Esercizi di Analisi 2

[scientifico92]

Ragazzi domani ho il compito di Analisi 2 e mi stavo esercitando sugli esercizi d'esame.Volete controllare se sono fatti bene per favore?Grazie mille

1.Rotazione della funzione x^2 con x appartenente (0,1) ruota intorno l'asse x.Calcola il volume

Il grafico viene una parabola,quando ruota un cono .Per il volume ho fatto

\(\displaystyle V=\pi \lmoustache x^4 dx = \pi/5 \)


2.Verificare che la forma differenziale è esatta ,nel caso affermativo trova la primitiva

\(\displaystyle w(x,y)=3 arctan y dx + 3x/(1+y^2) dy \)


Ho derivato quello di sinistra rispetto a y e quello di destra rispetto a x.Mi viene fuori

\(\displaystyle 3/(1+y^2) \) Quindi è Chiusa,condizione necessaria ma non sufficiente per dire di essere Esatta


\(\displaystyle \lmoustache 3x/(1+y^2) dy= 3x arctan y+c(x) \)

derivo rispetto a x e pongo uguale al membro di destra

\(\displaystyle 3 arctan y +c'(x)=3 arctan y \) Quindi è Esatta

c'(x)=0
c(x)=c

Primitiva
\(\displaystyle F(x.y)=3x arctan y+c \)


3.\(\displaystyle \lmoustache\lmoustache e^(x^2+y^2) x dx dy \)

Domineo \(\displaystyle 4==0 \)

Convertito tutto in coordinate polari
x=p cost 0= y=p sint 0=

\(\displaystyle \lmoustache\lmoustache e^(p^2)^1/2 p^2cost \)

Risolvendo l'integrale con i dovuti estremi mi esce 0

[gio73]

Per quel che vale la mia opinione...
sono d'accordo sull'esercizio 1
Per l'esercizio 2 anche, ti espongo il mio ragionamento (senza ricorrere a coordinate polari)

$f(x;y)=e^(x^2+y^2)*x$

mi sembra che si possa dire che
$f(x;y)=-f(-x;y)$

cioè prendendo i punti simmetrici rispetto all'asse y, troviamo che i due valori della funzione siano opposti, unendo questa osservazione alla geometria del dominio concluderei che quello che è positivo nel I quadrante è controbilanciato dal negativo del secondo quadrante, dunque l'integrale globalmente vale 0.

Aspetto però smentite o conferme.