Esercizi di analisi 2

[bimbozza]

Ho alcuni esercizi da sottoporvi che proprio non capisco come svolgere. Ve li posto:

1)

[math]f(x,y)= (x^2+y^2)^3-(x^2-y^2)^2[/math]

Qual'è la tangente al sostegno di f(x,y)=0 in (0,1)? (giustificare il risultato)

2) Sia

[math]f(x,y)=(x^2+y^2)^2-x^2[/math]

. In quanti punti il sostegno di f(x,y)=0 ha tangente orizzontale?(giustificare il risultato)

3)che equazioni ha il piano tangente in (0,0,0) a

[math]f(x,y)=2+x-2y-sin(6y^4 e^{x-y} cos (-2+x^6y^2x )) [/math]

?(giustificare il risultato)

4)supponiamo che f(x,y) sia tale che esiste il piano tangente a z=f(x,y) in (0,0) e che f(0,0)=1. Siano poi gamma1(t)=(t,0) e gamma2(t)=(0,t); sapendo che (d/dt)(f o gamma1)(0)=1 e (d/dt)(f o gamma2)(=)=2 qual'è l'equazione del piano tangente in (0,0,1) al grafico di f? (giustificare il risultato)

[ciampax]

Vediamo un po': io direi che per prima cosa bisogna capire cosa si vuole determinare in questi esercizi. Iniziamo ad analizzare la situazione dei primi due: abbiamo una funzione

[math]f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math]

di cui viene selezionata una curva di livello

[math]f(x,y)=k[/math]

(qui

[math]k=0[/math]

). Cosa significa? In generale una funzione come quella scritta sopra ha, come grafico, una superficie dello spazio tridimensionale i cui punti sono dati dalle terne

[math](x,y,f(x,y))[/math]

dove, come vedi, la terza coordinata è determinata dalle prime due.
nella nostra situazione, invece, cerchiamo l'intersezione tra questa superficie ed il piano

[math]z=k[/math]

e quindi, quello che determiniamo è l'equazione (in forma implicita) di una curva del tipo

[math]f(x,y)-k=0[/math]

. Ora, data una curva, in ogni suo punto è possibile (a patto che ci siano determinate condizioni di regolarità) determinare la retta tangente alla curva stessa in tale punto.

Come si fa? Quello che serve è una applicazione del teorema della funzione implicita o del Dini: se in un punto

[math]P(x_0,y_0)[/math]

si ha

[math]\nabla f(P)\not=(0,0)[/math]

allora esiste un intorno di

[math]P[/math]

dove la funzione risulta esplicitabile nella forma

[math]y=g(x)[/math]

. Inoltre si può dimostrare che

[math]g'(x_0)=-\frac{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)}[/math]

(è un calcolo abbastanza banale che puoi fare partendo dal fatto che

[math]f(x,y)=f(x,g(x))=k[/math]

e derivando parzialmente).

perché ci serve questa cosa? Perché è noto che, per una curva della forma

[math]y=g(x)[/math]

la retta tangente, in un punto

[math]P[/math]

come prima è data dalla seguente equazione:

[math]y-y_0=g'(x_0)\cdot (x-x_0)[/math]

e quindi, dal precedente

[math]y-y_0=-\frac{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)}\cdot(x-x_0)[/math]

Per il primo esercizio si ha allora

[math]f_x=3(x^2+y^2)^2\cdot 2x-2(x^2-y^2)\cdot 2x\ \Rightarrow\ f_x(0,1)=0\\
f_y=3(x^2+y^2)^2\cdot 2y+2(x^2-y^2)\cdot (-2y)\ \Rightarrow\ f_x(0,1)=10[/math]

e quindi

[math]y-1=0\cdot(x-0)\ \Rightarrow\ y=1[/math]

PER GLI ALTRI ESERCIZI CONTINUO STASERA.

Aggiunto 22 ore 57 minuti più tardi:

Continuiamo: per il secondo esercizio, consideriamo la curva

[math](x^2+y^2)^2=x^2[/math]

(che si trova ponendo la funzione uguale a zero). Sotto queste condizioni dobbiamo trovare i punti

[math]P(x_0,y_0)[/math]

la cui tangente risulta avere equazione

[math]y=y_0[/math]

: ciò accade se e solo se

[math]f_x(x_0,y_0)=0[/math]

e pertanto si ha

[math]f_x=2(x^2+y^2)\cdot 2x-2x=2x(2x^2+2y^2-1)=0[/math]

con la condizione

[math](x^2+y^2)^2=x^2[/math]

. Dall'equazione precedente ricaviamo che

[math]x=0[/math]

oppure

[math]x^2+y^2=1/2[/math]

. Nel primo caso si verifica che il punto cercato è

[math](0,0)[/math]

che tuttavia va escluso dal momento che

[math]\nabla f(0,0)=0[/math]

. Nel secondo caso, invece, sostituendo il valore 1/2 al posto di

[math]x^2+y^2[/math]

nella condizione dei punti si trova

[math]x^2=(x^2+y^2)^2=1/4\ \Rightarrow\ x=\pm 1/2[/math]

e pertanto i punti cercati sono

[math]P(\pm 1/2,\pm\sqrt{3}/2),\ P(\pm 1/2,\mp\sqrt{3}/2)[/math]

, i quali vanno tutti e quattro bene, in quanto

[math]\nabla f(P)\not= 0[/math]

Per il terzo esercizio, ti ricordo che data una funzione derivabile

[math]f[/math]

e un punto

[math]P(x_0,y_0,z_0)[/math]

, il piano tangente a

[math]f[/math]

in

[math]P[/math]

ha equazione

[math]z-z_0=f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)[/math]

Pertanto si tratta solo di calcolare le derivate e sostituire.


Per l'ultimo esercizio, osserva che se poniamo

[math]g_1=f\circ \gamma_1[/math]

, allora

[math]g_1(t)=f(t,0)[/math]

e pertanto, usando la regola dlle derivate di funzioni composte

[math]g_1'(t)=f_x(t,0)\cdot 1=f_x(t,0)\ \Rightarrow\ f_x(0,0)=g'_1(0)=1[/math]

Analogamente per la derivata parziale rispetto ad

[math]y[/math]

. Pertanto il piano tangente ha equazione

[math]z-1=x+y\ \Rightarrow\ x+y-z+1=0[/math]

[math]f_x(0,0)=