Esercizi di Analisi su serie e limiti.
Piovono dal cielo 5 esercizi dal mio corso di analisi 
Gli esercizi 1, 2, 4 sono esercizi sui quali non sono sicuro e vorrei sapere se qualcuno può smentire/confermare le mie affermazioni mentre gli esercizi 3, 5 sono esercizi che non so bene come affrontare. Sarei lieto di avere la vostra opinione ed il vostro aiuto. Grazie per la pazienza.
1) Dimostrare che $e^(x^2+x-1) >= 2x \forall x\in \mathbb R$.
Io ho pensato di procedere così: $e^(x^2+x-1) >= 2x \rArr x^2+x-1 >= log(2x) \rArr x^2+x-1 - log(2x) >= 0$.
Quindi ho cercato i punti stazionari derivando e cercandone gli zeri: $2x+1-1/x=(2x^2+x-1)/x=0 \forall x\in{-1,1/2}$. Inoltre la derivata non è definita per $x=0$.
Analizzando il segno della derivata trovo che $x_1=-1$, $x_2=1/2$ sono due punti di minimo per la funzione. Allora sono andato a valutare la funzione iniziale nei tre punti trovati:
. $e^((-1)^2-1-1)+2=1/e+2=(2e+1)/e>=0$
. $e^((1/2)^2+1/2-1)-1=e^(7/4)+1>=0$
. $e^(0^2+0-1)=1/e>=0$
Quindi essendo $e^(x^2+x-1) -2x >= 0$ nei due punti di minimo allora lo è sempre.
2) Calcolare $\lim_(x\to +\infty) \frac{\int_0^{x^2} e^(sqrt(t))dt}{\int_0^x e^(t^2)dt}$.
Innanzitutto ho verificato che $e^(sqrt(t))$ ed $e^(t^2)$ sono integrabili in quanto funzioni monotone. Dopodichè ho mostrato che:
. $e^(sqrt(t))>=sqrt(t) , \forall t>=0 \rArr lim_{t\to +\infty} e^(sqrt(t))>= lim_{t\to +\infty}sqrt(t) = +\infty$
. $e^(t^2)>=t^2 , \forall t>=0 \rArr lim_{t\to +\infty} e^(t^2)>= lim_{t\to +\infty} t^2 = +\infty$
Quindi $\lim_(x\to +\infty) \frac{\int_0^{x^2} e^(sqrt(t))dt}{\int_0^x e^(t^2)dt} \sim (+\infty)/(+\infty)$.
Ho applicato allora De l'Hopital in quanto tutte le condizioni per l'applicazione sono soddisfatte:
$\lim_(x\to +\infty) \frac{e^(sqrt(x^2))-1}{e^(x^2)-1} = \lim_(x\to +\infty) \frac{e^x(1-1/(e^x))}{e^(x^2)(1-1/(e^(x^2)))} = \lim_(x\to +\infty) \frac{1-1/(e^x)}{e^x(1-1/(e^(x^2)))} = 0$.
3) Dimostrare che $\sum_{n=1}^\infty 1/n sen(x/n)$ è di classe $C^1$ nell'intervallo di convergenza.
Ho cercato l'intervallo di convergenza con il metodo del rapporto:
$lim_{n\to +\infty} \frac{|1/(n+1)sen(x/(n+1))|}{|1/n sen (x/n)|} = lim_{n\to +\infty} |n/(n+1)| |(sen(x/(n+1)))/(sen(x/n))| = 1$, quindi il criterio non è efficace.
Ho provato anche ad osservare che $\sum_{n=1}^\infty 1/n sen(x/n) <= \sum_{n=1}^\infty 1/n$ ma anche questo non da risultato alcuno in quanto la serie con cui maggioro è divergente. Quindi non so proprio che pesci pigliare per trovare i valori di $x$ per cui la serie converge.
4) Dimostrare che $\sum_{n=1}^\infty (cos(nx))/(n^3)$ è di classe $C^1$ nell'intervallo di convergenza.
Ho notato che l'argomento della serie è del tipo $a_n b_n$ con $a_n$ serie monotona decrescente e convergente e $b_n$ limitata. Quindi la serie converge $\forall x\in \mathbb R$.
Quindi ho utilizzato il criterio di convergenza totale di Weierstrass, $\sum_{n=1}^\infty e.s._(\mathbb R)(cos(nx))/(n^3) = \sum_{n=1}^\infty 1/(n^3)$.
La serie di funzioni converge quindi totalmente ad una funzione continua e derivabile, quindi è anch'essa continua e derivabile (quindi di classe $C^1$).
Nota: $e.s._(\mathbb R)$ sta per l'estremo superiore su $\mathbb R$ in quando scrivendo "sup" esce questo simbolo $sup$.
5) Calcolare $lim_{x\to +\infty} \frac{(x+1)^\alpha-(x-1)^\alpha}{x}$ sapendo che $\alpha \in \mathbb R^+$.
Sembrava un esercizio perfetto per la risolzione con Taylor ma la tendenza è a $+\infty$ e non a $0$...
Ho notato che al numeratore, sviluppando i binomi, i termini di grado $\alpha$ si annullano sempre tra loro, quindi il termine notevole rimane $2\alphax^(\alpha-1)$. In questo caso potrei raccoglierlo forzatamente al numeratore e notare che:
. Se $\alpha-1<1 \rArr \alpha<2$ allora il limite tende a $0$.
. Se $\alpha-1=1 \rArr \alpha=2$ allora il limite tende a $4$.
. Se $\alpha-1>=1 \rArr \alpha >= 2$ allora il limite tende a $+\infty$.
Sono vere queste considerazioni?
Gli esercizi 1, 2, 4 sono esercizi sui quali non sono sicuro e vorrei sapere se qualcuno può smentire/confermare le mie affermazioni mentre gli esercizi 3, 5 sono esercizi che non so bene come affrontare. Sarei lieto di avere la vostra opinione ed il vostro aiuto. Grazie per la pazienza.
1) Dimostrare che $e^(x^2+x-1) >= 2x \forall x\in \mathbb R$.
Io ho pensato di procedere così: $e^(x^2+x-1) >= 2x \rArr x^2+x-1 >= log(2x) \rArr x^2+x-1 - log(2x) >= 0$.
Quindi ho cercato i punti stazionari derivando e cercandone gli zeri: $2x+1-1/x=(2x^2+x-1)/x=0 \forall x\in{-1,1/2}$. Inoltre la derivata non è definita per $x=0$.
Analizzando il segno della derivata trovo che $x_1=-1$, $x_2=1/2$ sono due punti di minimo per la funzione. Allora sono andato a valutare la funzione iniziale nei tre punti trovati:
. $e^((-1)^2-1-1)+2=1/e+2=(2e+1)/e>=0$
. $e^((1/2)^2+1/2-1)-1=e^(7/4)+1>=0$
. $e^(0^2+0-1)=1/e>=0$
Quindi essendo $e^(x^2+x-1) -2x >= 0$ nei due punti di minimo allora lo è sempre.
2) Calcolare $\lim_(x\to +\infty) \frac{\int_0^{x^2} e^(sqrt(t))dt}{\int_0^x e^(t^2)dt}$.
Innanzitutto ho verificato che $e^(sqrt(t))$ ed $e^(t^2)$ sono integrabili in quanto funzioni monotone. Dopodichè ho mostrato che:
. $e^(sqrt(t))>=sqrt(t) , \forall t>=0 \rArr lim_{t\to +\infty} e^(sqrt(t))>= lim_{t\to +\infty}sqrt(t) = +\infty$
. $e^(t^2)>=t^2 , \forall t>=0 \rArr lim_{t\to +\infty} e^(t^2)>= lim_{t\to +\infty} t^2 = +\infty$
Quindi $\lim_(x\to +\infty) \frac{\int_0^{x^2} e^(sqrt(t))dt}{\int_0^x e^(t^2)dt} \sim (+\infty)/(+\infty)$.
Ho applicato allora De l'Hopital in quanto tutte le condizioni per l'applicazione sono soddisfatte:
$\lim_(x\to +\infty) \frac{e^(sqrt(x^2))-1}{e^(x^2)-1} = \lim_(x\to +\infty) \frac{e^x(1-1/(e^x))}{e^(x^2)(1-1/(e^(x^2)))} = \lim_(x\to +\infty) \frac{1-1/(e^x)}{e^x(1-1/(e^(x^2)))} = 0$.
3) Dimostrare che $\sum_{n=1}^\infty 1/n sen(x/n)$ è di classe $C^1$ nell'intervallo di convergenza.
Ho cercato l'intervallo di convergenza con il metodo del rapporto:
$lim_{n\to +\infty} \frac{|1/(n+1)sen(x/(n+1))|}{|1/n sen (x/n)|} = lim_{n\to +\infty} |n/(n+1)| |(sen(x/(n+1)))/(sen(x/n))| = 1$, quindi il criterio non è efficace.
Ho provato anche ad osservare che $\sum_{n=1}^\infty 1/n sen(x/n) <= \sum_{n=1}^\infty 1/n$ ma anche questo non da risultato alcuno in quanto la serie con cui maggioro è divergente. Quindi non so proprio che pesci pigliare per trovare i valori di $x$ per cui la serie converge.
4) Dimostrare che $\sum_{n=1}^\infty (cos(nx))/(n^3)$ è di classe $C^1$ nell'intervallo di convergenza.
Ho notato che l'argomento della serie è del tipo $a_n b_n$ con $a_n$ serie monotona decrescente e convergente e $b_n$ limitata. Quindi la serie converge $\forall x\in \mathbb R$.
Quindi ho utilizzato il criterio di convergenza totale di Weierstrass, $\sum_{n=1}^\infty e.s._(\mathbb R)(cos(nx))/(n^3) = \sum_{n=1}^\infty 1/(n^3)$.
La serie di funzioni converge quindi totalmente ad una funzione continua e derivabile, quindi è anch'essa continua e derivabile (quindi di classe $C^1$).
Nota: $e.s._(\mathbb R)$ sta per l'estremo superiore su $\mathbb R$ in quando scrivendo "sup" esce questo simbolo $sup$.
5) Calcolare $lim_{x\to +\infty} \frac{(x+1)^\alpha-(x-1)^\alpha}{x}$ sapendo che $\alpha \in \mathbb R^+$.
Sembrava un esercizio perfetto per la risolzione con Taylor ma la tendenza è a $+\infty$ e non a $0$...
Ho notato che al numeratore, sviluppando i binomi, i termini di grado $\alpha$ si annullano sempre tra loro, quindi il termine notevole rimane $2\alphax^(\alpha-1)$. In questo caso potrei raccoglierlo forzatamente al numeratore e notare che:
. Se $\alpha-1<1 \rArr \alpha<2$ allora il limite tende a $0$.
. Se $\alpha-1=1 \rArr \alpha=2$ allora il limite tende a $4$.
. Se $\alpha-1>=1 \rArr \alpha >= 2$ allora il limite tende a $+\infty$.
Sono vere queste considerazioni?
Risposte
Mi permetto di uppare. Mi basta una risposta anche su uno solo dei cinque, non vi impongo di leggere tutto 
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