
sicuro?
C'è un meno al posto di un più hai ragione (tra l'altro non mi ricordo se nel compito avevo messo i segni giusti... 
)
Grazie, intanto. Per il resto va bene?
)Grazie, intanto. Per il resto va bene?
bè, a parte qualche conticino da rivedere, hai usato la definizione quindi nulla da temere; magari si poteva usare qualche scorciatoia...
Grazie per l'incoraggiamento
Speriamo che il prof sia clemente, anche perchè ho sbagliato completamente il terzo e ultimo esercizio...
(che posterò in seguito)
Speriamo che il prof sia clemente, anche perchè ho sbagliato completamente il terzo e ultimo esercizio...
(che posterò in seguito)
ehi.... I'm really looking forward to seeing your last exercise 
... per curiosità più che altro 
... per curiosità più che altro
Attenzione: la convergenza in norma $p$ NON IMPLICA la convergenza puntuale, contrariamente a quanto e' stato detto. IL risultato vero e' che se $f_n$ connverge ad $f$ in norma $p$ allora esiste una sottosuccessione che converge puntualmente quasi ovunque. E' facile fare un esempio in cui si vede che non tutta la successione converge q.o.
Un attimo, per p finito d'accordo, ma (cito il Giaquinta Modica) la convergenza in $bb ccL^oo$ è la convergenza uniforme quasi ovunque.
Si', e' un altro modo di chiamarla, ma anche per $p$ infinito non e' vero che la convergenzaa $L^\infty$ implica la puntuale q.o. Anche qui devi estrarre.
Ma scusa io farei così:
io ho $f_n$ e $f$ in $cc L^oo(Omega)$ con la convergenza a f in $cc L^oo(Omega)$.
Ora $|f_n(x)-f(x)|<=|f_n - f ||_oo$ per ogni x eccetto che in un insieme contenuto in $Omega$ \ $E$ E di misura nulla
Da cio la convergenza uniforme quasi ovunque di $f_n$ ... è sbagliato? Se sì dove?
io ho $f_n$ e $f$ in $cc L^oo(Omega)$ con la convergenza a f in $cc L^oo(Omega)$.
Ora $|f_n(x)-f(x)|<=|f_n - f ||_oo$ per ogni x eccetto che in un insieme contenuto in $Omega$ \ $E$ E di misura nulla
Da cio la convergenza uniforme quasi ovunque di $f_n$ ... è sbagliato? Se sì dove?
Si', scusami, hai perfettamente ragione. Aveno in mente l'esempio di $L^1$ e l'ho confuso con quello di $L^\infty$. $p=\infty$ e' l'unico esponente per cui la convergenza in norma $p$ implica la puntuale q.o.
Fiuuu, mi hai fatto prendere un colpo, ero già pronto a dover rifare il compito...
eheh... mi immagino i sospiri di sollievo che hai tirato leggendo l'ultimo post di Luca, amel
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