Esercizi di analisi 2: serie di funzioni
ei ciao
ma la somma di una serie di potenze di una funzione, derivabile infinite volte,coincide con la funzione stessa? no, vero?
invece se ho una serie qualunque per studiare la conv. uniforme mi basta dimostrare la conv totale?
ad esempio, ho questo esercizio:
1: $f_n (x) = 1$ se $x$ varia tra $[1/n,1]$
2: $f_n(x)=nx$ se $x$ varia tra $[0,1/n]$
Devo studiare la conv. puntuale ed uniforme
se faccio il limite puntuale mi viene che è discontinuo (nel caso 1: 1 sempre, nel caso 2: se x=0 0, altrimenti diverge)
quindi non può conv. uniformemente
Però se disegno il grafico per $n \to \infty$, la funzione $f_n \to 1$
mentre il valore $n x \to 0$.
ma la somma di una serie di potenze di una funzione, derivabile infinite volte,coincide con la funzione stessa? no, vero?
invece se ho una serie qualunque per studiare la conv. uniforme mi basta dimostrare la conv totale?
ad esempio, ho questo esercizio:
1: $f_n (x) = 1$ se $x$ varia tra $[1/n,1]$
2: $f_n(x)=nx$ se $x$ varia tra $[0,1/n]$
Devo studiare la conv. puntuale ed uniforme
se faccio il limite puntuale mi viene che è discontinuo (nel caso 1: 1 sempre, nel caso 2: se x=0 0, altrimenti diverge)
quindi non può conv. uniformemente
Però se disegno il grafico per $n \to \infty$, la funzione $f_n \to 1$
mentre il valore $n x \to 0$.
Risposte
Ho sistemato un po' le formule.
Prima di tutto: perchè parli di serie di potenze e porti come esempio una successione di funzioni?
Prima di tutto: perchè parli di serie di potenze e porti come esempio una successione di funzioni?
si in effetti non c'entra molto con le domande ... è un esercizio che non mi veniva
"silence1992":
1: $f_n (x) = 1$ se $x$ varia tra $[1/n,1]$
2: $f_n(x)=nx$ se $x$ varia tra $[0,1/n]$
E' abbastanza semplice vedere che il limite puntuale è:
$f(x) = {(1,if 0 < x <= 1),(0,if x=0):}$
Quindi non c'è verso che la convergenza sia uniforme su $[0,1]$ ($f_n$ sono continue).
puoi aiutarmi ank a risp alle domande di sopra?

"silence1992":
puoi aiutarmi ank a risp alle domande di sopra?
La prima domanda non mi è molto chiara; ti chiedo di riformularla aggiungendo un esempio.
Per la seconda: sì. Ricorda però che esistono serie non totalmente convergenti pur essendo uniformemente convergenti.
in realtà non so come spiegartela meglio perchè è una domanda che ci ha fatto il prof e neank a me è molto chiara per cui ho chiesto qui...
Il testo esattamente dice così:
La somma di una serie di potenze di una funzione, derivabile infinite volte,coincide con la funzione stessa?
Per la seconda: sì. Ricorda però che esistono serie non totalmente convergenti pur essendo uniformemente convergenti.[/quote]
appunto...il mio testo dà questa definizione di convergenza uniforme:
una serie di funzioni $\sum_{n=1}^(oo) f_n (x)$ ,in un intervallo I, converge uniformemente in I ad una funzione s(x),se converge uniformemente in I alla s(x) la successione delle somme parziali
$s_n (x)= \sum_{k=1}^n f_k (x) $
cioè $ |s_n(x) - s(x)|< \epsilon$ per ogni n>n_epsilon , per ogni x appartenente ad I
Se, ad esempio ho questa serie di cui devo studiare conv. puntuale ed uniforme:
$\sum_{n=1}^(oo) cos(nx)/(n^2+1)$
per la convergenza puntuale osservo che |cosnx/(n^2+1)|<1/(n^2+1)<1/n^2 che converge per confronto con la serie arm gen....
dunque il lim per n-->oo della serie viene 0 cioè s(x)=0
allora applicando la def di prima ho |cosnx/1+n^2|< epsilon .... epsilon per la def di prima deve essere solo maggiore di zero, dunque posso scegliere un numero che voglio?
Il testo esattamente dice così:
La somma di una serie di potenze di una funzione, derivabile infinite volte,coincide con la funzione stessa?
"Seneca":
[quote="silence1992"]puoi aiutarmi ank a risp alle domande di sopra?
Per la seconda: sì. Ricorda però che esistono serie non totalmente convergenti pur essendo uniformemente convergenti.[/quote]
appunto...il mio testo dà questa definizione di convergenza uniforme:
una serie di funzioni $\sum_{n=1}^(oo) f_n (x)$ ,in un intervallo I, converge uniformemente in I ad una funzione s(x),se converge uniformemente in I alla s(x) la successione delle somme parziali
$s_n (x)= \sum_{k=1}^n f_k (x) $
cioè $ |s_n(x) - s(x)|< \epsilon$ per ogni n>n_epsilon , per ogni x appartenente ad I
Se, ad esempio ho questa serie di cui devo studiare conv. puntuale ed uniforme:
$\sum_{n=1}^(oo) cos(nx)/(n^2+1)$
per la convergenza puntuale osservo che |cosnx/(n^2+1)|<1/(n^2+1)<1/n^2 che converge per confronto con la serie arm gen....
dunque il lim per n-->oo della serie viene 0 cioè s(x)=0
allora applicando la def di prima ho |cosnx/1+n^2|< epsilon .... epsilon per la def di prima deve essere solo maggiore di zero, dunque posso scegliere un numero che voglio?
"silence1992":
in realtà non so come spiegartela meglio perchè è una domanda che ci ha fatto il prof e neank a me è molto chiara per cui ho chiesto qui...
Il testo esattamente dice così:
La somma di una serie di potenze di una funzione, derivabile infinite volte,coincide con la funzione stessa?
http://www.batmath.it/corsi_uni/mat_uno/teoria_11.pdf
paragrafo "Sviluppabilità in serie di Taylor". C'è la risposta a questa domanda, nonostante tu non l'abbia formulata troppo bene, cerca di fare più attenzione al linguaggio in futuro perché è una cosa che ti aiuterà molto.
[xdom="dissonance"]Per favore evita di usare le abbreviazioni da SMS (anke, xò, cmq, tvb ...). Su questo forum non sono gradite, come puoi leggere qui:
regole-generali-di-matematicamente-it-forum-t26457.html
Inoltre ho modificato il titolo del thread mettendone uno meno generico, cerca di fare altrettanto le prossime volte. Grazie.[/xdom]
[size=150]\(
f\left(x\right)=\begin{cases}
\begin{array}{cc}
e^{-\frac{1}{x^{2}}} & x\neq0\\
0 & x=0
\end{array}\end{cases}
\)[/size]
[size=150]\(f^{\left(n\right)}\left(0\right)=0\)[/size] [size=150]\(\forall n\)[/size]
[size=150]
Questa \( f(x)\) possiede derivate di qualsiasi ordine ma non è sviluppabile in serie nell'origine.[/size]
f\left(x\right)=\begin{cases}
\begin{array}{cc}
e^{-\frac{1}{x^{2}}} & x\neq0\\
0 & x=0
\end{array}\end{cases}
\)[/size]
[size=150]\(f^{\left(n\right)}\left(0\right)=0\)[/size] [size=150]\(\forall n\)[/size]
[size=150]
Questa \( f(x)\) possiede derivate di qualsiasi ordine ma non è sviluppabile in serie nell'origine.[/size]
Sorry
...
