Esercizi di analisi

[univr1]

(1) si calcoli una primitiva di f(x)=|x+4|-3|x|. (e' il valore assoluto)

(2) si calcoli se esiste il limite per x->e+ di: (1-log x)*log(x-e)

(3) studiare al variare di x appartenente a R la convergenza della serie, sommatoria per n=1 a infinito di: n^(x/2) - (n^(x)+1)^(1/2). (cioe' se non e' chiaro radice quadrata di n elevato alla x meno radice quadrata di n elevato alla x piu' 1)

(4) calcolare l'area della regione racchiusa dalla curva y^2=9x^2-x^4

grazie ancora di tutto

[goblyn]

(1)

x<-4
F1(x) = - 4x + x^2 + C1

-4 F2(x)= 2x^2 + 4x + C2

x>0
F3(x)= -x^2 + 4x + C3

Imponiamo
F1(-4)=F2(-4)
F2(0)=F3(0)

si ottiene

C1=C3-16
C2=C3

chiamiamo C3=k e riscriviamo la soluzione:

x<-4
F(x) = - 4x + x^2 -16 + k

-4 F(x)= 2x^2 + 4x + k

x>0
F(x)= -x^2 + 4x + k

[goblyn]

Il termine n-esimo si può scrivere anche come:

a(n)=-1/(n^(x/2)+sqrt(n^x+1))

che per n-->inf tende a:

-1/2 * n^(-x/2) --> 0 se x>0

-1/(1+sqrt(2)) se x=0

-1 se x<0

Quindi la serie NON converge sicuramente per x<=0.

per x>0 a(n) è asintotico a -1/2*n^(-x/2)

che converge per x>2

[goblyn]

Essendo la y^2 pari, lo sono anche +y e -y. L'area sarà pertanto 4 volte l'integrale di +y con x che va da 0 a 3 (fai il grafico e vedrai che si capisce).


Sostituzione: t=x^2

L'integranda diventa:

0.5*sqrt(9-t)dt

Sostituzione 9-t=q, l'integranda diventa:

-0.5*sqrt(q)dq

che integrata dà:

(-1/3)*q^(3/2) = (-1/3)*[9-x^2]^(3/2) (si poteva vedere subito a dire il vero...)

Calcoliamola tra 0 e 3 e moltiplichiamo per 4:

Area = 4 * 9 = 36