Esercizi di analisi 1
Salve a tutti!
Sono nuova in questo forum e quindi se per caso sbaglio qualcosa, scusatemi. studio il primo anno di ingegneria civile e volevo avere un consulto sulla risoluzione di alcuni esercizi che ci ha dato il nostro professore:
\(\displaystyle \mbox {Siano A,B} \subset R \mbox {non vuoti}.\mbox {Poniamo}:\)
\(\displaystyle \mbox{A+B}=\{z=x+y:x\in A,y\in B\} \)
\(\displaystyle \mbox {Dimostrare che},
\mbox {sup(A+B)}= \mbox {sup (A)}+ \mbox {sup (B)} \)
questa era la consegna. io ho provato a dimostrarlo in questo modo:
\(\displaystyle \mbox {Siano A,B} \subset R \mbox {non vuoto e sia M_{1}}= \mbox {sup(A)} \mbox{ e M_{2}}= \mbox {sup(B)}.\)
\(\displaystyle \mbox {Supponiamo z }\in \mbox {A+B}, \mbox {con z=x+y ,dove x }\in {\mbox A} \mbox {e y} \in {\mbox B}.\)
\(\displaystyle \mbox {Se} \forall x \in A \mbox {x}\leq {\mbox sup(A)} e \forall y\in B \mbox {y}\leq {\mbox {sup(B)}}, z=x+y\leq {M_{1}+ M_{2}}.\)
\(\displaystyle \mbox {Allora M_{1}+M_{2}}= \mbox {sup (A+B)} \)
e con questo ho dimostrato che sup(A+B)= sup(A)+sup(B). ora devo dimostrare che M1+M2 e il più piccolo dei maggioranti ed è effettivamente l'estremo superiore di (A+B):
\(\displaystyle \mbox {Prendiamo un qualsiasi} \varepsilon>0.\)
\(\displaystyle \exists x\in A \mbox {tale che M_{1}}- \frac{\varepsilon}{2}
\(\displaystyle \exists y\in B \mbox {tale che M_{2}}-\frac{\varepsilon}{2}
\(\displaystyle \exists z=x+y \in {\mbox{(A+B)}} \mbox {tale che:}\)
\(\displaystyle M_{1}-\frac{\varepsilon}{2}+M_{2}-\frac{\varepsilon}{2}
\(\displaystyle M_{1}+M_{2}-\varepsilon
\(\displaystyle \mbox {Questo significa che:}\)
\(\displaystyle M_{1}+M_{2}=\mbox {sup(A)+sup(B)}= \mbox {sup (A+B)} \)
volevo sapere se era giusta la dimostrazione e magari avere qualche consiglio. grazi in anticipo!
Sono nuova in questo forum e quindi se per caso sbaglio qualcosa, scusatemi. studio il primo anno di ingegneria civile e volevo avere un consulto sulla risoluzione di alcuni esercizi che ci ha dato il nostro professore:
\(\displaystyle \mbox {Siano A,B} \subset R \mbox {non vuoti}.\mbox {Poniamo}:\)
\(\displaystyle \mbox{A+B}=\{z=x+y:x\in A,y\in B\} \)
\(\displaystyle \mbox {Dimostrare che},
\mbox {sup(A+B)}= \mbox {sup (A)}+ \mbox {sup (B)} \)
questa era la consegna. io ho provato a dimostrarlo in questo modo:
\(\displaystyle \mbox {Siano A,B} \subset R \mbox {non vuoto e sia M_{1}}= \mbox {sup(A)} \mbox{ e M_{2}}= \mbox {sup(B)}.\)
\(\displaystyle \mbox {Supponiamo z }\in \mbox {A+B}, \mbox {con z=x+y ,dove x }\in {\mbox A} \mbox {e y} \in {\mbox B}.\)
\(\displaystyle \mbox {Se} \forall x \in A \mbox {x}\leq {\mbox sup(A)} e \forall y\in B \mbox {y}\leq {\mbox {sup(B)}}, z=x+y\leq {M_{1}+ M_{2}}.\)
\(\displaystyle \mbox {Allora M_{1}+M_{2}}= \mbox {sup (A+B)} \)
e con questo ho dimostrato che sup(A+B)= sup(A)+sup(B). ora devo dimostrare che M1+M2 e il più piccolo dei maggioranti ed è effettivamente l'estremo superiore di (A+B):
\(\displaystyle \mbox {Prendiamo un qualsiasi} \varepsilon>0.\)
\(\displaystyle \exists x\in A \mbox {tale che M_{1}}- \frac{\varepsilon}{2}
\(\displaystyle \exists y\in B \mbox {tale che M_{2}}-\frac{\varepsilon}{2}
\(\displaystyle \exists z=x+y \in {\mbox{(A+B)}} \mbox {tale che:}\)
\(\displaystyle M_{1}-\frac{\varepsilon}{2}+M_{2}-\frac{\varepsilon}{2}
\(\displaystyle M_{1}+M_{2}-\varepsilon
\(\displaystyle \mbox {Questo significa che:}\)
\(\displaystyle M_{1}+M_{2}=\mbox {sup(A)+sup(B)}= \mbox {sup (A+B)} \)
volevo sapere se era giusta la dimostrazione e magari avere qualche consiglio. grazi in anticipo!
Risposte
"leylaura93":
\(\displaystyle \mbox {Se} \forall x \in A \mbox {x}\leq {\mbox sup(A)} e \forall y\in B \mbox {y}\leq {\mbox {sup(B)}}, z=x+y\leq {M_{1}+ M_{2}}.\)
\(\displaystyle \mbox {Allora M_{1}+M_{2}}= \mbox {sup (A+B)} \)
e con questo ho dimostrato che sup(A+B)= sup(A)+sup(B).
Fino a qui hai dimostrato che \(\sup(A+B) \leq \sup(A) + \sup(B)\).
A parte questa precisazione, per il resto mi sembra vada bene.
ok grazie mlle!
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