Esercizi di analisi superiore - 2 (Please, guardatelo!)
Vado ora con il terzo e ultimo esercizio del mio compito.
Esercizio 3
Siano $f in W_1^1(-oo,0), g in W_1^1(0,+oo)$
Sia $h in W_1^1(RR)$ tale che:
$h(t)=f(t)$ per $t in (-oo,0) q.d.$
$h(t)=g(t)$ per $t in (0,+oo) q.d.$.
Indicare a quali condizioni $h in W_1^1(RR)$
Nota:
Per $Omega sube RR$, $W_1^1(Omega)={ f in cc L^1(Omega) | $ esiste una derivata debole $ f' in cc L^1(Omega)}$
ove $f'$ è una derivata debole per $f$ se $int_RR f phi' d mu = - int_RR f' phi d mu$ , $AA phi in C_0^oo(RR)$$
Sto ancora pensando alla soluzione, ho sentito che bisognava forse usare la nozione di rappresntante continuo...
Esercizio 3
Siano $f in W_1^1(-oo,0), g in W_1^1(0,+oo)$
Sia $h in W_1^1(RR)$ tale che:
$h(t)=f(t)$ per $t in (-oo,0) q.d.$
$h(t)=g(t)$ per $t in (0,+oo) q.d.$.
Indicare a quali condizioni $h in W_1^1(RR)$
Nota:
Per $Omega sube RR$, $W_1^1(Omega)={ f in cc L^1(Omega) | $ esiste una derivata debole $ f' in cc L^1(Omega)}$
ove $f'$ è una derivata debole per $f$ se $int_RR f phi' d mu = - int_RR f' phi d mu$ , $AA phi in C_0^oo(RR)$$
Sto ancora pensando alla soluzione, ho sentito che bisognava forse usare la nozione di rappresntante continuo...
Risposte
"amel":
Nota:
Per $Omega sube RR$, $W_1^1(Omega)={ f in cc L^1(Omega) | $ esiste una derivata debole $ f' in cc L^1(Omega)}$
ove $f'$ è una derivata debole per $f$ se $int_RR f phi' d mu = - int_RR f' phi d mu$ , $AA phi in C_0^oo(RR)$$
quindi $f'$ non è la derivata di $f$...
ma invece $phi'$ è la derivata di $phi$??? (per derivata intendo quella in senso classico)
e cosa intendi con $C_0^oo(RR)$?? mi confonde che ci sia uno 0 in basso ed anche l'infinito... io con lo 0 indico le continue, con l'infinito quelle derivabili infinite volte
...probabilmente non lo so fare, ma almeno capire il testo sarebbe utile per provarci
Si la derivata di $phi$ è quella in senso classico.
Sia $Omega sube RR^N$.
$C_0^oo(Omega)$ è l'insieme delle funzioni $phi in C^oo(Omega)$ per cui
la chiusura ${x in Omega \ | \ phi(x)!=0}$ (detta supporto) è un compatto di $RR$.
Sia $Omega sube RR^N$.
$C_0^oo(Omega)$ è l'insieme delle funzioni $phi in C^oo(Omega)$ per cui
la chiusura ${x in Omega \ | \ phi(x)!=0}$ (detta supporto) è un compatto di $RR$.
ma definire
$h'=f'$in $(-oo,0)$
$h'=g'$ in $(0,+oo)$
e in 0 un valore qualsiasi
non basta?
ps: la mia ignoranza si erga a parziale difesa...
$h'=f'$in $(-oo,0)$
$h'=g'$ in $(0,+oo)$
e in 0 un valore qualsiasi
non basta?
ps: la mia ignoranza si erga a parziale difesa...
Sì, va usata la rappresentazione continue delle funzioni $W^(1,1)(\RR)$; tali funzioni sono infatti le funzioni $L^1$ che sono anche assolutamente continue con derivata in $L^1$. La derivata debole coincide quasi ovunque con il limite del rapporto incrementale. Ricordo che le funzioni assolutamente continue sono quelle per cui vale il Teorema fondamentale del calcolo integrale.
ma la funzione che ho definito sopra non è una derivata debole per h?
So che è OT, ma lasciatemi fare un solo sfogo: mi ha dato 17 allo scritto!!!
Nel primo esercizio (vedi topic Esercizi di analisi superiore) mi ha tolto 5 punti su 10 solo perchè non ho spiegato (ho solo scritto la proposizione) che la convergenza in norma $+oo$ implica la convergenza uniforme quasi dappertutto.
Nel secondo esercizio (sempre vedi topic Esercizi di analisi superiore) mi ha tolto 3 punti su 10 per dei pochi errori di calcolo,solo e solo per quello!!!
Ma, dico, a voi sembra giusto?!
Nel primo esercizio (vedi topic Esercizi di analisi superiore) mi ha tolto 5 punti su 10 solo perchè non ho spiegato (ho solo scritto la proposizione) che la convergenza in norma $+oo$ implica la convergenza uniforme quasi dappertutto.
