Esercizi di Analisi 2/3 impossibili?
Buongiorno ragazzi,
io e alcuni miei amici stiamo impazzendo dietro a questi esercizi di analisi...Non sappiamo se sono corretti ( non avendo i risultati).
1) Integrale doppio $ I= x/(x^2 + y^2) $ , dominio $ D={x^2+y^2>=4, (x-1)^2+(y-1)^2 <=2} $
Abbiamo capito che stiamo integrando su un dominio formato da una circonferenza di origine (1,1) e raggio 2 e un'altra circonferenza centrata nell'origine e avente raggio 2.
Ma come creo i miei estremi di integrazione !?!?
2) Si calcoli l'area della superficie ottenuta ruotando attorno all'asse Z l'insieme $ {x^2+z^2=2x e x<=1} $ contenuto nel piano xz
Anche questo non riusciamo proprio ad impostarlo!!!!
3) Una domanda teorica : capita molto spesso di dover calcolare il flusso uscente da una superficie o un solido. Se ho una superficie chiusa , posso SEMPRE usare il teorema della divergenza?
Grazie per l'aiuto ragazzi, siamo disperati e mancano solo 20 giorni all'esame
io e alcuni miei amici stiamo impazzendo dietro a questi esercizi di analisi...Non sappiamo se sono corretti ( non avendo i risultati).
1) Integrale doppio $ I= x/(x^2 + y^2) $ , dominio $ D={x^2+y^2>=4, (x-1)^2+(y-1)^2 <=2} $
Abbiamo capito che stiamo integrando su un dominio formato da una circonferenza di origine (1,1) e raggio 2 e un'altra circonferenza centrata nell'origine e avente raggio 2.
Ma come creo i miei estremi di integrazione !?!?
2) Si calcoli l'area della superficie ottenuta ruotando attorno all'asse Z l'insieme $ {x^2+z^2=2x e x<=1} $ contenuto nel piano xz
Anche questo non riusciamo proprio ad impostarlo!!!!
3) Una domanda teorica : capita molto spesso di dover calcolare il flusso uscente da una superficie o un solido. Se ho una superficie chiusa , posso SEMPRE usare il teorema della divergenza?
Grazie per l'aiuto ragazzi, siamo disperati e mancano solo 20 giorni all'esame
Risposte
"lecter@91":
1) Integrale doppio $ I= x/(x^2 + y^2) $ , dominio $ D={x^2+y^2>=4, (x-1)^2+(y-1)^2 <=2} $
Abbiamo capito che stiamo integrando su un dominio formato da una circonferenza di origine (1,1) e raggio 2 e un'altra circonferenza centrata nell'origine e avente raggio 2.
Ma come creo i miei estremi di integrazione !?!?
Ci sono sostanzialmente tre strade:
[list=1]
[*:1h57ogda]Lavorare in coordinate cartesiane[/*:m:1h57ogda]
[*:1h57ogda]Passare a polari nell'origine[/*:m:1h57ogda]
[*:1h57ogda]Passare a polari in $(1,1)$[/*:m:1h57ogda][/list:o:1h57ogda]
In tutti e tre i casi gli estremi non vengono "puliti", quindi, a parer mio, non vi é troppa differenza nel scegliere uno di questi metodi.
"lecter@91":
2) Si calcoli l'area della superficie ottenuta ruotando attorno all'asse Z l'insieme $ {x^2+z^2=2x e x<=1} $ contenuto nel piano xz
Anche questo non riusciamo proprio ad impostarlo!!!!
Qui la cosa migliore é lavorare con le parametrizzazioni. Guarda i miei interventi in questo post: viewtopic.php?t=134302
"lecter@91":
3) Una domanda teorica : capita molto spesso di dover calcolare il flusso uscente da una superficie o un solido. Se ho una superficie chiusa , posso SEMPRE usare il teorema della divergenza?
Sí, a patto che il campo sia $C^1$, la superficie sia regolare (a tratti) e il volume dentro la superficie sia compatto (chiuso e limitato), cosa abbastanza banale nelle applicazioni.
1) mi aiuteresti a definire il dominio? Proprio non riesco ad impostarlo, mi manda in confusione questa sovrapposizione tra i due cerchi 
2) molto utili grazie!
3) quindi in pratica sempre no? Cioè non potrei usarlo ad esempio quando ho due solidi sovrapposti ?
2) molto utili grazie!
3) quindi in pratica sempre no? Cioè non potrei usarlo ad esempio quando ho due solidi sovrapposti ?
La circonferenza centrata in $(1,1)$ non ha raggio $2$, bensì $sqrt2$.
Ciò detto, la risoluzione tramite coordinate polari centrate nell'origine viene piuttosto semplice.
Parametrizziamo la seconda circonferenza, $x^2-2x+y^2-2y=0$, ponendo ${(x=rho\costheta),(y=rho\sintheta):}$.
Con qualche passaggio otteniamo: $rho(rho-2(\costheta+\sintheta))=0$, ossia $rho=2(\costheta+\sintheta)$ con $theta$ che varia in $[0,pi/2]$.
L'integrale diviene quindi: $int_(0)^(pi/2)int_(2)^(2(\costheta+\sintheta)) \cos\theta\ \drho\d\theta$ che, se non ho sbagliato i conti, vale $pi/2-1$.
Ciò detto, la risoluzione tramite coordinate polari centrate nell'origine viene piuttosto semplice.
Parametrizziamo la seconda circonferenza, $x^2-2x+y^2-2y=0$, ponendo ${(x=rho\costheta),(y=rho\sintheta):}$.
Con qualche passaggio otteniamo: $rho(rho-2(\costheta+\sintheta))=0$, ossia $rho=2(\costheta+\sintheta)$ con $theta$ che varia in $[0,pi/2]$.
L'integrale diviene quindi: $int_(0)^(pi/2)int_(2)^(2(\costheta+\sintheta)) \cos\theta\ \drho\d\theta$ che, se non ho sbagliato i conti, vale $pi/2-1$.
Utilissimo, ho capito tutto grazie!!!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo