Esercizi con criterio di leibniz
Salve a tutti , avrei bisogno di aiuto per degli esercizi
La serie $ sum_(n = \1) (-1)^n(2^n + n)/ (3^n +n^2) $ è a termini alterni quindi uso leibniz
Vedo che $ a_n >=0 $ , che è una successione infimitesima perchè $ lim_(n -> oo ) (2^n+n)/(3^n+n^2) =0 $
Quindi verifico se è decrescente $ a_(n+1) <= a_n $
$ (2^(n+1) +n+1 )/(3^(n+1) + (n+1)^2) <= (2^n +n) /(3^n + n^2) $
Sono ferma a questo punto e non riesco ad andare avanti , quindi mi chiedevo se ci fosse un modo più semplice e veloce per verificare se la successione decresce perché mi sono proprio incartata nel calcolo algebrico
So he potrei risolverlo tramite la convergenza assoluta però vorrei imparare a utilizzare anche il criterio di leibniz
Poi ho $ sum_(n = 1) (-1)^n (2+n)/(1+n+n^2) $
È infinitesima , verifico la decrescenza e alla fine mi trovo un denominatore sempre positivo e al numeratore
$ -n^2 -n -6 <=0 -> n^2 + n + 6 >=0 $ le soluzioni sono n < -3 e n > - 2 , quindi visto che la serie parte da n= 1 posso dire che è decrescente??
Grazie anticipatamente
La serie $ sum_(n = \1) (-1)^n(2^n + n)/ (3^n +n^2) $ è a termini alterni quindi uso leibniz
Vedo che $ a_n >=0 $ , che è una successione infimitesima perchè $ lim_(n -> oo ) (2^n+n)/(3^n+n^2) =0 $
Quindi verifico se è decrescente $ a_(n+1) <= a_n $
$ (2^(n+1) +n+1 )/(3^(n+1) + (n+1)^2) <= (2^n +n) /(3^n + n^2) $
Sono ferma a questo punto e non riesco ad andare avanti , quindi mi chiedevo se ci fosse un modo più semplice e veloce per verificare se la successione decresce perché mi sono proprio incartata nel calcolo algebrico
So he potrei risolverlo tramite la convergenza assoluta però vorrei imparare a utilizzare anche il criterio di leibniz
Poi ho $ sum_(n = 1) (-1)^n (2+n)/(1+n+n^2) $
È infinitesima , verifico la decrescenza e alla fine mi trovo un denominatore sempre positivo e al numeratore
$ -n^2 -n -6 <=0 -> n^2 + n + 6 >=0 $ le soluzioni sono n < -3 e n > - 2 , quindi visto che la serie parte da n= 1 posso dire che è decrescente??
Grazie anticipatamente
Risposte
Per determinare se la successione risulti monotona, spesso, si può anche usare un artificio: usare la funzione reale associata, in questo casa $f(x)={2^x+x}/{3^x+x^2}$ e verificare la monotonia di quest'ultima. Se invece vuoi concentrarti sulla successione, puoi provare a verifica che $a_{n+1}-a_n$ sia definitivamente minore di zero, oppure che $a_{n+1}/a_n<1$ definitivamente.
Per quanto concerne la tua seconda domanda: il criterio di Leibniz si applica in forma "definitiva". Cioè, è sufficiente che da un certo $n$ in poi valga la condizione di monotonia decrescente. Per cui, anche se ti fosse venuto fuori, per esempio, che tale termine risulti negativo per $n>100$ avresti comunque potuto concludere che la serie converge secondo Leibniz.
P.S.: in ogni caso, quando hai serie a termini non costanti, conviene sempre prima analizzare la serie dei valori assoluti. Se riesci a concludere, con i criteri di convergenza per le serie a termini positivi, che c'è convergenza, allora hai convergenza assoluta e, di conseguenza, convergenza semplice. Ad esempio, per la serie $\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+n}{3^n+n^2}$, applicando il criterio della radice si ha
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n+n}{3^n+n^2}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n}{3^n}}=\frac{2}{3}<1$$
per cui tale serie converge, ed essendo questa la serie dei valori assoluti della prima serie da te proposta, abbiamo convergenza assoluto e, di conseguenza, convergenza semplice per quella da te postata.
Per quanto concerne la tua seconda domanda: il criterio di Leibniz si applica in forma "definitiva". Cioè, è sufficiente che da un certo $n$ in poi valga la condizione di monotonia decrescente. Per cui, anche se ti fosse venuto fuori, per esempio, che tale termine risulti negativo per $n>100$ avresti comunque potuto concludere che la serie converge secondo Leibniz.
P.S.: in ogni caso, quando hai serie a termini non costanti, conviene sempre prima analizzare la serie dei valori assoluti. Se riesci a concludere, con i criteri di convergenza per le serie a termini positivi, che c'è convergenza, allora hai convergenza assoluta e, di conseguenza, convergenza semplice. Ad esempio, per la serie $\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+n}{3^n+n^2}$, applicando il criterio della radice si ha
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n+n}{3^n+n^2}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n}{3^n}}=\frac{2}{3}<1$$
per cui tale serie converge, ed essendo questa la serie dei valori assoluti della prima serie da te proposta, abbiamo convergenza assoluto e, di conseguenza, convergenza semplice per quella da te postata.
"Giu180":
Salve a tutti , avrei bisogno di aiuto per degli esercizi
La serie $ sum_(n = \1) (-1)^n(2^n + n)/ (3^n +n^2) $ è a termini alterni [...]
Oppure puoi notare che
${(2^n + n)/ (3^n +n^2)}~{2^n/3^n}$
${(2/3)^n}$ converge assolutamente $ rArr$ la serie converge.[nota]Ha lo stesso carattere della serie $ sum_(n = \1)(2/3)^n$.[/nota]
Grazie mille a tutti e due
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