Nel secondo esercizio (sempre vedi topic Esercizi di analisi superiore) mi ha tolto 3 punti su 10 per dei pochi errori di calcolo,solo e solo per quello!!!
Ma, dico, a voi sembra giusto?!
Beh, caro amel, questo è uno scritto di Analisi 3...forse si pretende un po' di più che ad uno scritto di Analisi 1. Ora non so di preciso se hai fatto solo ed esattamente quegli errori, ma credimi che 3 punti su 10 per errori di calcolo mi sa che è stato ancora buono; io gli errori di calcolo li ho sempre pagati molto più cari.
Per Thomas: sì, dovrebbe esserlo, perchè sia $f$ che $g$ hanno derivata debole, ma il punto dell'esercizio era un altro: fare incollare $f$ e $g$ in $0$ in modo da restare in $W^(1,1)(\RR)$.
non capisco Luca, se $h'$ definita come sopra è derivata debole per $h$ (come hai confermato), allora per la definizione data $h$ appartiene a $W^(1,1)(\RR)$...
No, ma sai finchè è il secondo lo posso anche ammettere, ma per quanto riguarda il primo nel quale ho usato una proposizione citata come tale da vari testi (es. analisi 3 di gilardi e analisi 5 di giaquinta e modica) senza scriverne la dimostrazione (mi ha segnato in rosso soltanto quello) mi fa veramente rabbia... Cioè non scrivere quella semplice riga di dimostrazione è un errore (?) da 5 punti ????
Comunque la condizione richiesta del terzo esercizio era cioè che il limite destro di f in zero e il limite sinistro di g in zero fossero uguali... o no?
Comunque la condizione richiesta del terzo esercizio era cioè che il limite destro di f in zero e il limite sinistro di g in zero fossero uguali... o no?
Per Thomas: No, forse mi sono spiegato male. Globalmente non lo è. Lo è separatamente se uno testa con funzioni $C_c^\infty$ a supporto prima o dopo $0$. Ma il problema è proprio lo $0$; le funzioni di $W^(1,1)(\RR)$ sono continue... a meno dell'uguaglianza q.o.
per quanto riguarda la mia domanda, invece (scusa lo sfruttamento)?
ah... mi ero confuso... non avevo realizzato che dovevo fare l'integrale sempre su $R$ per verificare l'essere derivata debole.. e non su $\Omega$ ... 
...
Per amel: sì, mi pare che quello basti. La funzione diventa quindi continua in $x=0$ e direi che quindi sta in $W^(1,1)(\RR)$.
Volevo un vostro parere sull'esattezza o meno di una mia soluzione dell'esercizio:
Esercizio 3
Siano $f in W_1^1(-oo,0), g in W_1^1(0,+oo)$
Sia $h in W_1^1(RR)$ tale che:
$h(t)=f(t)$ per $t in (-oo,0) q.d.$
$h(t)=g(t)$ per $t in (0,+oo) q.d.$.
Indicare a quali condizioni $h in W_1^1(RR)$
Notazione: indicherò per $f^(--)$ un rappresentante continuo di $f$
Soluzione
- Se esiste $h' in ccL^1(RR)$, allora:
$ \ $$ \ $ $h'(t)=f'(t)$ per $t in (-oo,0) q.d.$
$ \ $ $ \ $ $h'(t)=g'(t)$ per $t in (0,+oo) q.d.$
$ \ $ $ \ $Cioè $h'$ è una funzione uguale a quella mostrata q.d. su $RR$\ ${0} $ e così anche q.d. su $RR$
$ \ $$ \ $ Infatti, $AA phi in C_0^oo(RR$\ ${0} )$,
$ \ $ $ \ $ $int_RR h phi' d mu = - int_-oo^0 f phi' d mu - int_0 ^(+oo) g phi' d mu=$ per le ipotesi su f e g
$ \ $ $ \ $ $- int_-oo^0 f' phi d mu - int_0^(+oo) g' phi d mu$
$ \ $$ \ $ Ma anche $int_RR h phi' d mu = - int_RR h' phi d mu$ e così proprio:
$ \ $ $ \ $$- int_RR h' phi d mu=- int_-oo^0 f' phi d mu - int_0^(+oo) g' phi d mu$
- Ora $AA phi in C_0^oo(RR)$:
$ \ $ $ \ $$int_RR h' phi d mu= int_(-oo)^0 f' phi d mu + int_0^(+oo) g' phi d mu=$ per l'integrazione per parti con le dev. deboli
$ \ $ $ \ $ $=[f^(--)(x) phi(x)]_(-oo)^0 - int_-oo^0 f phi' d mu +[g^(--)(x) phi(x)]_0^(+oo)-int_0^(+oo) g phi' d mu=$
$ \ $ $ \ $$=(lim (x->0-) g^(--)(x)-lim (x->0+) f^(--)(x)) phi(0) - int_-oo^0 f phi' d mu-int_0^(+oo) g phi' d mu=$
$ \ $$ \ $ $=(lim (x->0-)g^(--)(x)-lim (x->0+)f^(--)(x)) phi(0) -int_RR h phi' d mu$
$ \ $$ \ $ Se esiste $h' in ccL^1(RR)$ deve essere
$ \ $ $ \ $$int_RR h' phi d mu= -int_RR h phi' d mu$
$ \ $ $ \ $E perciò riprendendo le due uguaglianze:
$ \ $$ \ $$(lim (x->0-)g^(--)(x)-lim (x->0+)f^(--)(x)) phi(0)=0$
$ \ $ $ \ $data l'arbitrarietà di $phi in C_0^oo(RR)$:
$ \ $$ \ $ $lim(x->0-)g^(--)(x)=lim(x->0+)f^(--)(x)$
$ \ $$ \ $ Dunque, la condizione richiesta è che esista almeno una coppia di rappresentanti continui $f^(--)$ e $g^(--)$ rispettivamente di f e di g con $lim(x->0-)g^(--)(x)=lim(x->0+)f^(--)(x)$.
