Esercizi circa integrazione delle funzioni razionali.
salve,
ho i seguenti integrali.
posto qui il procedimento che ho fatto io,
ma tramite il quale non sono riuscito a concludere con successo l'esercizio.
spero possiate gentilmente aiutarmi.
ecco il primo integrale:
$\int (x)/(2x^2+x+1)*dx$
Risultato $log root(4)(2x^2+x+1)-1/(2*sqrt(7))*arctg((4x+1)/(sqrt(7)))+c.$
caso con $\Delta < 0$ e denominatore di 2° grado.
derivata del denominatore: $2x+1$
procedimento:
$1/2*\int (2x+1-1)/(2x^2+x+1)*dx$
$1/2(\int (2x+1)/(2x^2+x+1)*dx - \int (1)/(2x^2+x+1)*dx)$
se il procedimento fin qui è giusto
quindi il primo è un logaritmo,
ma per il secondo, come faccio ad ottenere il giusto risultato?
ecco il secondo integrale:
$\int (x^4+4x^2+1)/(x^2-2x)*dx$
Risultato: $(x^3)/(3)+x^2+8x-1/2*log|x|+33/2*log|x-2|+c.$
qui abbiamo un $\Delta > 0$
e 2° grado del denominatore.
ho provato sia con la divisione tra polinomi tramite la seguente:
$x^4+0x^3+4x^2+0x+1 : x^2-2x$
ma con esito negativo, penso non sia la strada giusta da prendere.
ho provato inoltre considerando le soluzioni dell'espressione al denominatore e quindi:
$A/x+B/(x-2)$
ho moltiplicato e posto a sistema etc... ed ottengo solamente $-1/2\int1/x*dx + 1/2\int1/(x-2)*dx$
ma esito negativo anche in questo caso.
spero per favore possiate aiutarmi a risolvere questi integrali.
mille grazie davvero!!
ho i seguenti integrali.
posto qui il procedimento che ho fatto io,
ma tramite il quale non sono riuscito a concludere con successo l'esercizio.
spero possiate gentilmente aiutarmi.
ecco il primo integrale:
$\int (x)/(2x^2+x+1)*dx$
Risultato $log root(4)(2x^2+x+1)-1/(2*sqrt(7))*arctg((4x+1)/(sqrt(7)))+c.$
caso con $\Delta < 0$ e denominatore di 2° grado.
derivata del denominatore: $2x+1$
procedimento:
$1/2*\int (2x+1-1)/(2x^2+x+1)*dx$
$1/2(\int (2x+1)/(2x^2+x+1)*dx - \int (1)/(2x^2+x+1)*dx)$
se il procedimento fin qui è giusto
quindi il primo è un logaritmo,
ma per il secondo, come faccio ad ottenere il giusto risultato?
ecco il secondo integrale:
$\int (x^4+4x^2+1)/(x^2-2x)*dx$
Risultato: $(x^3)/(3)+x^2+8x-1/2*log|x|+33/2*log|x-2|+c.$
qui abbiamo un $\Delta > 0$
e 2° grado del denominatore.
ho provato sia con la divisione tra polinomi tramite la seguente:
$x^4+0x^3+4x^2+0x+1 : x^2-2x$
ma con esito negativo, penso non sia la strada giusta da prendere.
ho provato inoltre considerando le soluzioni dell'espressione al denominatore e quindi:
$A/x+B/(x-2)$
ho moltiplicato e posto a sistema etc... ed ottengo solamente $-1/2\int1/x*dx + 1/2\int1/(x-2)*dx$
ma esito negativo anche in questo caso.
spero per favore possiate aiutarmi a risolvere questi integrali.
mille grazie davvero!!
Risposte
Primo integrale
La derivata del denominatore è $ 4x+1$ quindi modifichi così l'integrale di partenza $ 1/4 int ((4x+1-1)dx)/(2x^2+x+1) $.
Per integrare il secondo addendo $ -1/4int dx/(2x^2+x+1) $devi ricordare che il trinomio al denominatore avendo $Delta <0 $ è sempre positivo e lo si può quindi trasformare nella somma di 2 quadrati , così $ ( sqrt(2)x+1/(2sqrt(2)))^2+(sqrt(7)/(2sqrt(2)))^2 $.
Raccogli adesso a fattor comune $(sqrt(7)/(2sqrt(2)))^2 $ ed avrai quindi
$(sqrt(7)/(2sqrt(2)))^2 [ 1+(.......)^2] $ il che porta da avere l'arcontangente di una opportuna funzione come primitiva
La derivata del denominatore è $ 4x+1$ quindi modifichi così l'integrale di partenza $ 1/4 int ((4x+1-1)dx)/(2x^2+x+1) $.
Per integrare il secondo addendo $ -1/4int dx/(2x^2+x+1) $devi ricordare che il trinomio al denominatore avendo $Delta <0 $ è sempre positivo e lo si può quindi trasformare nella somma di 2 quadrati , così $ ( sqrt(2)x+1/(2sqrt(2)))^2+(sqrt(7)/(2sqrt(2)))^2 $.
Raccogli adesso a fattor comune $(sqrt(7)/(2sqrt(2)))^2 $ ed avrai quindi
$(sqrt(7)/(2sqrt(2)))^2 [ 1+(.......)^2] $ il che porta da avere l'arcontangente di una opportuna funzione come primitiva
"lapoalberto77":
ho provato sia con la divisione tra polinomi tramite la seguente:
$x^4+0x^3+4x^2+0x+1 : x^2-2x$
Secondo me questa è la strada giusta e poi dopo alla frazione che ti resta applichi questo metodo:
"lapoalberto77":
ho provato inoltre considerando le soluzioni dell'espressione al denominatore e quindi:
$A/x+B/(x-2)$
La funzione razionale $ (x^4+4x^2+1)/(x^2-2x) $, se applichi la divisione tra polinomi diventa
$ (x^4+4x^2+1)/(x^2-2x)=(x^2+2x+8)+(16x+1)/(x(x-2)) $. Quindi l'integrale originario diventa
$ \int (x^4+4x^2+1)/(x^2-2x)dx = \int ((x^2+2x+8)+(16x+1)/(x(x-2)))dx $. Applica ora la proprietà additiva dell'integrazione e avrai due integrali: il primo è immediato, il secondo devi determinare il valore delle costanti $A$ e $B$ ok?
$ (x^4+4x^2+1)/(x^2-2x)=(x^2+2x+8)+(16x+1)/(x(x-2)) $. Quindi l'integrale originario diventa
$ \int (x^4+4x^2+1)/(x^2-2x)dx = \int ((x^2+2x+8)+(16x+1)/(x(x-2)))dx $. Applica ora la proprietà additiva dell'integrazione e avrai due integrali: il primo è immediato, il secondo devi determinare il valore delle costanti $A$ e $B$ ok?
Pensavo di aver detto la stessa cosa.. 
Infatti Leena, nn era x dire ke quel ke avevi scritto era sbagliato, anzi cm conferma di quanto avevi scritto. Ho voluto solo mettere in evidenza qual era il risultato della divisione tra polinomi 
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