Esercizi di analisi matematica
Qualcuno mi aiuta con questi esercizi?
1) Utilizzando la definizione di limite provare che risulta
$lim_{x->+oo} 1/(e^(x^2)+1) = 0$
2) Si consideri la funzione
$f(x) = ln(1+alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = beta+sin(x)$ se $x <= 0$
determinare $alpha$ e $beta$ in modo tale che $f$ risulti derivabile
3) Utilizzando la formula di Taylor calcolare il seguente limite
$lim_{x->0} (sin x/x)^(1/(x sin x))$
4) Si calcoli il seguente integrale indefinito:
$int cos(ln x) dx$
1) Utilizzando la definizione di limite provare che risulta
$lim_{x->+oo} 1/(e^(x^2)+1) = 0$
2) Si consideri la funzione
$f(x) = ln(1+alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = beta+sin(x)$ se $x <= 0$
determinare $alpha$ e $beta$ in modo tale che $f$ risulti derivabile
3) Utilizzando la formula di Taylor calcolare il seguente limite
$lim_{x->0} (sin x/x)^(1/(x sin x))$
4) Si calcoli il seguente integrale indefinito:
$int cos(ln x) dx$
Risposte
Prova a postare tu una soluzione..
Per il 1° devi utilizzare la definizione di limite a $+oo$ che la trovi su qualsiasi libro di analisi se non la ricordi..
Per il 2° devi prima imporre che la funzione sia continua quindi fare il limite per $x$ che tende a $0^+$ e a $0^-$ ed uguagliare i due risultati e troverai $beta$. Successivamente dovrai derivare la funzione e fare di nuovo i due limiti e troverai $alpha$.
Il 3° basta ricopiare lo sviluppo di taylor del seno fermandoti....
Il 4° prova per parti come $1*cos(lnx)$
Per il 1° devi utilizzare la definizione di limite a $+oo$ che la trovi su qualsiasi libro di analisi se non la ricordi..
Per il 2° devi prima imporre che la funzione sia continua quindi fare il limite per $x$ che tende a $0^+$ e a $0^-$ ed uguagliare i due risultati e troverai $beta$. Successivamente dovrai derivare la funzione e fare di nuovo i due limiti e troverai $alpha$.
Il 3° basta ricopiare lo sviluppo di taylor del seno fermandoti....
Il 4° prova per parti come $1*cos(lnx)$
"f.bisecco":
Per il 1° devi utilizzare la definizione di limite a $+oo$ che la trovi su qualsiasi libro di analisi se non la ricordi..
Allora ci provo..
Ho trovato la definizione:
Diciamo che il limite di $f(x)$ per $x$ che tende ad $oo$ vale $l$, in simboli
$lim_{x->oo} f(x)=l$
se comunque si prende $epsilon>0$ esiste un intorno $I(oo)$ completo di infinito in modo tale che per ogni $x in I(oo)$ si ha:
$| f(x)-l |<epsilon$
o in maniera equivalente
$l-epsilon< f(x)< l+epsilon$Quindi per dimostrare che $lim_{x->+oo} 1/(e^(x^2)+1) = 0$ devo mostrare che comunque prendo una $epsilon > 0$ c'è un intorno $I(oo)$ tale che per ogni $x$ nell'intorno valga $0 - epsilon < 1/(e^(x^2)+1) < 0 + epsilon$. Giusto?
Cioè devo risolvere il sistema:
${(-epsilon < 1/(e^(x^2)+1)), (1/(e^(x^2)+1)
Fin qui vado bene?
Il sistema non è semplicissimo.. nella prima disequazione,
$-epsilon < 1/(e^(x^2)+1)$,
come porto $e^(x^2)$ al numeratore?
Se scrivo:
$-epsilon < (e^(x^2)+1)^-1$
poi come sviluppo la potenza a $-1$?
Non so il livello di cose stupide che ho detto.. ma vi prego, correggetemi ed aiutatemi, ne ho bisogno!
guarda che i denominatori sono positivi, quindi puoi semplicemente moltiplicare per il denominatore anche se si tratta di disequazioni
"amelia":
guarda che i denominatori sono positivi, quindi puoi semplicemente moltiplicare per il denominatore anche se si tratta di disequazioni
Vero, scusa.. quindi:
${(-epsilon < 1/(e^(x^2)+1)), (1/(e^(x^2)+1)
procedo con:
${(-epsilon e^(x^2)-epsilon<1),(1
${(-epsilon e^(x^2)-epsilon<1),(epsilon e^(x^2)+epsilon>1):}$
Mmmh.. è giusto proseguire come segue:
${(-x^2-log_{epsilon e}(epsilon)<0),(x^2+log_{epsilon e}(epsilon)>0):}$
Aiuto.. Non so se quello che ho scritto ha senso.
Come si deve risolvere?
