Esercizi di analisi 1

[adaBTTLS1]

scrivo qualche esercizio ritrovato tra vecchi appunti che potrebbe essere utile a chi deve affrontare l'esame di analisi 1.

per quale valore di $a$ la funzione $f(x)={[(e^x-1)/(sen(3x)), " per " x > 0], [a(x+1), " per " x <= 0] :}$ è continua in $x=0$ ?

studiare le seguenti funzioni:

$y=1/(|x-x^2|+1)$, $y=(1+4/x)^(x/3)$, $y=(sqrt(x)-1)/(x-1)$, $y=(x-2)/|x-2|*e^(1/x)$,

$f(x)={[x+2, " per " x>0], [3 " per " x=0], [(senx)/x, " per " x<0] :}$

verificare che la funzione $g(x)={[0 , " per " x<=-1], [|2x^2+x-1| , " per " -1=2] :}$ è continua ma non derivabile in $x=-1$, e calcolare $\int_0^e\g(x)dx$.

studiare la funzione $f(x)=x^2*([x]+log([x]+2))$, dove $[x]$ indica la "parte intera di x".

buon lavoro a chiunque voglia cimentarsi. ciao.

[bad.alex]

[quote=adaBTTLS]scrivo qualche esercizio ritrovato tra vecchi appunti che potrebbe essere utile a chi deve affrontare l'esame di analisi 1.

per quale valore di $a$ la funzione $f(x)={[(e^x-1)/(sen(3x)), " per " x > 0], [a(x+1), " per " x <= 0] :}$ è continua in $x=0$ ?

sto provando a risolvere il primo. per verificare la continuità della funzione devono esistere i limiti laterali e devono essere uguali. se non erro, nel primo caso il limite, svolto con De L'hopital 1/...(cos3x perx->0+) e poichè a(x+1) è uguale ad a. devo porre uguali i limiti trovati per ricavarne il valore di a.
perdonami ma non so trovarmi cos3x...

[adaBTTLS1]

cos (0) = 1.... però la derivata della funzione composta non è completa... ciao.

[bad.alex]

"adaBTTLS":cos (0) = 1.... però la derivata della funzione composta non è completa... ciao.

D(sin3x)=3cos3x...giustissimo!

[Steven11]

verificare che la funzione $g(x)={[0 , " per " x<=1], [|x+1| , " per " -1=2] :}$ è continua ma non derivabile in $x=-1$, e calcolare $\int_0^e\g(x)dx$.

Controlla meglio il testo. Forse volevi dire che vale $0$ se $x<-1$, hai dimenticato il meno.
E comunque che sarebbe quel modulo, se $x> -1$?
Che sò sti giochetti?

Comunque, per il primo

Affinché vi sia continuità, deve accadere che
$lim_(xto0)f(x)=f(0)=a(0+1)=a$
Il limite sinistro è ovviamente $a$
Calcoliamoci il limite destro
$lim_(xto0^+)f(x)=lim_(xto0^+)frac{e^x-1}{sin3x}$
Ma d'altra parte
$e^x-1\approx x\quad "se" \quad xto0$
e
$sin3x\approx 3x\quad "se"\quad xto0$
quindi il limite diventa
$lim_(xto0^+)frac{e^x-1}{sin3x}=lim_(xto0^+)frac{x}{3x}=1/3$
Quindi si conclude che
$a=1/3$

FINE

[adaBTTLS1]

sì, esatto, Steven. puoi correggere tu da moderatore? anche il primo esercizio è OK. ciao.

[bad.alex]

"adaBTTLS":sì, esatto, Steven. puoi correggere tu da moderatore? anche il primo esercizio è OK. ciao.

per il primo a=1/3 in conclusione. stavo provando a fare lo studio della funzione f(x)=$(1+4/x)^(x/3)$...dovrò chiederti un aiutino (sempr i soliti limiti). per x -> 0+- qual è il valore trovato? per x->+-oo si ha asintoto orizzontale y=e^(4/3)...(che imbarazzo....)

[Steven11]

No non posso, questa non è la mia sezione.

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