Esercizi d'esame
salve a tutti non riesco a fare questi esercizi di analisi spero che mi aiuterete:
1)=effettuare lo studio asintotico(dominio,simmetrie,asintoti,ordine di infinitesimo) della seguente funzione:
y=radiceal quadrato di (|x^2 -4|-1).
2)=studiare la convergenza della serie:
(1+1/n)^n * x^n.
1)=effettuare lo studio asintotico(dominio,simmetrie,asintoti,ordine di infinitesimo) della seguente funzione:
y=radiceal quadrato di (|x^2 -4|-1).
2)=studiare la convergenza della serie:
(1+1/n)^n * x^n.
Risposte
Per il 2 separi il problema in 3 casi principali, $x<0$ (usi il criterio di Leibniz per le serie a termini a segno alterno perchè $x^n$ diventa $(-1)^n |x|^n$), $x=0$ (caso banale), $x>0$ (criterio della radice).
Ho pensato di darti una traccia invece che risolverlo, poi se ancora non riesci basta dirlo
Paola
Ho pensato di darti una traccia invece che risolverlo, poi se ancora non riesci basta dirlo
Paola
io invece ho fatto in un altro modo cioè
essendo 1+1/n)^n
un limite notevole per n che tende a +infinito ho pensato usando gli asintotici che il primo tende a "e" il secondo termine lo posso lasciare cosi comè perchè è per quel valora che tende a piu infinito cosi ottendo la serie ridotta
ad e*x^n . e vedendo per quale valore deve convergere
la pongo <1 e ottengo cosi che x=1/e^n
ho fatto bene?oppure ho inventato un nuovo teorema?xd
essendo 1+1/n)^n
un limite notevole per n che tende a +infinito ho pensato usando gli asintotici che il primo tende a "e" il secondo termine lo posso lasciare cosi comè perchè è per quel valora che tende a piu infinito cosi ottendo la serie ridotta
ad e*x^n . e vedendo per quale valore deve convergere
la pongo <1 e ottengo cosi che x=1/e^n
ho fatto bene?oppure ho inventato un nuovo teorema?xd
Allora, intanto mi viene un dubbio: parli di serie o di successione? Perchè vedo che non metti mai il simbolo di sommatoria.
Anyway, si può usare come dici tu il metodo asintotico, in effetti $(1 + 1/n )^n x^n$~$e x^n$
quindi possiamo studiare la seconda serie.
Ora, $e$ è una costante, quindi possiamo lasciarla perdere nello studio della convergenza, contando di portarla fuori dalla sommatoria. Dunque il problema si riduce a studiare $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$.
caso 1 $x<0$
Non possiamo usare i criteri "comodi" tipo quello della radice, perchè richiede una serie a termini positivi. La nostra è invece a termini a segno alterno, perchè $x^n >0$ se $n$ è pari e $x^n <0$ altrimenti.
L'unico metodo che possiamo allora usare è quello di Leibniz [ http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Leibniz ].
Infatti se $x<0$ possiamo scrivere se ci pensi $x^n$ come $(-1)^n |x|^n$. La successione $|x|^n$ è infinitesima (come richiede il criterio) solo se $|x|<1$. Quando invece $|x|>= 1$ se ci pensi il termine rimbalza a causa del $(-1)^n$ tra $- \infty$ e $+ \infty$.
Dunque in conclusione se $-1
caso 2 $x>=0$
La serie è a termini non negativi, perciò usiamo il criterio della radice.
$\lim_{n \to + \infty} (x^n)^{1/n} = \lim_{n \to + \infty} x$
Dunque se $x>1$ la serie diverge, se $ 0 < x < 1$ la serie converge.
Se $x=1$ il criterio è inefficace, cioè non ci dice cosa succede... ma noi ci proviamo.
Se $x=1$ la serie si riduce ad una somma infinita di 1 quindi è chiaro che diverge.
Paola
ps Il metodo che hai usato tu non mi è del tutto chiaro... E non so come da una diseguaglianza stretta (dici che hai posto qualcosa $<1$) possa uscire il risultato di un'equazione, cioè $x=$ a qualcosa.
Anyway, si può usare come dici tu il metodo asintotico, in effetti $(1 + 1/n )^n x^n$~$e x^n$
quindi possiamo studiare la seconda serie.
Ora, $e$ è una costante, quindi possiamo lasciarla perdere nello studio della convergenza, contando di portarla fuori dalla sommatoria. Dunque il problema si riduce a studiare $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$.
caso 1 $x<0$
Non possiamo usare i criteri "comodi" tipo quello della radice, perchè richiede una serie a termini positivi. La nostra è invece a termini a segno alterno, perchè $x^n >0$ se $n$ è pari e $x^n <0$ altrimenti.
L'unico metodo che possiamo allora usare è quello di Leibniz [ http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Leibniz ].
Infatti se $x<0$ possiamo scrivere se ci pensi $x^n$ come $(-1)^n |x|^n$. La successione $|x|^n$ è infinitesima (come richiede il criterio) solo se $|x|<1$. Quando invece $|x|>= 1$ se ci pensi il termine rimbalza a causa del $(-1)^n$ tra $- \infty$ e $+ \infty$.
Dunque in conclusione se $-1
caso 2 $x>=0$
La serie è a termini non negativi, perciò usiamo il criterio della radice.
$\lim_{n \to + \infty} (x^n)^{1/n} = \lim_{n \to + \infty} x$
Dunque se $x>1$ la serie diverge, se $ 0 < x < 1$ la serie converge.
Se $x=1$ il criterio è inefficace, cioè non ci dice cosa succede... ma noi ci proviamo.
Se $x=1$ la serie si riduce ad una somma infinita di 1 quindi è chiaro che diverge.
Paola
ps Il metodo che hai usato tu non mi è del tutto chiaro... E non so come da una diseguaglianza stretta (dici che hai posto qualcosa $<1$) possa uscire il risultato di un'equazione, cioè $x=$ a qualcosa.
parlo di serie.
cmq il ragionamente lo facevo perchè il comando era per quali valori di x la serie converge...e per questo ho posto che lak della seria doveva essere minore di uno!mi ero dimenticato di scriverlo credo...
cmq il ragionamente lo facevo perchè il comando era per quali valori di x la serie converge...e per questo ho posto che lak della seria doveva essere minore di uno!mi ero dimenticato di scriverlo credo...
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