"domy":
Mmmh.. è giusto proseguire come segue:
${(-x^2-log_{epsilon e}(epsilon)<0),(x^2+log_{epsilon e}(epsilon)>0):}$
mmmh... attenzione alla base e attenzione al fatto che il logaritmo della differenza non è la differenza dei logaritmi...
Se parti da qui:
${(-epsilon e^(x^2)-epsilon<1),(epsilon e^(x^2)+epsilon>1):}$
puoi "isolare" le esponenziali in questo modo:
${(-e^(x^2)<(1+epsilon)/(epsilon)),(e^(x^2)>(1-epsilon)/(epsilon)):}
cioè
${(e^(x^2) > - (1+epsilon)/(epsilon)),(e^(x^2)>(1-epsilon)/(epsilon)):}
Osserva bene la prima disequazione e passa ai logaritmi nella seconda
"Mezcalito":
puoi "isolare" le esponenziali in questo modo:
${(-e^(x^2)<(1+epsilon)/(epsilon)),(e^(x^2)>(1-epsilon)/(epsilon)):}
cioè
${(e^(x^2) > - (1+epsilon)/(epsilon)),(e^(x^2)>(1-epsilon)/(epsilon)):}
Osserva bene la prima disequazione e passa ai logaritmi nella seconda
Mmh, allora.. nella prima disequazione, dato che $epsilon$ è strettamente positivo anche $(1+epsilon)/epsilon$ è strettamente positivo e quindi col $-$ strettamente negativo. Dato che $e^(x^2)$ è sempre positivo, la prima disequazione è sempre vera, giusto?
Nella seconda invece come faccio? Dovrei ridurre tutto alla stessa base.. prendo $e$.
Quindi mi verrebbe: $log_e e^(x^2) > log_e (1-epsilon)/epsilon$
O forse è meglio trasformare la disequazione in $e^(x^2) > 1/epsilon - 1$? e quindi poi ottenere $log_e e^(x^2) > log_e 1/epsilon$ e dopo $x^2 > log_e 1/epsilon$?
Non so se i procedimenti sono stati corretti, ma supponendo che lo siano, una volta giunto a questo sistema, con soluzione della prima disequazione uguale a tutto $R$ e con seconda disequazione $x^2 > log_e 1/epsilon$ come procedo per dimostrare che il limite è corretto?
Aiutatemi vi prego.. ho bisogno di capire
"f.bisecco":
Per il 2° devi prima imporre che la funzione sia continua quindi fare il limite per $x$ che tende a $0^+$ e a $0^-$ ed uguagliare i due risultati e troverai $beta$. Successivamente dovrai derivare la funzione e fare di nuovo i due limiti e troverai $alpha$.
La funzione era
$f(x) = ln(1+alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = beta+sin(x)$ se $x <= 0$
Quindi devo fare:
$lim_{x->0^+} ln(1 + alphax) = 0$ giusto?
Poi:
$lim_{x->0^-} beta+sin(x) = beta$
e devo uguagliare i risultati, quindi $beta = 0$. Tutto corretto fin qui?
Come mai ho dovuto fare questi passaggi? Per imporre che la funzione fosse continua in quel punto zero?
Ora devo derivarla e uguagliare i limiti per imporre che sia derivabile, giusto?
La derivata della funzione dovrebbe essere:
$f(x) = 1/(1 + alphax)$ se $x > 0$
$f(x) = cos(x)$ se $x <= 0$
Quindi calcolo i limiti:
$lim_{x->0^+} 1/(1 + alphax) = 1$
$lim_{x->0^-} cos(x) = 1$
Quindi $1 = 1$ è già verificato.. la soluzione quale è?
Da quanto ho capito.. $beta$ deve essere $0$ ma $alpha$ può assumere qualsiasi valore?
Grazie delle risposte.. ne ho bisogno!
Non sono bravo in mate..
ma ho voglia di imparare.. 
La prima disequazione è sempre verificata.
Nella seconda attenzione che il logaritmo della differenza non è la differnza dei logaritmi .
Partiamo quindi da
$ e^(x^2) > 1/epsilon -1 $
da cui
$x^2 > ln(1/epsilon -1) =ln( (1-epsilon)/epsilon) $
e infine $ x > sqrt(ln((1-epsilon)/epsilon))$ e anche $x < -sqrt(ln((1-epsilon)/epsilon)) $ .
Consideriamo il primo risultato : a noi interessa quando $ epsilon $ è piccolo, quindi l'espressione $(1-epsilon)/epsilon) $ è positiva e maggiore di 1 .Bene $x $ deve essere maggiore di quel valore ed allora è stato proprio definito un intorno di $+oo$ (che non significa altro che $x >$ di un valore qualunque .
La'ltro risultato è un intorno di $-oo$ ; vuol quindi dire che anche per $ x rarr -oo$ la funzione tende a $0$.