Che dite c'è qualche errore (probabile...)? Se sì dove?
Esercizio 3
Siano $f in W_1^1(-oo,0), g in W_1^1(0,+oo)$
Sia $h in W_1^1(RR)$ tale che:
$h(t)=f(t)$ per $t in (-oo,0) q.d.$
$h(t)=g(t)$ per $t in (0,+oo) q.d.$.
Indicare a quali condizioni $h in W_1^1(RR)$
Notazione: indicherò per $f^(--)$ un rappresentante continuo di $f$
Soluzione
- Se esiste $h' in ccL^1(RR)$, allora:
$ \ $$ \ $ $h'(t)=f'(t)$ per $t in (-oo,0) q.d.$
$ \ $ $ \ $ $h'(t)=g'(t)$ per $t in (0,+oo) q.d.$
$ \ $ $ \ $Cioè $h'$ è una funzione uguale a quella mostrata q.d. su $RR$\ ${0} $ e così anche q.d. su $RR$
$ \ $$ \ $ Infatti, $AA phi in C_0^oo(RR$\ ${0} )$,
$ \ $ $ \ $ $int_RR h phi' d mu = - int_-oo^0 f phi' d mu - int_0 ^(+oo) g phi' d mu=$ per le ipotesi su f e g
$ \ $ $ \ $ $- int_-oo^0 f' phi d mu - int_0^(+oo) g' phi d mu$
$ \ $$ \ $ Ma anche $int_RR h phi' d mu = - int_RR h' phi d mu$ e così proprio:
$ \ $ $ \ $$- int_RR h' phi d mu=- int_-oo^0 f' phi d mu - int_0^(+oo) g' phi d mu$
- Ora $AA phi in C_0^oo(RR)$:
$ \ $ $ \ $$int_RR h' phi d mu= int_(-oo)^0 f' phi d mu + int_0^(+oo) g' phi d mu=$ per l'integrazione per parti con le dev. deboli
$ \ $ $ \ $ $=[f^(--)(x) phi(x)]_(-oo)^0 - int_-oo^0 f phi' d mu +[g^(--)(x) phi(x)]_0^(+oo)-int_0^(+oo) g phi' d mu=$
$ \ $ $ \ $$=(lim (x->0-) g^(--)(x)-lim (x->0+) f^(--)(x)) phi(0) - int_-oo^0 f phi' d mu-int_0^(+oo) g phi' d mu=$
$ \ $$ \ $ $=(lim (x->0-)g^(--)(x)-lim (x->0+)f^(--)(x)) phi(0) -int_RR h phi' d mu$
$ \ $$ \ $ Se esiste $h' in ccL^1(RR)$ deve essere
$ \ $ $ \ $$int_RR h' phi d mu= -int_RR h phi' d mu$
$ \ $ $ \ $E perciò riprendendo le due uguaglianze:
$ \ $$ \ $$(lim (x->0-)g^(--)(x)-lim (x->0+)f^(--)(x)) phi(0)=0$
$ \ $ $ \ $data l'arbitrarietà di $phi in C_0^oo(RR)$:
$ \ $$ \ $ $lim(x->0-)g^(--)(x)=lim(x->0+)f^(--)(x)$
$ \ $$ \ $ Dunque, la condizione richiesta è che esista almeno una coppia di rappresentanti continui $f^(--)$ e $g^(--)$ rispettivamente di f e di g con $lim(x->0-)g^(--)(x)=lim(x->0+)f^(--)(x)$.
Che dite c'è qualche errore (probabile...)? Se sì dove?
Nessuno mi può dare una mano? 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo