Esercizi di analisi matematica
Qualcuno mi aiuta con questi esercizi?
1) Utilizzando la definizione di limite provare che risulta
$lim_{x->+oo} 1/(e^(x^2)+1) = 0$
2) Si consideri la funzione
$f(x) = ln(1+alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = beta+sin(x)$ se $x <= 0$
determinare $alpha$ e $beta$ in modo tale che $f$ risulti derivabile
3) Utilizzando la formula di Taylor calcolare il seguente limite
$lim_{x->0} (sin x/x)^(1/(x sin x))$
4) Si calcoli il seguente integrale indefinito:
$int cos(ln x) dx$
1) Utilizzando la definizione di limite provare che risulta
$lim_{x->+oo} 1/(e^(x^2)+1) = 0$
2) Si consideri la funzione
$f(x) = ln(1+alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = beta+sin(x)$ se $x <= 0$
determinare $alpha$ e $beta$ in modo tale che $f$ risulti derivabile
3) Utilizzando la formula di Taylor calcolare il seguente limite
$lim_{x->0} (sin x/x)^(1/(x sin x))$
4) Si calcoli il seguente integrale indefinito:
$int cos(ln x) dx$
Risposte
Continuo il secondo esercizio correggendo l'errore di derivazione
Ero giunto ad ottenere $beta = 0$, della funzione
$f(x) = ln(1+alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = beta+sin(x)$ se $x <= 0$
Ora la derivo in:
$f(x) = x/(1 + alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = cos(x)$ se $x <= 0$
La derivata è corretta?
Ne faccio quindi i limiti
$lim_{x->0^+} x/(1 + alphax) = 0$
$lim_{x->0^-} cos(x) = 1$
$0 = 1$ ? Cosa ho sbagliato?
Vi prego aiutatemi.. come avrei dovuto fare?
Grazie
Ero giunto ad ottenere $beta = 0$, della funzione
$f(x) = ln(1+alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = beta+sin(x)$ se $x <= 0$
Ora la derivo in:
$f(x) = x/(1 + alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = cos(x)$ se $x <= 0$
La derivata è corretta?
Ne faccio quindi i limiti
$lim_{x->0^+} x/(1 + alphax) = 0$
$lim_{x->0^-} cos(x) = 1$
$0 = 1$ ? Cosa ho sbagliato?
Vi prego aiutatemi.. come avrei dovuto fare?
Grazie
"domy":
Continuo il secondo esercizio correggendo l'errore di derivazione
Ero giunto ad ottenere $beta = 0$, della funzione
$f(x) = ln(1+alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = beta+sin(x)$ se $x <= 0$
Ora la derivo in:
$f(x) = x/(1 + alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = cos(x)$ se $x <= 0$
La derivata è corretta?
Ne faccio quindi i limiti
$lim_{x->0^+} x/(1 + alphax) = 0$
$lim_{x->0^-} cos(x) = 1$
$0 = 1$ ? Cosa ho sbagliato?
Grazie
Hai di nuovo sbagliato la derivata $f(x) = ln(1+alphax) -> f'(x) = alpha/(1 + alphax)$
quindi calcolando i limiti
$lim_{x->0^+} alpha/(1 + alphax) = alpha$
$lim_{x->0^-} cos(x) = 1$
ottieni
$alpha = 1$
"amelia":
Hai di nuovo sbagliato la derivata $f(x) = ln(1+alphax) -> f'(x) = alpha/(1 + alphax)$
quindi calcolando i limiti
$lim_{x->0^+} alpha/(1 + alphax) = alpha$
$lim_{x->0^-} cos(x) = 1$
ottieni
$alpha = 1$
Quindi per far sì che la funzione sia derivabile $alpha$ deve valere $1$ e $beta$ deve valere $0$?
Si procede con lo stesso procedimento per ogni esercizio dello stesso genere? Ci sono dei casi particolari?
"Camillo":
La prima disequazione è sempre verificata.
Nella seconda attenzione che il logaritmo della differenza non è la differnza dei logaritmi .
Partiamo quindi da
$ e^(x^2) > 1/epsilon -1 $
da cui
$x^2 > ln(1/epsilon -1) =ln( (1-epsilon)/epsilon) $
e infine $ x > sqrt(ln((1-epsilon)/epsilon))$ e anche $x < -sqrt(ln((1-epsilon)/epsilon)) $ .
Consideriamo il primo risultato : a noi interessa quando $ epsilon $ è piccolo, quindi l'espressione $(1-epsilon)/epsilon) $ è positiva e maggiore di 1 .Bene $x $ deve essere maggiore di quel valore ed allora è stato proprio definito un intorno di $+oo$ (che non significa altro che $x >$ di un valore qualunque .
La'ltro risultato è un intorno di $-oo$ ; vuol quindi dire che anche per $ x rarr -oo$ la funzione tende a $0$.
Non ho capito l'interpretazione dei risultati
Perché "un intorno di $+oo$ non significa altro che $x >$ di un valore qualunque"?
Qualcuno sarebbe così gentile da farmi chiarezza su cosa fare una volta risolto il sistema in questo genere di esercizi?
Gliene sarei molto grato.. è davvero importante per me.
Ciao
"domy":
[quote="amelia"]Hai di nuovo sbagliato la derivata $f(x) = ln(1+alphax) -> f'(x) = alpha/(1 + alphax)$
quindi calcolando i limiti
$lim_{x->0^+} alpha/(1 + alphax) = alpha$
$lim_{x->0^-} cos(x) = 1$
ottieni
$alpha = 1$
Quindi per far sì che la funzione sia derivabile $alpha$ deve valere $1$ e $beta$ deve valere $0$?
Si procede con lo stesso procedimento per ogni esercizio dello stesso genere? Ci sono dei casi particolari?[/quote]
Se posso permettermi di darti un consiglio...
Non ti conviene ragionare "meccanicamente" su procedimenti standard, schemini e quant'altro: ti conviene assimilare bene la teoria che è alla base (il concetto di continuità e derivabilità, nella fattispecie), altrimenti rischi di perderti quando ti viene assegnato un esercizio che si discosta leggermente da quelli che sei stata abituata a risolvere.
Io sarei tentato di dirti che ogni esercizio è a se stante, che tutto dipende dalla funzione che ti viene assegnata, che è buona abitudine "guardarla" e capire bene cosa ti viene richiesto prima di tuffarti a calcolare limiti derivate ecc.
Affrontare la "pratica" consapevolmente, in maniera tale da sapere COSA stai facendo e PERCHE' ad ogni passaggio: in quest'ottica i casi particolari non esistono !
"Mezcalito":[/quote]
[quote="domy"]
Se posso permettermi di darti un consiglio...
Non ti conviene ragionare "meccanicamente" su procedimenti standard, schemini e quant'altro: ti conviene assimilare bene la teoria che è alla base (il concetto di continuità e derivabilità, nella fattispecie), altrimenti rischi di perderti quando ti viene assegnato un esercizio che si discosta leggermente da quelli che sei stata abituata a risolvere.
Io sarei tentato di dirti che ogni esercizio è a se stante, che tutto dipende dalla funzione che ti viene assegnata, che è buona abitudine "guardarla" e capire bene cosa ti viene richiesto prima di tuffarti a calcolare limiti derivate ecc.
Affrontare la "pratica" consapevolmente, in maniera tale da sapere COSA stai facendo e PERCHE' ad ogni passaggio: in quest'ottica i casi particolari non esistono !
Grazie per il consiglio
PS comunque sono maschio, domy è il nome con il quale mi chiama sempre la mia raga..
"domy":
Non ho capito l'interpretazione dei risultati
Perché "un intorno di $+oo$ non significa altro che $x >$ di un valore qualunque"?
Qualcuno sarebbe così gentile da farmi chiarezza su cosa fare una volta risolto il sistema in questo genere di esercizi?
Gliene sarei molto grato.. è davvero importante per me.
Ciao
Ci provo
Sei davanti ad una VERIFICA del limite (non devi calcolartelo da te, sai già quanto vale e questo è un bene
):$lim_{x \to x_0}f(x) = L$
Applichi la definizione di limite e ti chiedi:
se faccio variare la $f(x)$ tra $L + \epsilon$ e $L - \epsilon$ mi ritrovo effettivamente in un intorno di $x_0$ ? E mi ci ritrovo a prescindere da quanto piccolo scelgo $\epsilon$?
Nel nostro caso il tuo $x_0$ è $+\infty$: un intorno di $+\infty$, per definizione*, è un intervallo aperto contenente $+\infty$, cioè un intervallo nella forma $(M; +\infty)$ per qualche $M \in RR$.
Dopo aver impostato il tuo sistemino ti ritrovi davanti questa soluzione:
$x > \sqrt(\ln((1-\epsilon)/ \epsilon)) \quad \U \quad x < - \sqrt(\ln((1-\epsilon)/ \epsilon))
Che intorni sono ?
Il primo lo puoi indicare come $(\sqrt(\ln((1-\epsilon)/ \epsilon)); +\infty)$ e per quanto detto sopra è proprio un intorno di $+\infty$. Il tuo $M$ non è fisso ma è funzione di $\epsilon$: l'ampiezza varia a seconda della scelta dell' $\epsilon$, ma rimane un intorno di $+\infty$.
Analogamente, potendolo scrivere come $(-\infty, - \sqrt(\ln((1-\epsilon)/ \epsilon)))$, il secondo è un intorno di $-\infty$.
Hai verificato il tuo limite e hai ottenuto un'informazione aggiuntiva: facendo tendere $x$ a $-\infty$ hai lo stesso risultato, cioè puoi scrivere
$lim_{x \to \pm\infty}1/(e^(x^2)+1)= 0$
Concludo con un esempio che forse può chiarirti ancora di più le idee:
Verifichiamo che $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$
Applichiamo la definizione di limite:
$|x^2 - 0| = | x^2 | = x^2 < \epsilon \quad$ da cui $\quad -\sqrt(\epsilon)
è chiaro che la soluzione, fissato un $\epsilon$ "piccolo a piacere", mi restituisce comunque un intorno di 0.
Prova a vedere che succede se cambi il valore del limite, cioè se cerchi di provare che
$lim_{x \to 0} x^2 = 1$
[size=75]* oddio... esistono definizioni migliori, ma questa è molto più intuitiva per cui passamela per buona ^_^[/size]
PS: scusami per lo scambio di genere
"Mezcalito":
Ci provo
Grazie mille per la spiegazione!
Sei stato chiarissimo
Domenico
"f.bisecco":
Il 4° prova per parti come $1*cos(lnx)$
Intendi che dovrei integrare $int cos(ln x) dx$ tramite l'integrazione per parti di $int 1*cos(ln x) dx$?
Mi viene fuori: $int 1*cos(ln x) dx = cos(ln x) x - int(x) * (-sin(ln x)/x) = cos(ln x) x + (x^2 sin(ln x))/2x + c$.
Ma provando a derivare $cos(ln x) x + (x^2 sin(ln x))/2x + c$ non sembra uscire $1*cos(ln x)$.
Cosa intendevi per derivare per parti come $1*cos(lnx)$?
Come dovrei risolvere l'integrare?
Vi ringrazio,
Domenico
"domy":
[quote="f.bisecco"]Il 4° prova per parti come $1*cos(lnx)$
Intendi che dovrei integrare $int cos(ln x) dx$ tramite l'integrazione per parti di $int 1*cos(ln x) dx$?
Mi viene fuori: $int 1*cos(ln x) dx = cos(ln x) x - int(x) * (-sin(ln x)/x) = cos(ln x) x + (x^2 sin(ln x))/2x + c$.
Ma provando a derivare $cos(ln x) x + (x^2 sin(ln x))/2x + c$ non sembra uscire $1*cos(ln x)$.
Cosa intendevi per derivare per parti come $1*cos(lnx)$?
Come dovrei risolvere l'integrare?
Vi ringrazio,
Domenico[/quote]
Attenzione:
$int 1*cos(lnx) dx = x cos(lnx) - int x (-sin(lnx)/x)dx = x cos(lnx) + int sin(lnx)dx = x cos(lnx) + int 1*sin(lnx)dx
Integriamo di nuovo per parti:
$int cos(lnx)dx = x cos(lnx) + x sin(lnx) - int x cos(lnx)/x = x cos(lnx) + x sin(lnx) - int cos(lnx)dx$
A questo punto puoi scrivere
$2 int cos(lnx) dx = x cos(lnx) + x sin(lnx) \quad$ da cui $\quad int cos(lnx)dx = x/2 cos(lnx) + x/2 sin(lnx) + c$
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