Esercizi analisi II

[izzoale]

salve a tutti...c'è qualcuno che sarebbe in grado di risolvermi questi due esercizi?
-EQUAZIONI DIFFERENZIALI-
1)y"-2y'+y=e^x * x/(x^2+x+1)

2)y'- cosx/(1+ senx)y=senx

GRAZIEEEEEE

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by izzoale

2)y'- cosx/(1+ senx)y=senx

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Q.o. in R: 1 + sin(x) > 0, e perciò int cos(x)/(1 + sin(x)) dx = log(1 + sin(x)) + k, essendo k un'arbitraria costante additiva reale. Del resto, se f, g, y sono funzioni a valori reali definite su uno stesso aperto non vuoto di R ed ivi dotate di sufficiente grado di regolarità, allora: d/dx (y(x) * e^{f(x)}) = (y'(x) + y(x) * f'(x))*e^{f(x)}, cosicché: y'(x) + f'(x)*y(x) = g(x) sse y(x)*e^{f(x)} = int g(x)*e^{f(x)} dx, da cui y(x) = e^{-f(x)} * int g(x)*e^{f(x)} dx. Nel nostro caso f'(x) = - cos(x)/(1 + sin(x)) e g(x) = sin(x), per cui può assumersi (fra le altre): f(x) = - log(1 + sin(x)), e quindi dedurne y(x) = (1 + sin(x)) * int sin(x)/(1 + sin(x)) dx. E d'altronde int sin(x)/(1+ sin(x)) dx = int (1 - sin(x)) * sin(x)/cos^2(x) dx = [Integrando per parti] = (1 - sin(x))/cos(x) + int dx = (1 - sin(x))/cos(x) + x + c, ove c è una qualsivoglia costante additiva reale. L'integrale generale della differenziale proposta assume pertanto la forma y(x) = (1 - sin(x))*(x+c) + cos(x), con c \in R.

Saluti,
Salvatore Tringali

[izzoale]

ciao salvatore....
grazie un sacco per la risoluzione dell esercizio!!!
saluti
alessandra

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by izzoale

1)y"-2y'+y=e^x * x/(x^2+x+1)

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L'integrale generale dell'omogenea associata all'ODE proposta è della forma y_0(x) = a*e^x + b*x*e^x, con a, b \in R, come prontamente si deduce considerando che la risolvente algebrica u^2 - 2u + 1 = 0 possiede la radice reale doppia u_0 = 1. Si tratta a questo punto di determinare una soluzione particolare w(-) della non omogenea. Ebbene, qui non c'è molto da ragionare, bisogna più che altro farsi guidare da considerazioni di carattere euristico. Nella fattispecie, si può tentare innanzitutto con una funzione dalla forma "piuttosto generale", del tipo w(x) = e^x * (T(x) + P(x)*arctg((1 + 2x)/sqrt(3)) + Q(x)*log(x^2 + x + 1)), ove P(-), Q(-) e T(-) sono polinomi di R[x], "guidati" dall'osservazione che derivando punto a punto le funzioni x --> arctg((1 + 2x)/sqrt(3)) ed x --> log(x^2 + x + 1) si generano delle espressioni razionali nella variabile x in cui, a meno di costanti moltiplicative, figura a denominatore una qualche potenza intera del polinomio D(x) = x^2 + x + 1. Ebbene, supponendo in prima istanza che P(-), Q(-) e T(-) siano lineari in x e svolgendo di conseguenza una mole considerevole di calcoli (!!!), si trova di fatto che una possibile soluzione particolare dell'equazione differenziale y" - 2y' + y = e^x * x/(x^2+x+1) è appunto del tipo w(x) = e^x * (T(x) + P(x)*arctg((1 + 2x)/sqrt(3)) + Q(x)*log(x^2 + x + 1)), dove T(x) = -x; P(x) = (1-x)/sqrt(3) e Q(x) = (x-1)/2. Il tutto, naturalmente, se si trascurano eventuali (altamente probabili) errori di conto... ^^'

Saluti,
Salvatore Tringali