Nella seconda attenzione che il logaritmo della differenza non è la differnza dei logaritmi .
Partiamo quindi da
$ e^(x^2) > 1/epsilon -1 $
da cui
$x^2 > ln(1/epsilon -1) =ln( (1-epsilon)/epsilon) $
e infine $ x > sqrt(ln((1-epsilon)/epsilon))$ e anche $x < -sqrt(ln((1-epsilon)/epsilon)) $ .
Consideriamo il primo risultato : a noi interessa quando $ epsilon $ è piccolo, quindi l'espressione $(1-epsilon)/epsilon) $ è positiva e maggiore di 1 .Bene $x $ deve essere maggiore di quel valore ed allora è stato proprio definito un intorno di $+oo$ (che non significa altro che $x >$ di un valore qualunque .
La'ltro risultato è un intorno di $-oo$ ; vuol quindi dire che anche per $ x rarr -oo$ la funzione tende a $0$.
Nel secondo esercizio non hai derivato correttamente la funzione $ ln(1+alphax) $ , hai dimenticato che è una funzione composta...
ciao a tutti
ho problemi con questo limite, banale tra l'altro ma mi sfugge qualcosa nei passaggi.
se potete dargli un'occhiata ne sarei lieto.
ps : non de l'hopital! (ancora col programma non ci siamo arrivati)
grazie
lim di x che tende a infinito di radice cubica di (x-4) - radice cubica di x
ho problemi con questo limite, banale tra l'altro ma mi sfugge qualcosa nei passaggi.
se potete dargli un'occhiata ne sarei lieto.
ps : non de l'hopital! (ancora col programma non ci siamo arrivati)
grazie
lim di x che tende a infinito di radice cubica di (x-4) - radice cubica di x
"gio86":
ciao a tutti
ho problemi con questo limite, banale tra l'altro ma mi sfugge qualcosa nei passaggi.
se potete dargli un'occhiata ne sarei lieto.
ps : non de l'hopital! (ancora col programma non ci siamo arrivati)
grazie
lim di x che tende a infinito di radice cubica di (x-4) - radice cubica di x
Per calcolare
$lim_(x->oo) (root3 (x-4) -root3 x)$ per prima cosa devi razionalizzare, moltiplicando numeratore e denominatore per $root3 ((x-4)^2) + root3 (x(x-4))+root3 (x^2)$, ottieni $lim_(x->oo) (x-4 -x)/(root3 ((x-4)^2) + root3 (x(x-4))+root3 (x^2))=lim_(x->oo) -4/(root3 ((x-4)^2) + root3 (x(x-4))+root3 (x^2))=0$
non ho capito bene il passaggio che ha effettuato per la razionalizzazione.
io ho provato a scomporre questo limite che altro non è di una differenza in una differenza tra limiti.
credo che sia possibile farlo giusto?
così il primo che sarebbe radice cubica di x-4
lo moltiplico per radice cubica di (x-4)^2
così il numeratore è fuori dalla radice.
ora il problema è al denominatore ovvero con la radice 3 di (x-4)^2
Che confusione
scusate
io ho provato a scomporre questo limite che altro non è di una differenza in una differenza tra limiti.
credo che sia possibile farlo giusto?
così il primo che sarebbe radice cubica di x-4
lo moltiplico per radice cubica di (x-4)^2
così il numeratore è fuori dalla radice.
ora il problema è al denominatore ovvero con la radice 3 di (x-4)^2
Che confusione
scusate
"gio86":
non ho capito bene il passaggio che ha effettuato per la razionalizzazione.
io ho provato a scomporre questo limite che altro non è di una differenza in una differenza tra limiti.
credo che sia possibile farlo giusto?
così il primo che sarebbe radice cubica di x-4
lo moltiplico per radice cubica di (x-4)^2
così il numeratore è fuori dalla radice.
ora il problema è al denominatore ovvero con la radice 3 di (x-4)^2
Che confusione
scusate
Il fattore razionalizzante corretto è quello che ti ha mostrato amelia e discende dalla scomposizione del "falso cubo":
$(a^3 - b^3) = (a - b) (a^2 + ab + b^2)$
per lo stesso principio
$(a - b) = (root(3)(a) - root(3)(b))(root(3)(a^2) + root(3)(ab) + root(3)(b^2))$
nel tuo caso $(root(3)(a^2) + root(3)(ab) + root(3)(b^2))$ = $(root(3)((x-4)^2) + root(3)(x(x-4)) + root(3)(x^2))$
fatto!!!!
complimenti per la serietà del forum e degli utenti che ne fanno parte!
un grazie particolare ad amelia ed a mezcalito!
complimenti per la serietà del forum e degli utenti che ne fanno parte!
un grazie particolare ad amelia ed a mezcalito!
qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come si svolge passo dopo passo l'esercizio sui limiti di successioni?
esercizio:
trovare il più piccolo valore di q per cui il limite per n che tende ad infinito della seguente successione a sia finito e diverso da zero, trovare poi tale limite.
a = simbolo della sommatoria^n
n k=4 (1/2)^k-1 + 1/n^q simbolo della sommatoria^n
k=2 (1+ 1/2 k)
spero in una risposta
grazie
n
esercizio:
trovare il più piccolo valore di q per cui il limite per n che tende ad infinito della seguente successione a sia finito e diverso da zero, trovare poi tale limite.
a = simbolo della sommatoria^n
n k=4 (1/2)^k-1 + 1/n^q simbolo della sommatoria^n
k=2 (1+ 1/2 k)
spero in una risposta
grazie
n
Apri un nuovo thread e guarda
https://www.matematicamente.it/f/mathml- ... t6287.html
Ho scippato il lavoro ai mods
https://www.matematicamente.it/f/mathml- ... t6287.html
Ho scippato il lavoro ai mods
eccomi di nuovo...
continuo ad esercitarmi e mi sono bloccato...
il limite è il seguente, spero di essere chiaro:
.........................lim e^x - cosx
.......................t->0 '''''''''''''''''''''''''"""
..............................ln(1+x) - senx
(il simbolo '''''''''' sta ad indicare la linea di frazione)
(il simbolo ....... è un elemento solo di grafica per poter avere un anteprima il + possibile comprensibile)
il procedimento che adotto io è il seguente:
........................e^x........cosx
........................'''''''''...-...''''''''''''
..........................x .............x
...........lim ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
............x-0 ln(1+x)^1/x - senx
.....................................''''''''''''
.......................................x
praticamente ho moltiplicato e diviso per 1/x
al denominatore del limite ho due limiti notecoli che
fanno diventare il denominatore nella forma 1 - 1 = 0
al numeratore vedo subito che mi va a 0 portandomi tutto
il linite nella forma indeterminata 0/0 !!!!!!
grazie in anticipo!!!!
saluti
ci sono riuscito raga!!!
e da solo.. sono felicissimo!
vuol dire che poi non sono tanto a terra!
cmq l'ho risolto sostituendo a 1/x la t
il resto viene da se!
il risultato è + infinito
ciao
alla prossima
ho da risolvere questa equazione in numeri complessi:
z^4 - 2(1+i)z^2 + 4i
pongo z^2 = t
risolvo la equazione di secondo grado e nel radicando trovo -12 i
applico la regola di estrazione di radice con risultati per k=0,1 dato che è una radice di indice 2.
il +- davanti alla radice della formula della eq di grado secondo mi indica che ci sono 2 soluzioni come ovviamente deve essere... ma se sostituisco al k prima 0 e poi 1 diventano in tutto 4.
e quando questi 4 valori della t li sostituisco alla
z^2=t
non capisco
ma la mia equazione nel campo dei complessi non dovrebbe avere in tutto 4 soluzioni?
z^4 - 2(1+i)z^2 + 4i
pongo z^2 = t
risolvo la equazione di secondo grado e nel radicando trovo -12 i
applico la regola di estrazione di radice con risultati per k=0,1 dato che è una radice di indice 2.
il +- davanti alla radice della formula della eq di grado secondo mi indica che ci sono 2 soluzioni come ovviamente deve essere... ma se sostituisco al k prima 0 e poi 1 diventano in tutto 4.
e quando questi 4 valori della t li sostituisco alla
z^2=t
non capisco
ma la mia equazione nel campo dei complessi non dovrebbe avere in tutto 4 soluzioni?
"Camillo":
La prima disequazione è sempre verificata.
Nella seconda attenzione che il logaritmo della differenza non è la differnza dei logaritmi .
Partiamo quindi da
$ e^(x^2) > 1/epsilon -1 $
da cui
$x^2 > ln(1/epsilon -1) =ln( (1-epsilon)/epsilon) $
e infine $ x > sqrt(ln((1-epsilon)/epsilon))$ e anche $x < -sqrt(ln((1-epsilon)/epsilon)) $ .
Consideriamo il primo risultato : a noi interessa quando $ epsilon $ è piccolo, quindi l'espressione $(1-epsilon)/epsilon) $ è positiva e maggiore di 1 .Bene $x $ deve essere maggiore di quel valore ed allora è stato proprio definito un intorno di $+oo$ (che non significa altro che $x >$ di un valore qualunque .
La'ltro risultato è un intorno di $-oo$ ; vuol quindi dire che anche per $ x rarr -oo$ la funzione tende a $0$.
Quindi per provare che un limite sia corretto devo sempre seguire questi passi fin quando le disequazioni non terminano entrambe in $x >$ di qualcosa?
Sono confuso
Vi prego rispondetemi in molti, ho bisogno di capire.. è importante!
Grazie
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